徐彥輝

摘要：數(shù)學學習中，解答一些復雜的非常規(guī)代數(shù)問題時，尤其需要具備識別出問題中隱藏的“結構”的能力，即具備對表達式的“結構感”，從而靈活地使用表達式的等價結構。“結構感”包括：（1）以最簡單的形式識別出熟悉的結構;（2）作為一個整體處理復雜項，通過適當?shù)奶娲R別出更復雜形式中熟悉的結構;（3）選擇適當?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結構。舉例說明識別出問題中隱藏的“結構”對于解答代數(shù)問題的作用，并進一步指出“結構感”的培養(yǎng)對于解答代數(shù)問題的意義。

關鍵詞：代數(shù)問題 結構感 解題教學

數(shù)學家德夫林指出：“對大多數(shù)外行人來說，做數(shù)學意味著學會一大堆毫無聯(lián)系的規(guī)則和技巧來解答各類問題。當遇到一位數(shù)學家對你說‘噢，這很明顯，你這樣做，再這樣做，然后答案就這樣出來了’，一般人一定會以為做數(shù)學需要一個特殊的腦袋。事實上并非如此，使得數(shù)學家在這種情況下知道該怎么做的主要原因是他們看到了針對問題領域的一種潛在結構。如果你能看出這種結構，你會很清楚下一步該做什么?！笨闯鲞@種結構其實就是具備了“結構感”。這是一種洞察力，是一種高層次的思維。

Hoch認為，“結構感”是一種包含程序性操作技能的綜合能力，它能使學生更好地運用先前所學習的“代數(shù)技術”。數(shù)學學習中，解答一些復雜的非常規(guī)代數(shù)問題時，尤其需要具備識別出問題中隱藏的“結構”的能力，即具備對表達式的“結構感”，從而靈活地使用表達式的等價結構;而不是熟練地利用程序性操作技能，盲目地操作表達式。

Hoch和Dreyfus認為“結構感”包括如下綜合能力：識別結構，將表達式的一部分看作一個整體;將表達式分解成有意義的子表達式;識別哪些操作是可能的和有用的，并選擇適當?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結構。Hoch后來又將“結構感”定義為：（1）以最簡單的形式識別出熟悉的結構;（2）作為一個整體處理復雜項，通過適當?shù)奶娲R別出更復雜形式中熟悉的結構;（3）選擇適當?shù)牟僮骰蜃儞Q以充分利用結構。

這里，以平方差（a2-b2）的結構為例對應說明每種類型的“結構感”：（1）分解81-x2——能識別平方差的結構并分解因式;（2）分解（2x-y）4-（2x+y）4——能將（2x-y）2與（2x+y）2分別看作一個整體，識別平方差的結構并分解因式;（3）分解24x6y4-150z8——能在提取公因式后看出平方差的結構，即能將24x6y4-150z8寫成6（4x6y4-25z8），再將2x3y2與5z4分別看作一個整體，識別平方差的結構并分解因式。

可見，“結構感”的一個重要特征是“替換原則”，即將一個變量（或參數(shù)）用一個復雜的式子替換，或將一個復雜的式子用一個變量（或參數(shù)）替換，其結構保持不變。這要求我們對代數(shù)問題中一些特殊的結構關系比較熟悉，同時，能對具體問題中的某些相似結構進行轉化，或者采用整體思想化歸為熟悉的結構。以下舉例說明識別出問題中隱藏的“結構”對于解答代數(shù)問題的作用，并進一步指出“結構感”的培養(yǎng)對于解答代數(shù)問題的意義。

例1已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0，求證：a1+a+b1+b+c1+c=1。

證法1：題設條件中含有六個字母，即x、y、z、a、b、c;但要證明的結論中只含有三個字母，即a、b、c。因此，證明的基本思路就是消元，即消掉x、y、z，可以采用解方程組的方法。

解方程組x=by+cz，

y=cz+ax，

z=ax+by。①

②

③

若x=0，則代入方程組得by+cz=0，

y=cz，

z=by，則y+z=0，則x+y+z=0，與題設矛盾，故x≠0。同理，可得y≠0，z≠0。

于是②+③-①，得到y(tǒng)+z-x=2ax，所以a=y+z-x2x，1+a=x+y+z2x，a1+a=-x+y+zx+y+z。同理可得b1+b=x-y+zx+y+z，c1+c=x+y-zx+y+z。所以，a1+a+b1+b+c1+c=x+y+zx+y+z=1。

證法2：觀察發(fā)現(xiàn)，可以變a1+a為axx+ax（由上文可知xyz≠0），于是由已知條件實施整體代換即可得證。

a1+a=axx+ax=axax+by+cz。同理，b1+b=byy+by=byax+by+cz，c1+c=czz+cz=czax+by+cz。所以，a1+a+b1+b+c1+c=ax+by+czax+by+cz=1。

例2已知a+b+c=10，a2+b2+c2=38，a3+b3+c3=160，求abc的值。

解：由“結構感”引導而自然獲得思路。

由a+b+c和a2+b2+c2想到基本關系式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca），可得100=38+2（ab+bc+ca），即ab+bc+ca=31。

再由a3+b3+c3和abc聯(lián)想到基本關系式a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca），即160-3abc=10（38-31），即abc=30。

例3已知abc≠0，a+b+c=0，求a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2的值。

解：已知式a+b+c=0看似三個變量和一個常數(shù)的關系，實則兩個變量和一個變量的關系，即a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，而要求式也是這種結構。再考慮到a、b、c的輪換對稱性，自然想到將要求式a1b+1c+b1c+1a+c1a+1b+2展開重組為b+ca+a+cb+a+bc+2，從而代入已知式得-aa+-bb+-cc+2=-1。

例4設a、b、c都是正數(shù)，且ab+bc+ca=3，求證：a=b=c。

證明：令x=ab，y=bc，z=ca，則xyz=1，x+y+z=3，且x、y、z>0，則可以想到p3+q3+r3和pqr的基本關系式。

于是，得到3x3+3y3+3z3-33xyz=（3x+3y+3z）[（3x）2+（3y）2+（3z）2-3xy-3yz-3zx]=12（3x+3y+3z）[（3x-3y）2+（3y-3z）2+（3z-3x）2]=0。

由x、y、z>0，得3x-3y=0，3y-3z=0，3z-3x=0，故x=y=z=1，即a=b=c。

例5已知a+b+c=abc，求證：a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=4abc。

證明：顯然，要將結論式的左邊展開并參考條件式的結構重組，得到a（1-b2）（1-c2）+b（1-a2）（1-c2）+c（1-a2）（1-b2）=a+b+c-（ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2）+abc（ab+bc+ca）。再將其中與條件式的結構差異較大的部分ab2+ac2+ba2+bc2+ca2+cb2向條件式的結構靠攏，化為ab（a+b）+bc（b+c）+ca（a+c），再化為ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）?？傻?，結論式的左邊=abc-[ab（abc-c）+bc（abc-a）+ca（abc-b）]+abc（ab+bc+ca）=4abc-abc（ab+bc+ca）+abc（ab+bc+ca）=4abc。

例6已知ax2-yz=by2-zx=cz2-xy，求證：ax+by+cz=（x+y+z）（a+b+c）。

證明：由已知條件和要證結論，容易想到根據等比的性質構造出ax+by+cz，即：當xyz≠0時，ax2-yz=axx3-xyz=by2-zx=byy3-xyz=cz2-xy=czz3-xyz=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

同理，可以構造出a+b+c，即：ax2-yz=by2-zx=cz2-xy=a+b+cx2+y2+z2-xy-yz-zx=ax+by+czx3+y3+z3-3xyz。

再由x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx）即可得證。

而當xyz=0時，假設x=0，則-ayz=by2=cz2，則-a=bzy=cyz=bz+cyy+z，即-a（y+z）=bz+cy。所以，（x+y+z）（a+b+c）-ax-by-cz=（y+z）（a+b+c）-by-cz=a（y+z）+bz+cy=0，命題得證。

例7已知x、y、z滿足關系式xy+z+yz+x+zx+y=1，求證：x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

證明：觀察發(fā)現(xiàn)，已知條件與要證結論之間有一定的相似性。因此，可以通過已知式得到要證式，即將已知式分別乘以x、y、z，得x2y+z+xyz+x+xzx+y=x，①

xyy+z+y2z+x+yzx+y=y，②

xzy+z+yzz+x+z2x+y=z。③

①+②+③，得到x2y+z+y2z+x+z2x+y+xyy+z+xzy+z+xyz+x+yzz+x+xzx+y+yzx+y=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y+x+y+z=x+y+z，即x2y+z+y2z+x+z2x+y=0。

教學中，教師應該幫助學生提高“結構感”。可以通過一些具體的例子設計有目的的活動，即要求學生按照問題中蘊藏的“結構”性質，對問題進行分析或分類，而不僅僅是要求學生得到答案。這樣的活動可以引導學生對問題中隱藏的“結構”進行更多的發(fā)掘和反思，培養(yǎng)學生的“結構感”。要求學生在解答代數(shù)問題時，秉承“想清、看明，再動手”的原則，其實質就是引導學生事先識別出問題中隱藏的“結構”。

正如哲學家Bateson（1972）指出的：學習分為兩種，即第一層學習（Learning 1）和第二層學習（Learning 2）。學會解答代數(shù)問題，是第一層學習;學習隱藏在解答代數(shù)問題背后的那個思考方式，是第二層學習。解答代數(shù)問題的過程是看得到的，而通過解答代數(shù)問題形成的思考方式是看不到的。“結構感”的培養(yǎng)就屬于第二層學習。教師對此要格外重視，要有意識、有針對性地對學生加以訓練。

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