構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用

唐吉忠

【摘 要】隨著新課改不斷深入，對高中生的能力也提出了越來越高的要求。因此，高中數(shù)學(xué)教師除了要針對學(xué)生進行數(shù)學(xué)題訓(xùn)練，還應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變他們的思維，也就是運用一類問題的性質(zhì)來解決另一類問題。其中，構(gòu)造法就能夠?qū)ⅰ拔粗绷哭D(zhuǎn)化成“已知”量，從而不僅有助于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，而且還培養(yǎng)了他們的觀察、分析和創(chuàng)造能力?；诖耍疚闹攸c分析了構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0156-02

1? ?構(gòu)造方程（組）

方程主要用來表示兩個存在相等關(guān)系的數(shù)學(xué)式，是一個包含未知數(shù)的等式，二者之間常常使用等號“=”連接。方程無須以逆向思維進行思考，可以直接列出含有未知數(shù)的等式。

方程構(gòu)造法是高中數(shù)學(xué)解題中的一種常用方法。另外，方程還是高中數(shù)學(xué)中的一個重要解題思想，往往能夠同函數(shù)相結(jié)合，按照問題條件中的數(shù)量關(guān)系來構(gòu)建等量方程。然后，再分析此方程中的未知數(shù)關(guān)系，并運用已知數(shù)據(jù)進行相應(yīng)轉(zhuǎn)換，從根本上處理抽象問題，這不僅充分調(diào)動了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，而且還能夠大大提高學(xué)生的解題質(zhì)量和速度。除此之外，采用方程構(gòu)造法進行解題的過程中，還有助于提高高中生的觀察和思維

能力。

例1：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明x，z，y是等差數(shù)列。

解題思路：實際上，證明此道題的方法較多。其中，構(gòu)造法既是一種最簡便的解題方法，同時還是學(xué)生比較喜歡采用的一種方法。當(dāng)他們發(fā)現(xiàn)等式右邊為0時，較易將其同一元二次方程中判定根的方法相結(jié)合。因此，學(xué)生可以列出一個關(guān)于（z-x）2-4（x-y）（y-z）作為判別式的方程，這一方程是（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，接著，列出Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，因此，構(gòu)建出的方程含有一對相等實根。由于（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，因此，兩

個實根均是t=1。按照韋達定理可以得出，t2=，從而得出了2y=z+x，因此，x，z，y為等差數(shù)列。

例2：已知a，b，c是實數(shù)，假設(shè)（a+c）（a+b+c）<0，求證：（b-c）2>4a（a+b+c）。

解題思路：根據(jù)需要證明的不等式可以聯(lián)想到b2-4ac這個一元二次方程根的判別式，從而構(gòu)建出f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），因此，只需證明方程f（x）=0有兩根，或f（x）與x軸相交就可以。當(dāng)a=0時，根據(jù)已知條件可以得出b≠c，相反，要是b=c，c（b+c）<0<=>2b2<0不成立。當(dāng)a≠0時，假定f（x）=ax2+（b-c）x+（a+b+c），由于f（0）=a+b+c，f（-1）=2（a+c），加之（a+c）（a+b+c）<0，因此，f（0）·f（-1）<0，因此，f（x）圖像與x軸相交，最后得出（b-c）2>4a（a+b+c）。

由此可見，方程構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題過程中的應(yīng)用，既能夠減少數(shù)學(xué)題的難度，同時還提升了學(xué)生的思維能力以及學(xué)習(xí)效率。

2? ?構(gòu)造函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程中，教師的主要教學(xué)任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的解題思想。事實上，數(shù)學(xué)問題均包含了函數(shù)思想。因此，在解決代數(shù)和幾何等數(shù)學(xué)問題的過程中，要是能夠把有關(guān)問題重新構(gòu)造成函數(shù)問題，就可以節(jié)約大量解題時間，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力，同時還激發(fā)出了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。

例3：在x∈（0，+∞）這區(qū)間內(nèi)，證明x>ln（1+x）。

解題思路：設(shè)g（x）=x-ln（1+x）。由x∈（0，+∞），因此，g'（x）=1-，而且在此區(qū)間內(nèi)，x+1一直比1大，因

此，一直比1小，為此，g'（x）一直比0大。還由于g（x）在x=0處連續(xù)，因此，在（0，+∞）這一區(qū)間內(nèi)，g（x）為增函數(shù)。從而得出g（x）>g（0）=0。x-ln（1+x）>0，最終得出結(jié)論：x>ln（1+x）。

例4：已知函數(shù)f（x）的定義域是R，f（0）=2，x∈任意R，f（x）+f’（x）>1，求證：不等式ex·f（x）>ex+1的解集。

解題思路：首先，采用構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex·f（x）-ex，然后再按照問題條件，通過移項合并，得出g’（x）=ex·（f（x）+f’（x））-ex>0，所以，g（x）是R上的增函數(shù)。另外，根據(jù)已知條件還能夠得出，g（0）=e0·f（0）-e0=1，因此，g（x）>g（0），最后得出結(jié)論x>0，從而求得x的解集是{x∈R，x>0}。

采用函數(shù)構(gòu)造法解決數(shù)學(xué)問題不僅清晰明了，而且還簡單易懂，除此之外，還具有較強的靈活性。因此，對其加以應(yīng)用時，一定要有針對性地進行構(gòu)造，緊扣解題

目標(biāo)[1]。

3? ?構(gòu)造圖形

大量高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐表明，大多數(shù)高中生都不喜歡學(xué)習(xí)理論知識，這主要是由于數(shù)學(xué)理論比較抽象難懂，從而限制了學(xué)生的思維。然而，讓學(xué)生結(jié)合問題條件將相應(yīng)的圖形畫出來，卻有助于他們深入理解題干，還能夠充分調(diào)動起他們的學(xué)習(xí)積極性。由于圖像能夠使學(xué)生產(chǎn)生一種直觀體驗，因此圖形構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效方法[2]。

例5：已知α、β、γ均為銳角，cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證：tanαtanβtanγ≥2。

解題思路：高中生看到三角函數(shù)就較易將其同長方體中的對角線和棱組成角的有關(guān)性質(zhì)相結(jié)合，基于此，高中生可以構(gòu)建出相應(yīng)的三角形。并分別設(shè)長方體的長、寬、高為a、b與c，并且在點B相交的三條棱與對角線BD1間的夾角分別為α、β和γ。所以，可以將之前的三角不等式變換成適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)不等式，最后得出結(jié)論：tanαtanβtanγ≥2。

4? ?結(jié)語

綜上所述，高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，倘若根據(jù)思維定式難以探究解題思路與方法時，可以針對不同的數(shù)學(xué)問題采用相應(yīng)的構(gòu)造法，以此來培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造意識，從而有助于提高他們現(xiàn)有的解題能力。其中，函數(shù)、方程、圖形和模型構(gòu)造法均屬于高中數(shù)學(xué)解題過程中的常用方法，這些構(gòu)造法能夠幫助學(xué)生探究出合適的解題思路與方法。由此可見，針對構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的運用展開深入研究顯得十分必要。

【參考文獻】

[1]馮旭明.淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究，2017（7）.

[2]何憶捷，熊斌.中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018（2）.