湯思勝

一 、序言

射影幾何博大精深、魅力無窮，題目讓人耳目一新、流連忘返。可惜它的內(nèi)容深奧、圖形復(fù)雜，學(xué)生很難在短時間里面入門該課程，這是一種遺憾。而從前蘇聯(lián)教育家維果茨基提出的最近發(fā)展區(qū)理論來看，圓是高中學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓的最近發(fā)展區(qū)，是學(xué)習(xí)解析幾何思維的起點，如果能把圓的性質(zhì)類比到橢圓，將會讓學(xué)生感受到幾何的震撼，也可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此本文想嘗試用高中生能理解的少部分射影幾何概念，去解釋2018年全國卷（1）理科數(shù)學(xué)解析幾何題的原理。

二 、預(yù)備知識

1.調(diào)和點列的概念：如圖所示，設(shè)A，B，C，D是一條直線上的四點，若滿足，則稱為A，B，C，D是調(diào)和點列。

2.調(diào)和點列性質(zhì)：（1）設(shè)A，B，C，D是一條直線上的四點，O是直線外一點，若 A，B，C，D成調(diào)和點列（即的意思），則有（如下圖）。

證明：由于 （三角形面積公式）

。

又因為（把邊 看成三角形的底），

所以……

①同理；。

②又因為；所以……

③又因為……

由①，②，③式可得

，性質(zhì)證畢。

3.調(diào)和點列性質(zhì)：（2）設(shè)A，B，C，D是一條直線上的四點，O是直線外一點，若 A，B，C，D成調(diào)和點列，且OA⊥OB，則有OB 平分∠COD，OA平分∠COD的外角 （如下圖）

證明：由性質(zhì)（1）得

因為∠AOD=90°+∠BOD ，

所以sin∠AOD=sin（90°+∠BOD）同理：∠AOC=90°-∠BOC，所以sin∠AOC=sin（90°-∠BOC）。

所以，推出sin（∠BOD-∠BOC）=0，

所以O(shè)B平分∠COD；OA平分∠COD的外角（證明過程略）

為了應(yīng)用上面的性質(zhì)，同時也為了給后面的高考題做個鋪墊，特設(shè)計了這道關(guān)于圓的純幾何證明的例題。

例題：如下圖所示，已知圓O的一條直徑為CD，弦AB過點F，且。

證明：

（1）AD平分∠FAM，且CA平分∠KAB

（2）

（3）∠KMC=∠BMC

證明：為了方便書寫，記∠4=∠KAD， ∠3=∠FAD，∠2=∠CAB， ∠1=∠KAC

（1）由，可得C，D，F(xiàn)，M為調(diào)和點列，且DA⊥DC（圓周角直角），

由性質(zhì)2立即得出AD平分∠FAM，AC平分∠BAK，所以∠1=∠2

（2）因為∠1=∠2，所以（圓周角所對的弧相等）

（3） 由對稱性，所以∠KMC=∠BMC

4.調(diào)和點列性質(zhì)：（3）設(shè)直線AB的斜率為k，若直線上的點橫坐標(biāo)擴大a倍 ，縱坐標(biāo)擴大b倍，則直線AB的斜率變?yōu)?。

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）沒變化之前 ，變化后。

三、真題分析

2018年全國卷（1）理科數(shù)學(xué)第19題

設(shè)橢圓C：的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標(biāo)為（2，0）

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，證明：∠OMA=∠OMB

解釋：（1）略

（2）點F的坐標(biāo)為（1，0），如果把上面那個例題中的圓O設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)圓x2+y2=1。根據(jù)的關(guān)系，可設(shè)點C，F(xiàn)，D，M的坐標(biāo)分別為（-1，0），，（1，0），（，0）。把該圓O的橫坐標(biāo)擴大倍，縱坐標(biāo)不變，則圓O恰好變成橢圓。而點F，M的坐標(biāo)恰好變?yōu)椋?，0），（2，0）。由性質(zhì)（3）可得直線BM，KM的斜率在拉伸變化過程中，始終有 KBM=KKM，所以∠OMA=∠OMB的結(jié)論成立。從而可以看出這道高考題的背景能用調(diào)和點列的性質(zhì)來解釋。

四、課堂實踐

在2016年，本人曾經(jīng)在一個理科普通班（該班全國高考數(shù)學(xué)平均分90分左右）實踐過這三條性質(zhì)的講解，學(xué)生普遍能接受，效果不錯。但是對調(diào)和點列這個概念，特別是那個比值的書寫容易混亂，這一點需要加強突破。