宋曉光
摘要:數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型思想就是通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決現(xiàn)實(shí)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,滲透模型思想的做法有:溝通新舊知識,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型;創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突,夯實(shí)數(shù)學(xué)模型;精練再生經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化數(shù)學(xué)模型;貫通學(xué)習(xí)方法,重構(gòu)數(shù)學(xué)模型。
關(guān)鍵詞:小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想認(rèn)知沖突再生經(jīng)驗(yàn)
數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。模型思想就是通過對數(shù)學(xué)模型的研究來解決現(xiàn)實(shí)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型主要有數(shù)的概念、計(jì)算法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等。下面,結(jié)合一些具體的案例,談一談筆者對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想的滲透的思考。
一、溝通新舊知識,建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
鄭毓信教授曾提出“基礎(chǔ)知識不應(yīng)求全,而應(yīng)求聯(lián)”的觀點(diǎn)。教學(xué)中,教師應(yīng)力求溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系,便于學(xué)生更加輕松地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。
例如,特級教師嵇憲長教學(xué)《認(rèn)識平均分》一課時(shí),是這樣溝通新舊知識的——
師(板書:分)今天要學(xué)的內(nèi)容,跟這個(gè)字有關(guān)。說起“分”,小朋友最熟悉的莫過于一年級學(xué)過的“數(shù)的組成”了。下面,就請跟著老師一起回憶一下這些數(shù)的組成,說一說4、6、8可以分成幾和幾。
(教師根據(jù)學(xué)生的回答出示如圖1所示的4、6、8的分解式。學(xué)生齊讀后,發(fā)現(xiàn)分法特別的三組:4可以分成2和2;6可以分成3和3;8可以分成4和4。)
師這一份是2,這一份也是2,分得——
生很整齊。
師很公平。數(shù)學(xué)上給它起個(gè)特別的名字,叫作“平均分”。那怎樣才是平均分呢?
生每份分得同樣多!
師那另外的分法為什么不是平均分?
生4可以分成1和3,不是平均分,因?yàn)橐环菔?,一份是3;4可以分成3和1,也不是平均分,因?yàn)橐环菔?,一份是1。
……
本片段中,教師充分溝通新舊知識,引導(dǎo)學(xué)生借用一年級學(xué)過的“數(shù)的組成”知識來認(rèn)識平均分這種特殊的分法,直觀地凸顯了平均分的本質(zhì)——每份同樣多,完成了“平均分”模型的初步建構(gòu)。
二、引發(fā)認(rèn)知沖突,夯實(shí)數(shù)學(xué)模型
鄭毓信教授同時(shí)也提出“基本技能不應(yīng)求全,而應(yīng)求變”的觀點(diǎn)。在學(xué)生形成技能的過程中,教師要通過變化來引發(fā)認(rèn)知沖突,從而幫助學(xué)生在思辨中夯實(shí)數(shù)學(xué)模型。
仍以嵇老師的《認(rèn)識平均分》一課為例。學(xué)生借助“數(shù)的組成”理解平均分成2份后,教師通過變式提問,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突:“如果老師給你一個(gè)‘3’,你能把它平均分嗎?”絕大部分學(xué)生認(rèn)為不能,因?yàn)榉殖傻囊环菔?個(gè),一份是1個(gè)。教師追問:“能不能讓它每份分得同樣多呢?”有學(xué)生說:“能!再加1個(gè)。”教師強(qiáng)調(diào)條件:“不改變總數(shù),如何分才能做到每份分得同樣多?”經(jīng)過一段時(shí)間的思考,有學(xué)生說:“平均分成3份。”教師小結(jié):“剛才同學(xué)們說不能,是不能平均分成2份。平均分成3份就能了。這說明,平均分的時(shí)候,可以根據(jù)需要把總數(shù)分成2份、3份、4份……”
本片段中,針對學(xué)生可能形成思維定式“平均分就是分成2份”的情況,教師引發(fā)了他們的認(rèn)知沖突——將3平均分,讓學(xué)生在拓展“份數(shù)”的過程中深入理解平均分,從而夯實(shí)了“平均分”的數(shù)學(xué)模型。
三、精練再生經(jīng)驗(yàn),優(yōu)化數(shù)學(xué)模型
再生經(jīng)驗(yàn)是指在相同的活動(dòng)情境下,學(xué)生根據(jù)前一次活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)照著模式套用,完成后一次活動(dòng)情境中的數(shù)學(xué)任務(wù),再生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由于班級授課制的特殊性,教學(xué)中更多地借助學(xué)生的原初經(jīng)驗(yàn),形成再生經(jīng)驗(yàn),然后利用再生經(jīng)驗(yàn)解決學(xué)習(xí)中的大部分問題。精練學(xué)生的再生經(jīng)驗(yàn),有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的局限性,從而優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。
例如,特級教師徐長青教學(xué)《烙餅問題》一課時(shí),是這樣精練學(xué)生的再生經(jīng)驗(yàn)的——
將餅分為能運(yùn)用“資源數(shù)”的偶數(shù)張、奇數(shù)(不含1)張及不能運(yùn)用“資源數(shù)”的1張。相比較而言,學(xué)生理解偶數(shù)張餅的情況要簡單一些,所以教學(xué)從這里開始。教師先讓學(xué)生默讀題干:每次只能烙2張餅,每面都要烙,每面3分鐘。然后引導(dǎo)學(xué)生理解“每次只能烙2張餅”的含義:3張行不行?1張行不行?為什么不行?學(xué)生很輕松地回答:3張不行,1張行,因?yàn)槊看沃荒芾幼疃?張。接著,多媒體演示烙餅過程:2張餅一起烙,用時(shí)6分鐘。引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)得到經(jīng)驗(yàn):2張餅同時(shí)烙,最短的時(shí)間為6分鐘。處理4張餅的情況時(shí),學(xué)生直接把2張餅的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了再生。教師歸納并板書:經(jīng)驗(yàn)+經(jīng)驗(yàn)=新經(jīng)驗(yàn)。處理6張餅的情況后,教師組織學(xué)生優(yōu)化解決策略:將新問題轉(zhuǎn)化為老問題。
接著,處理奇數(shù)張餅的情況。對于烙3張餅的時(shí)間,學(xué)生出現(xiàn)了9分鐘和12分鐘兩種答案:計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn),3張餅,共6面,每次同時(shí)烙2張餅,6÷2=3(次),3×3=9(分鐘);可演示時(shí)卻發(fā)現(xiàn),2張餅烙6分鐘,1張餅也烙6分鐘,共12分鐘。教師及時(shí)點(diǎn)撥:9分鐘的時(shí)候,只放了1張餅,浪費(fèi)了。怎么辦?學(xué)生豁然開朗:烙一次,拿走1張半熟的,再放1張生的上去;再烙一次,拿走1張全熟的,再放1張半熟的上去;再烙一次。教師小結(jié):3張餅可以交替烙。至此,學(xué)生的再生經(jīng)驗(yàn)得到了精練,并初步建立了“同時(shí)烙+交替烙”的烙餅?zāi)P?。運(yùn)用這一模型,學(xué)生發(fā)現(xiàn)5張餅、7張餅……的情況都能順利處理。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生發(fā)現(xiàn):每增加1張餅,多3分鐘;每減少1張餅,少3分鐘。
教學(xué)順理成章地過渡到第三個(gè)層次——特殊的1張餅的情況。學(xué)生發(fā)現(xiàn)此時(shí)不符合奇數(shù)張餅的烙餅?zāi)P汀挥?張餅,不能同時(shí)烙,也不能交替烙。教師順勢介紹“資源數(shù)”2,只有2張餅及以上才能充分利用資源,1張餅不能充分利用資源。那怎樣才能利用“資源數(shù)”呢?學(xué)生突發(fā)奇想:把鍋切成兩半!教師總結(jié)提升:所以,現(xiàn)在市場上也有了兩面同時(shí)烙的電餅鐺。改變環(huán)境與條件,同樣也是一種優(yōu)化。
徐老師的課上,學(xué)生歷經(jīng)了三次再生經(jīng)驗(yàn)的精練,數(shù)學(xué)模型也隨之逐漸優(yōu)化:第一次,由2張餅的情況再生到偶數(shù)張餅的情況,建立同時(shí)烙的模型;第二次,再生到奇數(shù)張餅的情況,優(yōu)化得到“同時(shí)烙+交替烙”的模型;第三次,再生到“資源數(shù)”,從根本上重建并優(yōu)化出“改變環(huán)境與條件”的模型。
四、貫通學(xué)習(xí)方法,重構(gòu)數(shù)學(xué)模型
數(shù)學(xué)模型的重構(gòu)不是簡單的復(fù)原,而是更深刻的理解,是圍繞解決現(xiàn)實(shí)問題的重建。隨著學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的不斷深入,學(xué)生建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型有時(shí)會出現(xiàn)某些偏差,會對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)起負(fù)遷移作用。因此,就有必要引導(dǎo)學(xué)生在更高層次上不斷對已有模型進(jìn)行重構(gòu),將其“擴(kuò)建”成為一個(gè)更大的模型結(jié)構(gòu)。這樣,學(xué)生思考問題會更深刻,對數(shù)學(xué)模型的理解會更透徹,更重要的是,思維會變得更加理性。
例如,教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)加法和減法》一課,教師出示例1情境圖和問題(如圖2),讓學(xué)生嘗試用豎式計(jì)算。學(xué)生小組討論后,交流算法。有學(xué)生是這樣算的:4.75元是475分,3.4元是340分,5+0=5(分),7+4=11(角),留下1角,另外10角換成1元,和4元、3元加在一起,為8元,一共就是8元1角5分,所以列豎式時(shí),末尾對齊相加。還有學(xué)生是這樣算的:4個(gè)“1”和3個(gè)“1”加,7個(gè)“110”和4個(gè)“110”加,5個(gè)“1100”跟自己(0)加,所以列豎式時(shí),小數(shù)點(diǎn)對齊相加。這時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生討論兩種算法的共同點(diǎn),發(fā)現(xiàn):都是同樣的計(jì)量或計(jì)數(shù)單位相加;表現(xiàn)在計(jì)算方法上,看似一個(gè)是末尾對齊相加,另一個(gè)是小數(shù)點(diǎn)對齊相加,但實(shí)質(zhì)都是相同數(shù)位對齊相加。從而明確:改變計(jì)數(shù)單位,小數(shù)加法就可以變成整數(shù)加法。即4.75+3.4,可以看成是475個(gè)“1100”加340個(gè)“1100”,得815個(gè)“1100”,就是8.15。同理,小數(shù)減法也可以與整數(shù)減法的學(xué)習(xí)方法貫通。
(1) 小明和小麗一共要用多少元?
由于小數(shù)是整數(shù)的一次擴(kuò)展認(rèn)識,因此在很多方面與整數(shù)有著共通之處:十進(jìn)制的計(jì)數(shù)法,相同數(shù)位對齊的算理,等等。在教學(xué)中貫通這些學(xué)習(xí)方法,可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)模型的相同本質(zhì),重構(gòu)更大的數(shù)學(xué)模型。
參考文獻(xiàn):
[1] 司守奎,孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用(第2版)[M].北京:國防工業(yè)出版社,2015.
[2] 楊凱,王真紅.學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容疑難問題解析——小學(xué)數(shù)學(xué)[M].長春:東北師范大學(xué)出版社,2012.