應(yīng)用型工科專(zhuān)業(yè)的數(shù)理方法課程探索

邢秀文 馮炎青 沈洋

摘 要：根據(jù)當(dāng)前社會(huì)狀況以及應(yīng)用型工科學(xué)生的需求，制定了一套數(shù)學(xué)物理方法課程的內(nèi)容體系以及講解方法，包括復(fù)變函數(shù)與積分變換部分、數(shù)學(xué)物理方程兩部分，適合三本院校教師參考。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；積分變換；數(shù)學(xué)物理；課程建設(shè)

1、課程建設(shè)的意義

我國(guó)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)物理方法課程包含復(fù)變函數(shù)與積分變換、數(shù)學(xué)物理方程兩大模塊。該課程是物理類(lèi)專(zhuān)業(yè)的重要課程，是銜接普通物理與理論物理的重要紐帶。該課程的學(xué)習(xí)涉及到大量的關(guān)聯(lián)知識(shí)，包括高等數(shù)學(xué)、力學(xué)、電磁學(xué)、交流電路分析等，具有高度的抽象性，是一門(mén)公認(rèn)的難學(xué)的課程。

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，整個(gè)社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)逐漸由科學(xué)技術(shù)向經(jīng)濟(jì)金融轉(zhuǎn)變，大學(xué)作為社會(huì)的一部分，也在經(jīng)歷著這樣一個(gè)過(guò)程。這一轉(zhuǎn)變最具體的表現(xiàn)就是理工科專(zhuān)業(yè)的熱度逐漸下降，經(jīng)濟(jì)管理金融等專(zhuān)業(yè)變得異?；鸨＜幢闶抢砉ゎ?lèi)專(zhuān)業(yè)的在讀學(xué)生，對(duì)專(zhuān)業(yè)知識(shí)的興趣也在逐年下降。這直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)物理類(lèi)課程的課時(shí)逐漸減少，難度很大的數(shù)學(xué)物理方法課程在很多學(xué)校甚至已經(jīng)消失。在這樣的背景下，如何改革傳統(tǒng)的數(shù)理方法課程體系，使之適合現(xiàn)階段應(yīng)用型工科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生特點(diǎn)，就變得尤為重要。

2、課程的開(kāi)設(shè)情況

北京理工大學(xué)珠海學(xué)院是一所三本層次的獨(dú)立本科院校，開(kāi)設(shè)數(shù)理方法課程的專(zhuān)業(yè)有：電子科學(xué)與技術(shù)、通信工程、信息工程、自動(dòng)化、電氣工程及其自動(dòng)化、應(yīng)用物理學(xué)。上述專(zhuān)業(yè)因?yàn)樯婕暗诫娦蓬?lèi)的專(zhuān)業(yè)課程，因此目前都設(shè)置了復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)內(nèi)容。信息工程專(zhuān)業(yè)會(huì)涉及到無(wú)線電與雷達(dá)等后續(xù)專(zhuān)業(yè)課，早年曾經(jīng)開(kāi)設(shè)過(guò)數(shù)學(xué)物理方程，后來(lái)因?yàn)殡y度大而停止。只有應(yīng)用物理學(xué)專(zhuān)業(yè)堅(jiān)持開(kāi)設(shè)完整的數(shù)理方法課程。

上述理工科專(zhuān)業(yè)在學(xué)習(xí)數(shù)理方法類(lèi)課程之前，都已經(jīng)學(xué)習(xí)了11學(xué)分的高等數(shù)學(xué)。從考試成績(jī)反饋的信息可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于一元微積分掌握的很好，對(duì)常微分方程、冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)部分掌握的稍差，多元微積分與場(chǎng)論掌握很差。從多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類(lèi)課程的理解上限就是高等數(shù)學(xué)，對(duì)于更高層次的數(shù)理方法很難透徹理解。

3、對(duì)數(shù)理方法課程的要求

從筆者了解的情況來(lái)看，我校各個(gè)專(zhuān)業(yè)對(duì)數(shù)理方法的內(nèi)容要求都有所不同。下面分別闡述：

1）通信類(lèi)專(zhuān)業(yè)，后續(xù)的《信號(hào)與系統(tǒng)》課程基本就是積分變換的延續(xù)，尤其是對(duì)頻譜概念要求很高；后續(xù)的《電磁場(chǎng)與電磁波》課程對(duì)數(shù)理方程中的泊松方程和波動(dòng)方程要求很多，而對(duì)于熱傳導(dǎo)方程基本無(wú)需求。

2）自動(dòng)化類(lèi)專(zhuān)業(yè)，在其后續(xù)的《自動(dòng)控制原理》課程中，大量應(yīng)用積分變換和極點(diǎn)的概念來(lái)研究線性控制系統(tǒng)。

3）應(yīng)用物理學(xué)專(zhuān)業(yè)，主要培養(yǎng)的是無(wú)損檢測(cè)方向，后續(xù)課程涉及到少量信號(hào)處理的知識(shí)，要求了解頻譜的概念；其后續(xù)的《聲學(xué)》課程對(duì)常微分方程和波動(dòng)方程有較高的要求；后續(xù)的《渦流檢測(cè)》以及《磁粉檢測(cè)》涉及到一些波動(dòng)方程與泊松方程。

4、復(fù)變函數(shù)與積分變換部分的內(nèi)容設(shè)計(jì)

按照本文前面的描述，這部分內(nèi)容的終極目標(biāo)是讓學(xué)生理解頻譜的概念；理解極點(diǎn)的概念；理解積分變換在求解線性微積分方程中的應(yīng)用，從而了解積分變換在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用。下面我們從課程目標(biāo)倒推我們需要講授哪些概念：

1）為了學(xué)習(xí)傅里葉變換與拉普拉斯變換，需要復(fù)習(xí)高數(shù)中的傅里葉級(jí)數(shù)，需要學(xué)習(xí)一些復(fù)積分的知識(shí)。

2）為了理解拉式逆變換的積分公式，需要學(xué)習(xí)留數(shù)定理。

3）為了學(xué)習(xí)留數(shù)定理，需要了解復(fù)變函數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的洛朗展開(kāi)。

4）所有涉及復(fù)變函數(shù)、復(fù)級(jí)數(shù)、復(fù)積分的知識(shí)，都需要復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算。

基于上述由課程目標(biāo)倒推所得到的結(jié)論以及學(xué)生的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我按照24-32課時(shí)設(shè)計(jì)復(fù)變函數(shù)部分的教學(xué)大綱如下：

1）復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算。

2）掌握復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)的概念、奇點(diǎn)的概念。

3）理解復(fù)積分的含義，以及連通區(qū)域的柯西積分定理。但是不學(xué)習(xí)柯西積分公式。

4）理解復(fù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。由于不學(xué)習(xí)柯西積分公式，所以不能用它導(dǎo)出復(fù)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)。復(fù)函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)應(yīng)該將高等數(shù)學(xué)的泰勒展開(kāi)公式直接拿來(lái)應(yīng)用，并簡(jiǎn)單的說(shuō)明差異。

5）了解復(fù)函數(shù)的洛朗展開(kāi)。不應(yīng)該證明洛朗展開(kāi)的定理，而是從冪級(jí)數(shù)展開(kāi)直接拓展。例如通過(guò)sin（z）的級(jí)數(shù)展開(kāi)，直接寫(xiě)出sin（z）/z、sin（z）/z2等函數(shù)的洛朗展開(kāi)，進(jìn)而說(shuō)明洛朗級(jí)數(shù)的形狀特點(diǎn)，以及奇點(diǎn)的分類(lèi)。只要求學(xué)生了解函數(shù)在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)可以展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)以及奇點(diǎn)的分類(lèi)，不要求學(xué)生能夠做具體函數(shù)的洛朗展開(kāi)。

6）在了解洛朗級(jí)數(shù)的形狀之后，理解確定奇點(diǎn)類(lèi)型的幾個(gè)規(guī)則。

7）通過(guò)將復(fù)函數(shù)的圍到積分轉(zhuǎn)化為洛朗級(jí)數(shù)的圍到積分，得到留數(shù)的概念以及留數(shù)定理。理解計(jì)算留數(shù)的幾個(gè)規(guī)則。

8）復(fù)習(xí)傅里葉級(jí)數(shù)，理解頻譜分解的思想。

9）理解傅里葉變換的定義，以及頻譜分解的思想。能夠計(jì)算最簡(jiǎn)單函數(shù)的傅里葉變換。

10）理解拉普拉斯變換的定義，能夠計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換。

11）理解拉氏變換的性質(zhì)，能夠通過(guò)查表方法計(jì)算拉式逆變換。

12）理解拉氏變換求解一階振動(dòng)系統(tǒng)和交流電路。

5、數(shù)學(xué)物理方程部分的內(nèi)容設(shè)計(jì)

這部分內(nèi)容更為龐雜，筆者還沒(méi)有特別滿意的處理方式。暫且提出初步的想法，與各位同行探討：

1）重點(diǎn)講述波動(dòng)方程的建立，次重點(diǎn)講授泊松方程的建立，不講授熱傳導(dǎo)方程。要求學(xué)生理解方程的建立過(guò)程，不要求學(xué)生自己建立方程。

2）闡述方程的定解條件，要求學(xué)生理解，不要求學(xué)生自己書(shū)寫(xiě)。

3）重點(diǎn)講授行波法，突出強(qiáng)調(diào)波的“傳播”思想，讓學(xué)生能夠辨認(rèn)左行波、右行波、波速這三個(gè)要素。

4）直接寫(xiě)出三維各向同性的波動(dòng)方程，學(xué)生應(yīng)該能夠辨認(rèn)出各向同性發(fā)散波與各向同性匯聚波。

5）重點(diǎn)講授一維齊次弦振動(dòng)方程的求解，與力學(xué)中的駐波做對(duì)比，與傅里葉分解做對(duì)比，強(qiáng)調(diào)特征頻率的概念，強(qiáng)調(diào)諧波疊加的概念。不講授非齊次方程，不講授非齊次邊條件。

6）講授二維圓域內(nèi)的拉普拉斯方程求解，寫(xiě)出其通解的級(jí)數(shù)形式，要求學(xué)生能夠根據(jù)徑向邊界條件確定疊加系數(shù)。

7）教師演示球坐標(biāo)中求解拉普拉斯方程的過(guò)程，學(xué)生需要理解軸對(duì)稱(chēng)形式的方程通解，能夠根據(jù)徑向邊界條件確定疊加系數(shù)。

8）了解勒讓德函數(shù)，不要求理解生成函數(shù)以及性質(zhì)。

9）教師演示柱坐標(biāo)下拉普拉斯方程的求解，學(xué)生了解貝塞爾方程以及貝塞爾函數(shù)的記號(hào)。

10）教師演示波動(dòng)方程的分離變量法求解，得到亥姆霍茲方程。教師直接寫(xiě)出亥姆霍茲方程在柱坐標(biāo)以及球坐標(biāo)中的通解形式，學(xué)生了解即可。

6、不足之處與尚未解決的問(wèn)題

1）從泰勒級(jí)數(shù)直接過(guò)渡到洛朗級(jí)數(shù)，學(xué)生還是有接受心理障礙，需要通過(guò)提升教學(xué)技巧來(lái)化解。

2）狄拉克δ函數(shù)還未有很簡(jiǎn)潔的處理方法。

3）一維波動(dòng)方程的行波法和分離變量法教授較為成熟，但是高維曲線坐標(biāo)中的分離變量法還未有很好的處理技巧。

4）曾經(jīng)設(shè)想的用MATLAB中的工具箱DTOOLS數(shù)值求解方程，因?yàn)檎n時(shí)限制以及輸入邊界條件的難度，只講授過(guò)一次，沒(méi)有堅(jiān)持下來(lái)。

全國(guó)教指委項(xiàng)目：應(yīng)用型工科專(zhuān)業(yè)的數(shù)理方法課程內(nèi)容體系研究與實(shí)踐（JZW-15-SL-06）

參考文獻(xiàn)

[1]李紅，謝松法.復(fù)變函數(shù)與積分變換（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2008.6

[2]張小紅.信號(hào)與系統(tǒng)（第二版）[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社.2008.9

[3]盧京朝.自動(dòng)控制原理（第二版）[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社.2009.8

[4]姚端正，梁家寶.數(shù)學(xué)物理方法（第三版）[M].北京：科學(xué)出版社.2010.3

[5]楊孔慶.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社.2012.12

[6]臧濤成，馬春蘭.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社.2014.9

作者簡(jiǎn)介：

邢秀文（1979），男，北理工珠海學(xué)院物理講師，碩士研究生，從事大學(xué)物理教學(xué)，研究聲波無(wú)損檢測(cè)以及射線無(wú)損檢測(cè)。

（作者單位：北京理工大學(xué)珠海學(xué)院 數(shù)理與土木工程學(xué)院）