王進(jìn)偉

摘要：數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，本文分析財(cái)經(jīng)院校的數(shù)學(xué)學(xué)院的數(shù)學(xué)分析教學(xué)特點(diǎn)，并在分析的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法上的改進(jìn)做了初步的探討。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析;分層教學(xué);導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;建模

數(shù)學(xué)分析不僅是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一，其在理工財(cái)經(jīng)類大學(xué)中的地位也是不可取代的。筆者結(jié)合在財(cái)經(jīng)類大學(xué)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)實(shí)踐就數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)的問題談?wù)勛约旱拇譁\的認(rèn)識(shí)。

一、數(shù)學(xué)分析教學(xué)現(xiàn)狀

作為財(cái)經(jīng)院校的數(shù)學(xué)學(xué)院，我們的培養(yǎng)目標(biāo)是懂經(jīng)濟(jì)，精數(shù)學(xué)的復(fù)合型專業(yè)人材，而高等數(shù)學(xué)相關(guān)教材[1]無法適用我們的教學(xué)。因?yàn)楝F(xiàn)在學(xué)校采取的是大類招生政策，學(xué)生入學(xué)學(xué)習(xí)一年后分再分流選專業(yè)。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容無法同時(shí)滿足數(shù)學(xué)學(xué)院所有專業(yè)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，因此數(shù)學(xué)分析作為學(xué)院專業(yè)基礎(chǔ)課也就成為必然。然而以數(shù)學(xué)分析[2]作為基礎(chǔ)課教材，會(huì)面臨著很多的新困難[3]。

1.學(xué)生數(shù)學(xué)水平差距大

財(cái)經(jīng)院校數(shù)學(xué)學(xué)院的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并不好，他們的數(shù)學(xué)水平差距很大。一些學(xué)生在高中階段沒有得到很好的數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練，這在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的過程中，會(huì)遇到很大的挑戰(zhàn)。而數(shù)學(xué)基礎(chǔ)兩極分化也導(dǎo)致數(shù)學(xué)分析教學(xué)的難度成倍增加，這對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)來說都是考驗(yàn)。

2.學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣小

數(shù)學(xué)專業(yè)課的性質(zhì)使得很多同學(xué)不喜歡數(shù)學(xué)專業(yè)課，而作為專業(yè)基礎(chǔ)課的數(shù)學(xué)分析來說，就更難吸引學(xué)生的關(guān)注。數(shù)學(xué)分析內(nèi)容多，定理多，證明多，難理解、難計(jì)算，在實(shí)際生活中更難找到應(yīng)用。相比財(cái)經(jīng)院校中的強(qiáng)勢(shì)專業(yè)，如：金融、會(huì)計(jì)等專業(yè)而言，學(xué)生的付出和收獲差太大，自然對(duì)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的興趣很小。數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也更愿意學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)、會(huì)計(jì)和管理類的看起來“簡單”、“有效”的學(xué)科內(nèi)容，而對(duì)數(shù)學(xué)分析也沒有了學(xué)習(xí)的動(dòng)力和需求。

3.社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的認(rèn)可度小

當(dāng)代社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的認(rèn)識(shí)也存在偏差，這既是數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的普及教育不夠，也是數(shù)學(xué)專業(yè)自身的宣傳力度不夠。很多人不了解數(shù)學(xué)，他們對(duì)于數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)還在初中數(shù)學(xué)的范疇，這種大眾的認(rèn)識(shí)又反過來影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的認(rèn)識(shí)，這就更加深了數(shù)學(xué)無用的思想，對(duì)數(shù)學(xué)分析的教與學(xué)造成很大的困擾。

4.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容過于繁復(fù)

數(shù)學(xué)分析自身也存在一些問題。首先數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容過于抽象和繁復(fù)，很少有和實(shí)際相聯(lián)系的部分，學(xué)生不知道一些概念的來龍去脈，也不知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的目的是什么。他們往往是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析而學(xué)數(shù)學(xué)分析，這樣很難培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。其次，數(shù)學(xué)分析內(nèi)容和高中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接上也存在一定問題。現(xiàn)階段高中知識(shí)不能很好的對(duì)數(shù)學(xué)分析提供支撐，大部分學(xué)生無法從高中的數(shù)學(xué)知識(shí)自然的過渡到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)中去，這一點(diǎn)在文獻(xiàn)[4]中有更詳細(xì)論述。

二、數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中的幾點(diǎn)探索

鑒于數(shù)學(xué)分析在財(cái)經(jīng)學(xué)院的教學(xué)現(xiàn)狀，考慮到學(xué)生的情況和數(shù)學(xué)分析這門課程的特點(diǎn)，筆者在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中分別做了一些嘗試。

1.教學(xué)內(nèi)容模塊化

由于數(shù)學(xué)分析內(nèi)容過于復(fù)雜和抽象，且內(nèi)容多，學(xué)生難以接受，很多同仁都對(duì)這一問題給出了自己解決方法[4]。筆者根據(jù)數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的相關(guān)性對(duì)內(nèi)容進(jìn)行打包，歸結(jié)為極限、微分、積分三大類，每一大類又分為數(shù)個(gè)小類，類似于面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)一樣的把內(nèi)容模塊化。模塊化教學(xué)可以把相關(guān)的內(nèi)容統(tǒng)一處理，方便前后聯(lián)系，便于理解知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)性;同時(shí)對(duì)模塊根據(jù)內(nèi)容分為難中易三個(gè)程度，比如實(shí)數(shù)的完備性、函數(shù)的可積性討論、向量積分等內(nèi)容可以放在較難的高階模塊。易模塊是基礎(chǔ)部分，重點(diǎn)內(nèi)容，全體學(xué)生必須要掌握，難模塊是提高部分，給小部分同學(xué)學(xué)習(xí)，中模塊可根據(jù)班級(jí)的情況靈活處理。這樣方便學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況靈活選擇對(duì)應(yīng)的模塊，也便于教師分層教學(xué);再者，內(nèi)容的模塊化，可以使學(xué)生初學(xué)時(shí)忽略掉數(shù)學(xué)分析中過多的枝節(jié)問題，便于掌握主體重點(diǎn)內(nèi)容，適應(yīng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析認(rèn)知的心理過程。

2.強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用背景

大學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性問題一直是個(gè)難題。數(shù)學(xué)分析教學(xué)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用性，應(yīng)該避免為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析而學(xué)數(shù)學(xué)分析的情況。我嘗試把數(shù)學(xué)分析的抽象概念和現(xiàn)實(shí)問題結(jié)合起來，從數(shù)學(xué)分析概念的產(chǎn)生背景開始讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)分析的發(fā)展過程，便于學(xué)生理解數(shù)學(xué)分析的一些定義和定理產(chǎn)生的意義并增加數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用內(nèi)容。這樣能讓學(xué)生從歷史和應(yīng)用中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，進(jìn)而理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例如，在導(dǎo)數(shù)模塊教學(xué)時(shí)，我們可以先講講牛頓和萊布尼茲關(guān)于導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的故事，讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)是怎么被他們發(fā)現(xiàn)的，是怎么一步步的發(fā)展壯大起來的，理解導(dǎo)數(shù)能得以快速發(fā)展的必然性，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣;在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的幾何及極值最值的知識(shí)點(diǎn)后，引入邊際函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則稱導(dǎo)函數(shù)f'（x）為邊際函數(shù)，那么就自然得出了相應(yīng)的邊際成本C'（Q）、邊際收益R'（Q）、邊際利潤L'（Q）等概念，由利潤、成本和收益函數(shù)關(guān)系L（Q）=R（Q）- C（Q），則得出邊際利潤可表示成L'（Q）=R’（Q） -C'（Q）。我們可以引導(dǎo)學(xué)生研究他們之間的關(guān)系，并解決一些簡單的經(jīng)濟(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題與所學(xué)的抽象的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)性質(zhì)聯(lián)系起來。

從結(jié)果可以看出，當(dāng)Q= 24時(shí)邊際利潤為負(fù)值，也就是說，此時(shí)多生產(chǎn)一個(gè)單位商品總利潤反而會(huì)下降。很容易知道當(dāng)Q=200/9時(shí)，利潤取得最大，這個(gè)就是函數(shù)的極值（最值）問題。

3.分層分類教學(xué)

學(xué)生水平不一導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容及進(jìn)度難以把控，如何科學(xué)的分層教學(xué)是一個(gè)難題。筆者是根據(jù)學(xué)生的愛好、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)生的對(duì)未來的規(guī)劃等因素的綜合考慮來對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層分類教學(xué)，把數(shù)學(xué)分析教學(xué)內(nèi)容分基礎(chǔ)內(nèi)容和提高部分，基礎(chǔ)內(nèi)容以統(tǒng)一集中教授為主，強(qiáng)調(diào)的是基礎(chǔ)和扎實(shí)的數(shù)學(xué)技能力訓(xùn)練，對(duì)應(yīng)于模塊中的容易及一部分中等難度模塊。然后以興趣小組的形式分組分類教學(xué)來推動(dòng)數(shù)學(xué)分析提高部分內(nèi)容模塊的教學(xué)，主要體現(xiàn)出學(xué)習(xí)的個(gè)性，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提高。通過一個(gè)基礎(chǔ)教學(xué)，多個(gè)小組的分組學(xué)習(xí)的方法，達(dá)到分層教學(xué)的效果。

例如筆者在班上分別成立了競(jìng)賽興趣組、財(cái)經(jīng)興趣組、信息建模興趣組等。在基礎(chǔ)模塊的基礎(chǔ)上，分別引入一些相關(guān)的知識(shí)模塊。競(jìng)賽組有意識(shí)的安排考研及數(shù)學(xué)競(jìng)賽題及相關(guān)內(nèi)容，主要偏重于邏輯思維能力的訓(xùn)練;財(cái)經(jīng)組則是討論經(jīng)濟(jì)金融方面的問題，側(cè)重于數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)方向的應(yīng)用，比如在學(xué)習(xí)定積分的幾何應(yīng)用時(shí)，可以引入總收益函數(shù)的求解問題5]：假設(shè)某產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為R’（Q），則銷售Q個(gè)單位時(shí)的總收益函數(shù)為R（Q）=JQR'（Q）dQ;信息建模組側(cè)重于數(shù)學(xué)分析中數(shù)據(jù)計(jì)算和分析類訓(xùn)練，可以適當(dāng)?shù)囊胍恍┖唵蔚臄?shù)學(xué)模型，討論如何建模、如何處理數(shù)據(jù)，比如光盤數(shù)據(jù)容量的模型C av=loLa_v、商人安全過河模型等。這些興趣小組活動(dòng)分別以課后作業(yè)及課堂討論、及課外活動(dòng)、網(wǎng)上研討等多樣的教研形式來推動(dòng)。

4.實(shí)踐教學(xué)與理論教學(xué)相結(jié)合

強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)分析的實(shí)用性，一個(gè)重要手段是把實(shí)踐教學(xué)和理論教學(xué)相結(jié)合。利用財(cái)經(jīng)院校的專業(yè)特點(diǎn)，把數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)與財(cái)會(huì)類專業(yè)相結(jié)合，讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)分析的方法去解決一些經(jīng)濟(jì)類、財(cái)會(huì)、公管類的小問題;同時(shí)也可以把數(shù)學(xué)分析與信息類專業(yè)結(jié)合，討論信息處理和數(shù)據(jù)分析，把數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)分析教學(xué)結(jié)合起來。學(xué)生利用數(shù)學(xué)分析的知識(shí)解決了一些小的實(shí)際問題，不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的興趣，更培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力，學(xué)會(huì)以數(shù)學(xué)的思維來處理問題。

在教學(xué)中，筆者主要在下面兩個(gè)方面做了些嘗試：首先，把Matlab計(jì)算機(jī)軟件和數(shù)學(xué)分析的教學(xué)結(jié)合起來，利用Matlab等軟件輔助數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)。伴隨數(shù)學(xué)分析的進(jìn)度，要求學(xué)生利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)極限、導(dǎo)數(shù)、積分的計(jì)算，函數(shù)作圖等問題。例如在學(xué)習(xí)換元積分法時(shí)，在課堂講授換元求解過程的同時(shí)利用計(jì)算機(jī)來作圖形象的展示了積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化過程，還可計(jì)算定積分;

例2.計(jì)算ffe- drdy，D是由z軸與y軸及x+y=2所圍成的圖形。

其Matlab代碼如下：

syms x y u v; U=y- x;V= y+x;

S= solve（ u-U，v—V，x，y）;subplot 121;

ezplot（‘x+y-2’，[-1，3]）; hold on;

plot（[0，0，3]，[3，0，0]）;fill（[0，0，2， 0]，[2，0，0，2]，'y '）;

axis equal tight; title（'原積分區(qū)域圖'）

subplot 122; ezplot（S.x，[-2， 2]）;

hold on; ezplot（S.y，[-2， 2]）;

vl=solve（S. x+S. y2，v）;ezplot（vl，[ -2，2]）;

fi11（[0，2， -2，0]，[0，2，2，o]，'y'）;

title（‘變換后的積分區(qū)域圖'）;%然后根據(jù)變換后的積分區(qū)域計(jì)算該二重積分;

f=exp（（y x）/（y+x））;

f=subs（f，{x，y），{S.x，S.y））;

J=det（jacobian（[S.x;S.y]，[u，v]））;

I=int（int（f* abs（J），u，-v，v），v，O，2）.

其次，通過討論課、課外探索作業(yè)等形式，安排學(xué)生研究一些起小的建模問題、解決經(jīng)濟(jì)上的一些小問題或者數(shù)學(xué)分析難題的一題多解等等，通常是二到三周安排一個(gè)主題。比如在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析中凹凸函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，安排經(jīng)濟(jì)興趣和建模興趣組討論如何利用函數(shù)的凹凸性研究有關(guān)市場(chǎng)中收益最大化的問題;對(duì)于競(jìng)賽組可以讓他們討論函數(shù)凹凸性在不等式證明中的應(yīng)用等，兩組可先采取課外討論，網(wǎng)絡(luò)交流，然后大家課堂上相互交流討論研究結(jié)果，最后分別以作業(yè)或者小論文的形式寫出研究結(jié)果。

5.改變單一的評(píng)價(jià)方式，多維度考察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

評(píng)價(jià)方式指引了教學(xué)的方向，數(shù)學(xué)分析的教學(xué)首先要改變?cè)械囊钥荚囎鳛槲ㄒ坏脑u(píng)價(jià)體制，在文獻(xiàn)[6]中吳老師等對(duì)這一問題做了詳細(xì)的論述。筆者根據(jù)本校的特點(diǎn)，采取多維度的評(píng)價(jià)方式，即保有原有的考試評(píng)價(jià)，又加入了平時(shí)考核、實(shí)踐考核等，其中傳統(tǒng)的筆試成績占60%，實(shí)踐考核成績占40%，評(píng)價(jià)主要依據(jù)以實(shí)驗(yàn)報(bào)告，研討評(píng)價(jià)等多種表現(xiàn)形式。多維度的測(cè)評(píng)方式，有助于更客觀的評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，有助于學(xué)生多向發(fā)展。

三，結(jié)語

數(shù)學(xué)分析的教學(xué)難度，集中而典型的體現(xiàn)了整個(gè)數(shù)學(xué)專業(yè)在教學(xué)中存在的一些問題。怎樣教好數(shù)學(xué)課，怎么讓數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生快速提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而提高自己的競(jìng)爭(zhēng)力，是數(shù)學(xué)專業(yè)教師的責(zé)任。我們數(shù)學(xué)教師在應(yīng)該相互學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，不斷的總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，不斷改進(jìn)教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)效率，才能更好為教育事業(yè)貢獻(xiàn)自己的力量。

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