何俊

摘要：本文證明對于定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，其嚴格單調(diào)性與一一對應性是等價的，并以此為基礎對教材上的反函數(shù)連續(xù)定理及反函數(shù)導數(shù)定理稍作改進。

關鍵詞：連續(xù)函數(shù);單調(diào)性;一一對應;反函數(shù)

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A ? 文章編號：1003-2177（2019）24-0067-02

0引言

函數(shù)的單調(diào)性與一一對應性是我們非常熟悉的概念，中學數(shù)學中就開始涉及。為行文方便，現(xiàn)將其定義敘述如下：

顯然，嚴格單調(diào)必定一一對應，但反之不然。例如f（x）= 在定義域上是一一對應的，但不是嚴格單調(diào)的。又如f（x）= 在定義域上也是一一對應的，但不是嚴格單調(diào)的，甚至在任何一個區(qū)間上都不是嚴格單調(diào)的。

而本文要指出的是，對于單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)而言，一一對應和嚴格單調(diào)這兩個概念是等價的。

在現(xiàn)行的大多數(shù)數(shù)學分析與高等數(shù)學教材中，關于反函數(shù)的連續(xù)性定理以及反函數(shù)的導數(shù)定理，定理條件中均要求函數(shù)是嚴格單調(diào)的，定理的完整敘述如下。

首先我們要注意到，一方面，這兩個定理主要是為了證明初等函數(shù)的連續(xù)性以及對初等函數(shù)求導，就這個目的而言，嚴格單調(diào)的要求并不高;另一方面，假設函數(shù)是嚴格單調(diào)的，會讓證明過程簡潔得多。正是出于這兩個考慮，所以現(xiàn)行教材上大多采用這個版本。但是就理論的嚴謹性而言，我們也要知道，嚴格單調(diào)這個條件是多余的。下文我們將證明定義在單個區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只要有反函數(shù)，則必定是嚴格單調(diào)的。

參考文獻

[1]費為銀，王傳玉，項立群，等.高等數(shù)學[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2018.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

（編輯：楊梅）