例談抓住“變換”探究幾何圖形

戴碧波

圖形變換是《初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》相對(duì)于原有的《初中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》新增內(nèi)容，是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一，增加的圖形變換是新課標(biāo)教材改革的一大亮點(diǎn)。變換改變了幾何知識(shí)的傳統(tǒng)體現(xiàn)方式，更深刻地揭示幾何圖形的本質(zhì)。通過感知和學(xué)習(xí)圖形變換，有利于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度加深對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)，探究幾何圖形之間的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀;有利于學(xué)生積累“空間與圖形”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，更充分地感受觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、探究、合情推理等活動(dòng)本身的獨(dú)特價(jià)值，有利于學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)“空間與圖形”的樂趣，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心，激發(fā)學(xué)習(xí)的潛能。

初中圖形變換主要包括三類變換：全等變換、相似變換、等積變換，這些變換體現(xiàn)了幾何圖形的不同的運(yùn)動(dòng)形式，許多幾何問題的解決都依賴于圖形變換，圖形變換的綜合應(yīng)用比較廣泛，在證明題、函數(shù)、作圖中都有著十分重要的作用。

部分平面幾何題已知條件比較隱蔽和分散，不容易找到解題的途徑。本文通過幾個(gè)例題具體論述了變換在解決相關(guān)問題中的應(yīng)用，根據(jù)幾何題的題設(shè)條件，靈活選擇不同的圖形變換，利用變換的性質(zhì)構(gòu)造橋梁，使離散的條件變得集中，使隱蔽的條件變得明顯，讓解題思路變得清晰，使復(fù)雜的題目變得簡(jiǎn)單，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)揭示幾何圖形的本質(zhì)。

一、全等變換

全等變換是幾何中最常見的變換，包括平移變換、軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、中心對(duì)稱變換，全等變換只改變圖形的位置，不改變其形狀、大小。

（一）平移變換的應(yīng)用

平移變換：將一個(gè)圖形沿著某方向平行移動(dòng)與另一個(gè)圖形重合的圖形運(yùn)動(dòng)。

平移變換常通過作平行線實(shí)現(xiàn)，平移變換可將線段、角移到適當(dāng)?shù)奈恢?，使分散的條件相對(duì)集中促使問題得到解決，在幾何證明題中，如果已知條件中有平行的線段或可能平行的元素，通常采用平移變換，使圖形中各元素之間的聯(lián)系變得明顯。

此例是關(guān)于平面圖形中線段的等式，看似與面積無關(guān)，卻可以利用圖形之間面積的等量關(guān)系達(dá)到了證明的目的，這種不考慮圖形的形狀只從圖形的面積關(guān)系入手來探究圖形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的問題常用等積變換。

總之，圖形的變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)下幾何知識(shí)中充滿活力的內(nèi)容，將圖形變換作為探索解題思路、發(fā)現(xiàn)解題方法的一種手段，是幾何教與學(xué)的重要策略之一。在幾何解題的過程中，把握好平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱、相似的特征，在題目給出的條件顯得分散或不明顯時(shí)，能靈活的對(duì)圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題的隱含條件，抓住問題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，不僅可以使解題過程更簡(jiǎn)捷，還能有效地打開學(xué)生的思路，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想的能力及創(chuàng)新的意識(shí)，從而使他們的空間想象力得到發(fā)展，創(chuàng)造能力得到充分培養(yǎng)。