“測(cè)量物體的高度”項(xiàng)目學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)

賈鳳梅 楊美娜 鞏曉榮 張利琴 李智惠

摘 要：按照項(xiàng)目學(xué)習(xí)的特征，根據(jù)已有的教學(xué)嘗試，和上一期項(xiàng)目學(xué)習(xí)的研究，這一次針對(duì)中考的一類幾何專題——測(cè)量物體的高度進(jìn)行了探究。通過(guò)設(shè)計(jì)項(xiàng)目實(shí)施的任務(wù)單、記錄表、評(píng)價(jià)和實(shí)踐報(bào)告展開(kāi)項(xiàng)目學(xué)習(xí)。通過(guò)項(xiàng)目學(xué)習(xí)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，解決生活實(shí)際問(wèn)題，達(dá)到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)，提升了學(xué)習(xí)興趣和能力。

關(guān)鍵詞：項(xiàng)目學(xué)習(xí) 測(cè)量物體的高度 測(cè)量方案

基金項(xiàng)目 全國(guó)科學(xué)規(guī)劃課題“基于課標(biāo)的‘習(xí)得性’項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)模式”的研究實(shí)踐（FHB170581）

2011年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在第三學(xué)段“綜合與實(shí)踐”部分，給出了一種獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的路徑：“實(shí)際情境——發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題——設(shè)計(jì)方案——實(shí)施方案——解決問(wèn)題——形成報(bào)告——展示交流”。實(shí)踐這條路徑的方式之一就是項(xiàng)目學(xué)習(xí)。在課題組的帶領(lǐng)下，經(jīng)過(guò)幾年的探索，這條路徑越來(lái)越能與教學(xué)實(shí)際相結(jié)合，切實(shí)解決教學(xué)中的難點(diǎn)問(wèn)題，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。這一次我們小組以測(cè)量物體的高度為例，展示項(xiàng)目學(xué)習(xí)教學(xué)方式在這個(gè)過(guò)程中發(fā)揮的重要作用。

本研究意在提高學(xué)生幾何直觀和建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。通過(guò)實(shí)際觀察測(cè)量，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，與已學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，通過(guò)形象具體的幾何圖形，測(cè)量不同的建筑物高度。學(xué)以致用，真正掌握該知識(shí)點(diǎn)，為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供經(jīng)驗(yàn)，拓展思路。

最近五年的中考數(shù)學(xué)試卷中，每年都會(huì)有一道題考查測(cè)高問(wèn)題，而且最近兩年考查的都是現(xiàn)實(shí)生活中物體的高度，比如2018年和2019年都是以實(shí)驗(yàn)操作的方式考查的。

例如：（2018·山西）祥云橋位于省城太原南部，該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成，全橋共設(shè)13對(duì)直線型斜拉索，造型新穎，是“三晉大地”的一種象征。某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測(cè)量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間借助該橋斜拉索完成了實(shí)地測(cè)量。測(cè)量結(jié)果如下表：

（1）請(qǐng)幫助該小組根據(jù)上表中的測(cè)量數(shù)據(jù)，求斜拉索頂端點(diǎn)C到AB的距離（參考數(shù)據(jù)sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）；

（2）該小組要寫出一份完整的課題活動(dòng)報(bào)告，除上表的項(xiàng)目外，你認(rèn)為還需要補(bǔ)充哪些項(xiàng)目（寫出一個(gè)即可）。

測(cè)高問(wèn)題需要利用初中階段很多方面的知識(shí)，考查的是知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。在中考這樣的大考中一定會(huì)出現(xiàn)考查綜合應(yīng)用能力的問(wèn)題，而且會(huì)越來(lái)越多。這對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式提出新的要求，只有順應(yīng)中考的要求，改變教學(xué)方法，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，學(xué)生才能從容面對(duì)。

一、項(xiàng)目學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施

這個(gè)項(xiàng)目，就從即將在太原市舉行的二青會(huì)入手，給出需要完成的任務(wù)——“我是太原文明使者”，作為一名太原市的中學(xué)生，希望能夠?yàn)橥獾氐挠讶私榻B我們美麗的太原。為了能夠介紹的更加準(zhǔn)確，小組同學(xué)一起考察了太原市的一些地標(biāo)性建筑，并且用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量出它的高度。項(xiàng)目學(xué)習(xí)的成果就是測(cè)量出來(lái)的建筑物的高度，以及在測(cè)量過(guò)程中完成的活動(dòng)過(guò)程記錄表、實(shí)踐報(bào)告和根據(jù)測(cè)量活動(dòng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編擬的試題。學(xué)生從一個(gè)真實(shí)的問(wèn)題“測(cè)量物體的高度”開(kāi)始，通過(guò)完整地做這件事，習(xí)得知識(shí)技能，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)，體現(xiàn)了“做中學(xué)”。

1.根據(jù)學(xué)生的情況編寫教材

初中學(xué)段在現(xiàn)在使用的北師大版教材中有四個(gè)章節(jié)的應(yīng)用明確涉及測(cè)量物體高度的問(wèn)題：七年級(jí)下冊(cè)的《三角形》、八年級(jí)上冊(cè)的《勾股定理》、九年級(jí)上冊(cè)的《相似三角形》、九年級(jí)下冊(cè)的《三角函數(shù)》。參與項(xiàng)目的學(xué)生是八年級(jí)學(xué)生，九年級(jí)的課程還沒(méi)有學(xué)習(xí)，所以教材編寫時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)九年級(jí)的兩章內(nèi)容，一方面培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，另一方面培養(yǎng)他們總結(jié)知識(shí)的能力。一道具體的測(cè)高問(wèn)題用到的知識(shí)不僅僅在一個(gè)章節(jié)內(nèi)，所以我們把他們學(xué)過(guò)的和沒(méi)有學(xué)過(guò)的內(nèi)容都以綱要的形式在第一部分給出了呈現(xiàn)，以簡(jiǎn)潔的表格方式引導(dǎo)學(xué)生完成自學(xué)部分。下面就是我們編寫的教材的簡(jiǎn)要版。

中華人民共和國(guó)第二屆青年運(yùn)動(dòng)會(huì)（簡(jiǎn)稱二青會(huì)）將于2019年8月在山西太原舉行。太原市作為主賽區(qū)，將承擔(dān)60%以上的賽事活動(dòng)及二青會(huì)開(kāi)閉幕式、火炬?zhèn)鬟f、青年文化活動(dòng)和青運(yùn)村的運(yùn)行管理等工作。為把二青會(huì)辦成全民參與、全國(guó)矚目的青春盛會(huì)、文化盛會(huì)、體育盛會(huì)，充分展示文明、開(kāi)放、富裕、美麗的太原形象，作為一名太原市的中學(xué)生，我們希望能夠?yàn)閬?lái)自世界各地的朋友介紹美麗的太原。為此，我們準(zhǔn)備一起考察太原市的一些特色建筑，并測(cè)量、計(jì)算出它的高度。

任務(wù)二：確定測(cè)量目標(biāo)

測(cè)量目標(biāo)： 。

任務(wù)三：探索測(cè)量方法

與測(cè)量高度有關(guān)的知識(shí)包含：全等三角形（北師大版七年級(jí)下冊(cè)第四章）、勾股定理（北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章）、相似三角形（北師大版九年級(jí)上冊(cè)第四章）、三角函數(shù)（北師大版九年級(jí)下冊(cè)第一章）等。

（1）全等三角形（北師大版七年級(jí)下冊(cè)第四章）：

任務(wù)五：實(shí)施測(cè)量

完成實(shí)踐報(bào)告

任務(wù)六：總結(jié)學(xué)習(xí)

任務(wù)七：活動(dòng)報(bào)告

2.項(xiàng)目學(xué)習(xí)的實(shí)施過(guò)程

每個(gè)學(xué)生對(duì)這個(gè)主題的興趣是不同的，每個(gè)學(xué)生的恐懼點(diǎn)也是不同的。所以在實(shí)施過(guò)程中，要求他們必須先認(rèn)真研讀上述任務(wù)安排，領(lǐng)會(huì)活動(dòng)目標(biāo)，然后小組內(nèi)部自己交流，在具體活動(dòng)之前先要討論得出一個(gè)活動(dòng)計(jì)劃，確定每個(gè)人的分工。在這個(gè)分工過(guò)程中即保留了他們的個(gè)性，更加強(qiáng)調(diào)他們之間的互助、合作和交流。作為老師，要幫助他們建立一種模式去完成任務(wù)。

活動(dòng)的前期應(yīng)該是小組內(nèi)同學(xué)共同學(xué)習(xí)的過(guò)程，學(xué)習(xí)項(xiàng)目中涉及的測(cè)量高度的相關(guān)知識(shí)及方法（教師提供學(xué)習(xí)教材），形成初步的認(rèn)識(shí)，之后再進(jìn)入實(shí)踐的第一環(huán)節(jié)——了解太原市特色建筑并選定測(cè)量目標(biāo)，因?yàn)樘且蛔拿鞴懦?，在了解太原市特色建筑的同時(shí)，既了解了有關(guān)的歷史知識(shí)，又能增加學(xué)生的閱歷，同時(shí)培養(yǎng)了熱愛(ài)家鄉(xiāng)的情懷。另外也順應(yīng)了中考的形式，在提出具體問(wèn)題前都有大段的文字介紹相關(guān)背景，這樣學(xué)生在解決中考實(shí)際問(wèn)題時(shí)也不會(huì)覺(jué)得特別突兀而害怕。

實(shí)踐的第二環(huán)節(jié)——小組分工，明確任務(wù)之后，小組成員進(jìn)行分工，學(xué)習(xí)并擬定測(cè)高方案及用到的相關(guān)工具。

第三環(huán)節(jié)——實(shí)地測(cè)高。學(xué)生借助于所學(xué)的知識(shí)以及手頭的一些工具，選定建筑物后進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，采用不同的方法，多次進(jìn)行測(cè)量減少測(cè)量誤差。

之后進(jìn)入第四環(huán)節(jié)——總結(jié)學(xué)習(xí)，學(xué)生通過(guò)總結(jié)計(jì)算得出該建筑物的高度，并歸納對(duì)比各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，以及本次活動(dòng)的收獲與感悟。小組內(nèi)部的學(xué)生共同完成活動(dòng)記錄表，共同交流總結(jié)提升。學(xué)生在實(shí)踐活動(dòng)的過(guò)程中學(xué)習(xí)知識(shí)，理解其中的關(guān)方法，學(xué)會(huì)與同學(xué)合作并從中有所收獲。

在此環(huán)節(jié)中，配套上述任務(wù)單，要求學(xué)生紀(jì)實(shí)性填寫實(shí)踐記錄表。

3.項(xiàng)目學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)

僅僅做實(shí)踐活動(dòng)，是達(dá)不到預(yù)期學(xué)習(xí)的目標(biāo)的，學(xué)生會(huì)忘我于愉快的活動(dòng)過(guò)程中，為了讓過(guò)程中學(xué)到的知識(shí)能內(nèi)化提升，所以還設(shè)計(jì)了評(píng)價(jià)驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)，提前告知學(xué)生，用評(píng)價(jià)引導(dǎo)項(xiàng)目學(xué)習(xí)，這也是項(xiàng)目學(xué)習(xí)的一個(gè)主要特色評(píng)價(jià)貫徹始終。

數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)：測(cè)量物體的高度

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

（1）測(cè)量工具

有測(cè)量工具為1分。

科學(xué)、實(shí)用為3分。

自制、科學(xué)、實(shí)用、美觀為5分。

（2）測(cè)量過(guò)程統(tǒng)計(jì)表

只有測(cè)量結(jié)果為1分。

其中測(cè)量方法設(shè)計(jì)、測(cè)量過(guò)程性資料、測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)缺一個(gè)為3分。

有測(cè)量方法設(shè)計(jì)、測(cè)量過(guò)程性資料、測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)為5分。

（3）測(cè)量結(jié)果

采用一種方法多次測(cè)量且計(jì)算結(jié)果精確為1分。

采用兩種不同方法多次測(cè)量且計(jì)算結(jié)果精確為3分。

采用三種以上不同方法多次測(cè)量且計(jì)算結(jié)果精確為5分。

（4）小組成員分工

小組成員有明確分工為1分。

分工具體內(nèi)容敘述清楚為3分。

分工內(nèi)容全面合理，工作內(nèi)容方法敘述詳盡合理為5分。

（5）活動(dòng)報(bào)告

①每一個(gè)活動(dòng)都有記錄：視頻和照片，要重點(diǎn)突出，按照活動(dòng)流程將視頻和照片編號(hào)。

②小組內(nèi)每個(gè)成員分工明確，并且參與活動(dòng)。

③活動(dòng)過(guò)程記錄表書寫工整詳細(xì)，并且思路清晰，可操作性強(qiáng)。

（6）活動(dòng)結(jié)束之后需要提交的材料：

①紙質(zhì)的過(guò)程記錄表，活動(dòng)總結(jié)報(bào)告；

②活動(dòng)過(guò)程中的視頻和照片；

③電子版的過(guò)程記錄表和活動(dòng)總結(jié)報(bào)告。

（7）提交方式：

每小組的組長(zhǎng)負(fù)責(zé)整理好本組全部?jī)?nèi)容。

紙質(zhì)報(bào)告交給課代表，電子版發(fā)到郵箱57318389@qq.com。

二、項(xiàng)目學(xué)習(xí)的驗(yàn)收

按照上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)每個(gè)小組都交回的活動(dòng)過(guò)程記錄表進(jìn)行評(píng)價(jià)，原計(jì)劃是每個(gè)小組在班內(nèi)展示，包括：講解活動(dòng)安排、活動(dòng)過(guò)程和活動(dòng)收益，用活動(dòng)中學(xué)到的知識(shí)解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，自己編寫一道數(shù)學(xué)測(cè)高問(wèn)題來(lái)考考其他同學(xué)。同時(shí)，要求其他同學(xué)需要認(rèn)真聆聽(tīng)展示小組的內(nèi)容，并且用自己活動(dòng)中掌握的知識(shí)解決展示小組給出的數(shù)學(xué)題，然后再由活動(dòng)小組的同學(xué)去講解。形成一個(gè)先由無(wú)知而主動(dòng)學(xué)習(xí)，進(jìn)而再利用學(xué)到的知識(shí)解決問(wèn)題，最后還能靈活應(yīng)用知識(shí)給其他同學(xué)進(jìn)行講解的一個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程。即：知識(shí)的學(xué)習(xí)（模仿）——知識(shí)的理解（變通）——知識(shí)的轉(zhuǎn)化（升華）。但是在實(shí)際操作過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)1703班（統(tǒng)招班）與1709班（實(shí)驗(yàn)班）的學(xué)生不同，他們?cè)诨顒?dòng)過(guò)程中的側(cè)重點(diǎn)也不同，1703班的同學(xué)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力強(qiáng)，小組成員之間的合作能力特別強(qiáng)，但是自學(xué)能力相對(duì)較弱，所以他們更多的是用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)解決測(cè)高問(wèn)題，能夠利用學(xué)過(guò)的簡(jiǎn)單知識(shí)，借助身邊的工具和詢問(wèn)等方式把物體的高度測(cè)量出來(lái)，所以1703班的八個(gè)小組全部上臺(tái)展示了自己小組的活動(dòng)過(guò)程，而且講解生動(dòng)有趣。1709班的同學(xué)自學(xué)能力比較強(qiáng)，似乎僅僅對(duì)書本上的問(wèn)題解決起來(lái)得心應(yīng)手，而一旦到了實(shí)際生活中就感覺(jué)比較吃力了，不知道利用已經(jīng)學(xué)會(huì)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，對(duì)于借助工具的能力也相對(duì)較弱，班級(jí)統(tǒng)一驗(yàn)收了三個(gè)小組都不太理想，于是調(diào)整策略把小組講解驗(yàn)收改為題型總結(jié)班級(jí)集體驗(yàn)收。具體的操作方式是，把2018年全國(guó)各地市的中考測(cè)高問(wèn)題全部學(xué)習(xí)一遍，小組內(nèi)部每人負(fù)責(zé)講解一道題，然后把這些題分類，每一類型選擇一道題抄錄下來(lái)。然后再根據(jù)小組活動(dòng)模擬這些中考題編寫一道題，作為結(jié)題的一部分。這種方式1709班的孩子比較喜歡，結(jié)果也不錯(cuò)。

下面附驗(yàn)收的部分案例：

小組分工：

學(xué)習(xí)后自己設(shè)計(jì)的題目：

收獲：

三、項(xiàng)目學(xué)習(xí)的反思

項(xiàng)目學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是“以終為始”，首先定出一個(gè)具體而明確的目標(biāo)，學(xué)生就不會(huì)因思維太發(fā)散而無(wú)從下手。項(xiàng)目學(xué)習(xí)的可操作性強(qiáng)，評(píng)價(jià)貫穿全程。學(xué)生的每一步實(shí)踐活動(dòng)都有明確的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生往更好的方向做。這一次的活動(dòng)是完整的，從設(shè)計(jì)到實(shí)施，每一個(gè)步驟每一個(gè)環(huán)節(jié)都沒(méi)有缺少，盡量引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成。讓他們感受了完整做事情的環(huán)節(jié)和過(guò)程。

教材編寫有點(diǎn)太過(guò)詳細(xì)了，應(yīng)該讓學(xué)生自己尋找初中階段關(guān)于測(cè)高問(wèn)題的知識(shí)都有哪些章節(jié)涉及，甚至對(duì)知識(shí)的整理提升也應(yīng)該放給學(xué)生去做，不同形式的總結(jié)提煉更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的差異性。也更加鍛煉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

驗(yàn)收環(huán)節(jié)在最初設(shè)計(jì)時(shí)是按照理想狀態(tài)進(jìn)行的，沒(méi)有考慮學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力和實(shí)際情況，只設(shè)計(jì)了單一的驗(yàn)收方式，所以在驗(yàn)收過(guò)程中遇到了很多的困難，甚至一度出現(xiàn)有點(diǎn)驗(yàn)收不下去的情況，幸虧得到薛紅霞老師的指點(diǎn)，改變了驗(yàn)收方式，最終達(dá)到了令人滿意的效果。所以今后在設(shè)計(jì)項(xiàng)目學(xué)習(xí)時(shí)，思想可以是一致的，但是對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)和驗(yàn)收一定是有區(qū)別的。

一個(gè)項(xiàng)目學(xué)習(xí)下來(lái)，學(xué)生的收獲應(yīng)該分為顯性的和隱性的兩種。顯性收獲，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，和基本技能的掌握。隱性的收獲是學(xué)習(xí)能力的提高，和學(xué)習(xí)欲望的提升。希望這種探究問(wèn)題的習(xí)慣和思維方式會(huì)慢慢滲透內(nèi)化到學(xué)生的認(rèn)知行為中，在日后其他項(xiàng)目學(xué)習(xí)中、生活實(shí)踐中會(huì)自覺(jué)地應(yīng)用。

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