數(shù)學歸納法在高考數(shù)列問題中的應用

張曉東 李益萍

摘 要：數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重點和難點，也是高考數(shù)學的一個重要考點。數(shù)學歸納法是解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題的有效方法，在高考試題中有非常頻繁和廣泛的應用。相比較其他方法，用數(shù)學歸納法解某些數(shù)列題有時思路更順暢。

關(guān)鍵詞：數(shù)學歸納法;高考;數(shù)列

1、引言

數(shù)列是高中數(shù)學中的一個重點和難點，也是歷年數(shù)學高考重點考查的內(nèi)容之一，與數(shù)列相關(guān)的問題往往靈活多樣、技巧性強。求數(shù)列通項公式除較為簡單的定義法、公式法外，僅“由遞推公式求數(shù)列通項”一種題型就有an+1=an+f（n）、an+1=f（n）an、an+1=pan+q、an+1=pan+f（n）、an+1=pan+1+qan、等多種形式，很多學生在解決這類問題時難以熟練掌握技巧，甚至出現(xiàn)求通項與求和方法混淆的情況，容易失分。

近幾年高考命題對于考查學生的探索和歸納問題的能力有所側(cè)重，廣泛出現(xiàn)了很多利用數(shù)學歸納法證明等式、不等式的題目。數(shù)學歸納法是解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題的有效方法，在高考試題中有非常頻繁和廣泛的應用。相比較其他方法，用數(shù)學歸納法解某些數(shù)列題有時思路更順暢。

2、以近年全國卷為例進行試題分析

2013-2018年高考理科全國卷I中與數(shù)列相關(guān)的題目數(shù)量、分值及考點分布情況如下表所示。

由上表可知，與數(shù)列相關(guān)的題目考察內(nèi)容相對穩(wěn)定，主要包括：求數(shù)列的通項公式、前n項和，證明等差、等比數(shù)列，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)等，有時甚至會與不等式的內(nèi)容有所交叉。另一方面，從題型分布和分值上來看，歷年沒有較大變動，數(shù)列的內(nèi)容幾乎每年都是出一道選擇題和一道填空題，占到10分，或者是一道解答題，也就是12分。

3、求數(shù)列通項公式

例1（2018全國I卷文科第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設(shè).求b1，b2，b3判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由;求{an}的通項公式.

解：（1）b1=1，b2=2，b3=4.

因為所以由等比數(shù)列定義可知{bn}是等比數(shù)列，其首項為1，公比為2.

由已知條件可求得a1=1=1×20，a2=4=2×21，a3=12=3×22故猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=n·2n-1.

①當n=2時，a1=1×21-1=1，成立。

②假設(shè)n=k時成立，即ak=k·2k-1.則，因此n=k+1時也成立.

由①②可知{an}的通項公式為an=n·2n-1.

點評：用數(shù)學歸納法求解數(shù)列通項公式的思想與小學奧數(shù)中“找規(guī)律”的題目異曲同工，本質(zhì)上都是合情推理的過程。不同的是，后者只需要根據(jù)給出的幾項發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并寫出后面幾項，而前者還需要給出合理、完整的證明過程。數(shù)學歸納法是一種證明已知命題為真命題的方法，用數(shù)學歸納法求數(shù)列通項最關(guān)鍵的一步在于猜想發(fā)現(xiàn)已知數(shù)列的通項公式，故此方法并不適用于求解數(shù)列通項公式較為復雜的題目。

4、證明數(shù)列不等式

不等式的內(nèi)容在整個中學數(shù)學中占有重要地位，對于不等式的證明

例2（2017浙江理科第22題）已知數(shù)列{xn}滿足：.證明：當時，（1）.

證明：先證.①當n=1時，，不等式成立。

②假設(shè)當n=m時不等式成立，即xm>0.當n=m+1時，易知xm+1與ln（1+xm+1）同號，則由可知，xm+1>0.

由①②可知，對任意的，有xn>0，ln（1+xn）>0.所以成立.

點評：在證明數(shù)列不等式的過程中，單純用強化不等式、放縮的方法有時難以得到結(jié)果，甚至需要學生理解并記憶過一些典型的不等式作為基礎(chǔ)，對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高。在用這些方法受到阻礙的時候，嘗試使用數(shù)學歸納法往往會豁然開朗.

事實上，數(shù)學歸納法在證明不等式中的應用并不局限于數(shù)列不等式

5、結(jié)語

盡管一些高考中的數(shù)列題目除了用數(shù)學歸納法之外還可選用其他方法解答，但在用其他方法難以作答時，數(shù)學歸納法不失為一種有效的好方法。訓練學生熟練運用數(shù)學歸納法解題的能力，有利于培養(yǎng)學生邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。

在課堂教學中，應鼓勵學生采用多種解題方法，從多個角度去思考一個問題，并比較各種解法的優(yōu)劣，從而有效提高學生分析和解決問題的能力。

參考文獻

[1]張永春，米永強.數(shù)學歸納法在高考試題中的應用[J].中學數(shù)學教學參考.2018.No.719，44-45

[2]田定京.數(shù)學歸納法在高考數(shù)列題中的應用[J].數(shù)學學習與研究.2013，81