分類討論思想在數學教學中的滲透

顧艷

摘要：在數學教學中滲透分類討論思想需要抓住兩點：（1）掌握分類的原則，即標準統(tǒng)一，不重復、不遺漏，力求最簡;（2）體會分類的思想，即不能確定，就要分類。學生在處理等腰三角形有關的多解問題時，常常考慮不全面，導致漏解。因此，將中考一輪復習課《等腰三角形問題》整合成分類討論的專題，通過層層遞進的習題，引導學生對邊、角、頂點、高等條件進行分類，幫助學生掌握分類的原則，體會分類的思想。

關鍵詞：分類討論思想滲透等腰三角形問題復習課

分類討論是按照對象的相同點和差異點，將對象區(qū)分為不同種類，加以研究的思想方法。它是一種比較重要的數學思想。使用分類討論思想往往能使復雜的數學問題簡單化。應用分類討論思想解決數學問題，可以培養(yǎng)學生思維的周密性、條理性，提升學生研究問題、探索規(guī)律的能力。因此，數學教學應重視分類討論思想的滲透。

筆者認為，在數學教學中滲透分類討論思想需要抓住兩點：（1）掌握分類的原則，即標準統(tǒng)一，不重復、不遺漏，力求最簡;（2）體會分類的思想，即不能確定，就要分類。下面以中考一輪復習課《等腰三角形問題》為例加以說明。

一、教學構想

這節(jié)課前，學生已經掌握了等腰三角形的基本知識，較為全面地理解了等腰三角形的概念、性質，也做了不少等腰三角形的證明及計算練習，且正確率較高。但是，學生在處理等腰三角形有關的多解問題時，常?？紤]不全面，導致漏解。因此，筆者將中考一輪復習課《等腰三角形問題》整合成分類討論的專題，希望通過層層遞進的習題，幫助學生掌握分類的原則，體會分類的思想。

二、教學簡錄

（一）熱身練習

通過一組簡單的填空練習，喚醒學生對于等腰三角形的解題方法的記憶。

練習1已知等腰三角形的一個內角為95°，則其底角為。

練習2已知等腰三角形的一個內角為65°，則其底角為。

（二）探究一：與邊有關的分類

師（投影出示）例1：已知等腰三角形的兩邊長是方程x2-11x+30=0的兩根，求它的周長。

生周長是16或17。

師很好！能說說你是怎么考慮的嗎？

生我先解方程，方程的兩根為5和6。求周長需要分腰為5、底為6和腰為6、底為5兩種情況討論。

師很好！現(xiàn)在我將這道題改一改，你們再試試。（投影出示）變式：已知等腰三角形的兩邊長是方程x2-6x+8=0的兩根，求它的周長。

生8或10。

生不對，8要舍去。

師為什么？

生方程的兩根為2和4。求周長需要分腰為2、底為4和腰為4、底為2兩種情況討論。但是，腰為2、底為4這樣的等腰三角形不存在，所以8要舍去。

師很好！我們在分類討論時，還要考慮三邊之長是否滿足三角形的構成條件。（投影出示）例2：已知等腰三角形ABC的周長為8 cm，AB=3 cm，則BC=cm。

生兩解：2或2.5。

師能說說你的思路嗎？

生我是分兩種情況來求解的：當AB為腰時，AB=AC=3 cm，則BC=2 cm;當AB為底時，AB=3 cm，則AC=BC=2.5 cm。

師有沒有補充的？

生沒有。

師這道題和上一題有什么不同？

（學生遲疑。）

師老師提示一下：上一題是知道等腰三角形不相等的兩邊長，求其周長，只要對已知的兩條邊哪個是腰、哪個是底進行分類討論，剩下未知的一條邊是腰還是底就確定了;而這道題是知道等腰三角形的周長和一條邊長，求其另外一條邊長，因此除了要對已知的邊是腰還是底進行分類討論，還要對——

生（恍然大悟）還要對要求的邊是腰還是底進行分類討論。

師非常好！請你補充完整。

生當AB為腰時，若BC為腰，則AB=BC=3 cm;若BC為底，則AB=AC=3 cm，BC=8-3×2=2（cm）。當AB為底時，BC為腰，則AC=BC=（8-3）÷2=2.5（cm）。

師非常好！這道題要分三種情況討論。實際上，換個角度看，這道題和上一題的不同還體現(xiàn)在，這道題給出了頂點具體的字母，而上一題沒有給出。因此，我們還可以對具體的字母從頂點的角度分類。誰來試試？

生（1）當A為頂角的頂點時，AB=AC，BC為底;（2）當B為頂角的頂點時，AB=BC，AC為底;（3）當C為頂角的頂點時，AC=BC，AB為底。

師很好！你發(fā)現(xiàn)了什么？

生這三種情況和之前對已知的邊及要求的邊是腰還是底進行分類討論得到的三種情況是一一對應的。

師非常好！你能按照現(xiàn)在這種分類方法將這道題的解答補充完整嗎？

生（1）當A為頂角的頂點時，AB=AC=3 cm，則BC=2 cm;（2）當B為頂角的頂點時，AB=BC=3 cm; （3）當C為頂角的頂點時，AC=BC=2.5 cm。

師很好！這兩種解法本質上是一樣的。我們在解決有關等腰三角形邊的問題時，有時需要對邊進行分類討論，即對已知的邊和要求的邊是腰還是底進行分類討論。當然，在給出頂點具體的字母的情況下，也可以按頂點來分類討論，因為頂角的頂點一旦確定，腰和底也就隨之確定了。

[設計意圖：例1只需要考慮一次分類，是鋪墊題。變式題是為了讓學生在分類的基礎上學會全面考慮，進行取舍。例2需要考慮兩次分類，或者換一個更本質的角度，通過一次分類獲得所有情況，是易錯題。很多學生的思維定式是抓住一個條件進行一次分類，這樣最容易漏解。通過例2，學生可以學會多角度思考，讓思維更縝密;學會換角度思考，讓思維更靈活。]

（三）探究二：與角有關的分類

師（投影出示）例3：已知等腰△ABC中，∠A=80°，則∠B=。

生老師，我們小組計算出三個答案：50°、20°、80°。我們是按頂點來分類的。

師很好，活學活用！頂角的頂點一旦確定，頂角和底角也就隨之確定了。而如果按角來分類，則不僅要對已知的角分類，還要對要求的角分類?？梢?，按頂點來分類最高效。（稍停）你能上黑板畫出對應的三個圖形嗎。

（學生板演，結果如圖1。）

師很好！依次是A為頂角的頂點、B為頂角的頂點、C為頂角的頂點的情況。（投影出示）例4：已知等腰△ABC中，BC邊上的高等于BC邊長的一半，則∠BAC=。

（學生小組討論。）

生這道題，我們認為應該分成兩類：（1）BC為底時，∠BAC=90°;（2）BC為腰時，∠BAC=75°。

師你能上黑板畫出圖形嗎？

（學生板演，結果如圖2。）

師BC為底時，不難得到∠BAC=90°。但是，BC為腰時，你是怎么得到∠BAC=75°的呢？

生在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=BC=2AD，所以∠B=30°。可得∠BAC=75°。圖3

師好的。分成這兩類后得到的結果都沒有問題。那么，這樣的分類有沒有問題呢？我們再來檢查一下。這里是按邊分類的。若果按角分類，結果一樣嗎？

生一樣。

師按頂點分類呢？

生一樣，因為B為頂角的頂點、C為頂角的頂點這兩種情況實際上是一樣的。

師非常好！那么，還有什么條件可能也需要分類討論嗎？

生是高這個條件嗎？

生（恍然大悟）當BC為底時，要分BC邊上的高AD在三角形內和在三角形外兩種情況討論。

師AD什么情況下在三角形內？什么情況下在三角形外？

生頂角B（或C）為銳角時在三角形內，為鈍角時在三角形外。

生黑板上只畫出了銳角三角形，還有鈍角三角形沒有畫出來。應該還有一解：∠B（或∠C）=150°，∠BAC=15°。

師很好！下面我給出完整的分類，大家來看看。（投影出示圖3）這道題在按邊或角或頂點分類的前提下，還要對高的條件進行分類。所以這道題的結果是三解。分類要到位，才能不漏解：對任何條件，都要看看是確定了的還是需要討論的;對一個條件分類討論之后，還要看看其他條件是確定了的還是需要討論的。

[設計意圖：例3承接例2，將邊換成角（周長條件相當于隱含的內角和結論），讓學生按之前掌握的方法（思路）進行分類，屬于復習鞏固題。例4新增了一個高的條件，表面上需要考慮三次分類，實質上需要考慮兩次分類（BC為腰或底一旦確定，∠BAC為頂角或底角也就隨之確定了），具有一定的挑戰(zhàn)性，將學生的思維發(fā)展推向高潮。而教師最后的總結，明確了分類的思想，起到了畫龍點睛的作用。]