黃悅軍

摘 要：培養(yǎng)學生發(fā)展核心素養(yǎng)是推進課程改革深化的關鍵環(huán)節(jié).復習課是初中數學教學重要的組成部分，如何讓數學核心素養(yǎng)在復習課堂上得以實實在在地落地，是值得廣大數學工作者深入研究和探討的課題.本文以一節(jié)復習課的教學設計為例，闡述在教學中如何提升學生的數學核心素養(yǎng)，并提出核心素養(yǎng)視角下的初中數學復習課教學設計原則.

關鍵詞：數學核心素養(yǎng);復習課;教學設計

1 教學設計

1.1 內容分析

本節(jié)選自北師大版九年級上冊第二章《一元二次方程》復習課第二課時.學生之前已學習了一元一次方程，二元一次方程組，可化為一元一次方程的分式方程，初步感受了方程的模型作用，并積累了一些利用方程解決實際問題的經驗.但生活中有關方程的模型并不都是線性的，一元二次方程在現實生活中具有同樣的廣泛的應用.

一元二次方程的應用是一元二次方程解法的延續(xù)和深化，也為學生學習二次函數奠定基礎.通過本節(jié)課的學習，使學生進一步學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言表達世界，發(fā)展數學抽象、邏輯推理、數據運算和數學模型等核心素養(yǎng).

1.2 學情分析

從學生的年齡特征看，九年級學生好奇心強、求知欲旺盛.本節(jié)復習課內容結合現實問題情境，不僅生動有趣，而且容易激發(fā)學生的興趣和探究欲望.

從學生的學習基礎看，通過前階段學習，學生已掌握利用方程解決實際問題的方法，也掌握了一元二次方程的解法，初步學習了用一元二次方程解決應用題，具備了一定的分析、綜合、歸納、類比能力，在此基礎上，本節(jié)課將通過設置不同的問題情境，讓學生解決三類問題.

1.3 教學目標設計

（1）能在熟悉的情境中抽象出數學問題，通過觀察和分析，用數學語言準確表達各個量之間的關系，進而建立數學模型，培養(yǎng)學生的數學抽象，邏輯推理以及數學建模核心素養(yǎng).

（2）能在觀察分析所列方程的結構的基礎上，通過動手實踐，類比探究，選擇合理的解方程方法，培養(yǎng)學生的數據分析素養(yǎng)和數學運算素養(yǎng).

（3）以問題情境為研究對象，通過對圖形和數據的觀察、分析、探究、類比，歸納出解決幾何類、銷售類和增長率問題的通法，進而加強對三類問題的認識，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

（4）通過將問題情境轉化為方程問題、領悟方程思想、數形結合思想，初步感悟函數思想，進而解決問題的經歷，讓學生體會數學建模的過程和處理方式.能通過動手實踐、合作交流、批判質疑、合情推理等過程，運用建模的結論解釋實際問題，培養(yǎng)合作意識，體會數學的應用價值.

1.4 教學重點與難點

教學重點：三類問題及其變式的解決.

教學難點：幾何類問題的解決;增長率模型的建立.

1.5 教法與學法設計

1.5.1 教法設計

本節(jié)課主要采用啟發(fā)法和師生談話法進行教學.

設計意圖 考慮到學生數學抽象和數學建模的水平有限，因而教師設置針對性的問題情境，采用“知識梳理——問題探究——變式訓練——新知生成——課外提升”為主線的課堂教學方式，通過“問題鏈”的層層深入組織教學.學生在探究出現困難時，教師要及時提出富有針對性、啟發(fā)性的問題引導學生進行審題和深入思考，必要時借助幾何畫板輔助教學.通過學生動手操作和教師演示，引導學生將觀察到的現象用數學語言加以表達.此外，教師還需及時關注學生探究的進展情況并給予指導和評價鼓勵，此過程宜采用師生談話來進行.

1.5.2 學法設計

本節(jié)課的學法主要由動手實踐，自主探究與合作學習相結合的方式.

設計意圖 三類問題的解決需要學生通過觀察、操作等方式進行探索，其中幾何類問題的解決可進一步通過幾何畫板動態(tài)演示提出猜想.本節(jié)課讓學生在經歷自主探索和合作交流的過程中，積累數學基本活動經驗，產生積極的數學情感體驗，提升數學思維的深刻性.

1.6 教學過程設計

1.6.1 梳理知識，優(yōu)化結構

為了加強學生對本章知識的理解，教師在課前讓學生自主對本章知識進行梳理，并引導學生用思維導圖的形式加以呈現.同時，引導學生在本環(huán)節(jié)中，加強對本章知識的理解，并整理出自己尚未掌握的知識和技能，便于課堂交流.

上課第一環(huán)節(jié)，教師讓部分有代表性的學生在課上展示，讓學生主動暴露個體知識體系的缺漏，其他同學結合自己繪制的思維導圖對其提出改進意見，集思廣益，彌補學生知識的缺漏和思維的不足，有助于全體學生多種角度的看待問題，形成對知識的深層次理解，完善知識體系，優(yōu)化數學認知結構，有效地激活學生的數學思維，為后面環(huán)節(jié)知識的運用與遷移做好鋪墊.

1.6.2 活動探究，解決問題

問題1 一個矩形周長為56厘米.

（1）當矩形面積為180平方厘米時，長寬分別為多少？

（2）能圍成面積為200平方厘米的矩形嗎？請說明理由.

問題2 某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件;如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣2件.設每件商品的售價為x元（x為正整數），當每件商品的售價是多少元時，每個月的利潤剛好是2250元？

問題3 某種商品的標價為400元/件，經過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，求該種商品每次降價的百分率.

設計意圖 學生通過對三個典型問題的剖析和探究，感悟一元二次方程三類應用題的問題表征，培養(yǎng)學生收集、分析和加工信息的能力.學生經歷自主探究，觀察分析，發(fā)現可以利用一元二次方程來解決問題，獲得初步的數學建模體驗.在探究過程中，學生通過討論和修正，用準確的文字語言和數學符號語言建立相應的數學模型.教師在此過程進行巡視，提問和個別指導，引導學生用精煉、概括的數學語言充分地描述問題，培養(yǎng)學生運用數學語言表達世界.整個探究過程，既有模型建構又有數學運算，既有獨立思考又有合作交流，充分發(fā)揮了學生的主體性.

問題1背景較為簡單，低起點，多層次.以此情境引入，能面向大多數學生，讓更多學生參與到復習中來.對于建模過程中出現的錯誤，教師應引導學生通過畫圖進行分析.第（2）小問將矩形的存在性問題轉化為一元二次方程的根的存在性問題，在問題解決過程中，讓學生感悟數形結合的思想.

學生通過自主探究找出問題2中的關鍵等量關系“單個利潤×銷售總數=總利潤”，借助表格將問題中的各數據間的關系更為清楚地表達.在使用不同假設未知量的方法上，應讓學生通過合作交流，比較其差異，體會方法的靈活性與統(tǒng)一性.兩種情況列表和方程如下：

經過新課的學習和知識梳理環(huán)節(jié)，學生已基本掌握增長（減少）率模型a（1±x）n=b，可較為輕松地解決問題3.在用直接開平方法解方程400（1-x）2=324時，存在兩種運算程序：一是計算324÷400=0.81，求0.81的平方根;另一種是將324400約分為81100，利用ab=ab a≥0，b>0進行求解.教學過程中教師應引導學生通過動手實踐，比較兩種運算程序的差異，讓學生歸納總結解此類方程的較為合理的運算方法.

1.6.3 變式訓練，鞏固拓展

變式1 如圖1，一次函數的圖象y=-2x+3交x軸與點A，交y軸于點B，點P在線段AB上（不與點A，B點重合），過點P分別作作OA和OB的垂線，垂足為C，D.

（1）是否存在點P，使得矩形OCPD的面積為1？若存在，求出點P的坐標，若不存在說明理由？

（2）是否存在點P，使得矩形OCPD的面積為2？若存在，求出點P的坐標，若不存在說明理由？

（3）根據（1）和（2），你還可以提出哪些問題？

變式2 某商品的進價為每件40元，售價為每件60元時，每個月可賣出100件;如果每件商品的售價每上漲2元，則每個月少賣1件.設每件商品的售價為x元（x為正整數），當每件商品的售價是多少元時，每個月的利潤剛好是3600元？你還可以提出哪些問題？

變式3 ①“一帶一路”國際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，在論壇召開之際，福田歐輝陸續(xù)向緬甸仰光公交公司交付1000臺清潔能源公交車，以2017客車海外出口第一大單的成績，創(chuàng)下了客車行業(yè)出口之最，同時，這也是在國家“一帶一路”戰(zhàn)略下，福田歐輝代表“中國制造”走出去的成果，預計到2019年，福田公司將向海外出口清潔能源公交車達到3000臺，設平均每年的出口增長率為x，可列方程為

②某公司今年銷售一種產品，一月份獲得利潤10萬元，由于產品暢銷，利潤逐月增加，一季度共獲利36.4萬元，已知2月份和3月份利潤的月增長率相同.設2，3月份利潤的月增長率為x，可列方程為

設計意圖 本環(huán)節(jié)采取學生自主探究和交流討論的形式.學生在第二環(huán)節(jié)已初步感知三類應用題的問題表征，本環(huán)節(jié)將通過對問題變式的處理，加深學生對三類問題表征的理解，加深學生對數學建模思想的理解，進一步熟悉運用數學建模解決實際問題的方法，領悟三類問題背后的本質.學生能根據問題表征，選擇恰當的模型，嘗試借助圖形和表格的方法來描述各數量之間的關系，建模并列出方程求解，并且能夠把所得的結果回歸到現實問題，體驗用方程解決實際問題的方法.教師通過提出“問題鏈”，引導學生進行深入思考，發(fā)現各數量之間的變化規(guī)律，為本節(jié)復習課新知的生成做鋪墊.

變式1由問題1的平面幾何背景換成解析幾何背景，需結合一次函數相關知識進行解答，此時矩形OCPD的面積需用含未知量的關系式來表示，這要求依據點P的軌跡來假設點P的坐標.為引導學生在（3）中提出問題，在學生解答（1）（2）后，教師可提問“矩形OCPD的面積是否能為10？是否能為20？”，引導學生動手操作，通過數學運算和對比分析，再利用幾何畫板，移動點P的位置，讓學生觀察矩形OCPD的面積的變化情況進而提出猜想.當觀察到矩形OCPD的面積可能存在最大值，教師可依據學生實際情況，引導學生探究，求出最值（也可作為課后探究作業(yè)）.

對于變式2，若假設漲價為未知量，該問題有兩種處理方式.除了要求學生理解兩種列方程形式在數學思想方法上的區(qū)別外，應讓學生通過解方程，體驗由方程形式的不同而帶來的計算程序上的差異，使學生在后續(xù)關聯(lián)的問題情境中，能合理地確定運算對象和運算方法解決問題.“你還可以提出哪些問題？”是對“售價是多少元時，每個月的利潤剛好是3600元”問法的延續(xù)和拓展.在學生提出問題后，教師引導學生動手操作，通過數學運算，對比分析，體會售價與利潤之間的變化規(guī)律，當觀察到每個月的利潤可能存在最大值時，教師可依據學生實際情況，引導學生探究，借鑒變式1中的處理方式，求出最值（也可作為課后探究作業(yè)）.學生通過歸納類比，發(fā)現變式1中點P的坐標與矩形OCPD的面積之間的關系和變式2中商品售價與每月利潤之間關系存在相同的變化情況，初步感悟了二次函數自變量與因變量之間的關系，為后續(xù)學習二次函數圖象及二次函數應用打下基礎.

變式3考查增長率模型的應用和學生分析信息的能力.問題①是2017年貴州中考題，問題②是2016年遼寧中考題.

1.6.4 歸納小結 形成新知

課堂小結時，教師可提出下列問題引導學生回憶本節(jié)課所學知識：

（1）通過本節(jié)課學習，你掌握了哪些方法？

（2）本節(jié)課探究過程中，涉及到哪些數學思想？

（3）你還有哪些新的發(fā)現和收獲？

設計意圖 通過小組交流和相互補充，學生總結出用表格法、圖形法和基本模型來探究一元二次方程應用題的方法，進一步感悟數學建模思想、數形結合思想和轉化思想.在討論互動中，再現本節(jié)課的知識體系，梳理整個過程中體現的思想方法，再次優(yōu)化學生的知識結構，使之系統(tǒng)化、條理化，充分認識到數學問題背后的本質，加深對知識間內在聯(lián)系的理解和認知.教師可提供思維導圖的范例供學生參考（如圖2）.提問“你還有哪些新的發(fā)現和收獲？”不僅可以將學生的收獲延伸到過程與方法、情感態(tài)度與價值觀等方面，而且有利于提高學生的自我評價能力，發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng).

1.6.5 布置作業(yè) 課外延伸

作業(yè)：略

設計意圖 作業(yè)分為鞏固作業(yè)和課外探究兩種形式.鞏固作業(yè)用于檢測學生的本節(jié)復習學習效果，而課外探究采用開放性問題，供學有余力的學生課后研究，有利于開拓學生的數學思維，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生應用意識，也體現了分層教學要求.

2 基于核心素養(yǎng)的初中數學復習課教學設計原則

2.1 注重問題情境設置的合理性與層次性

數學教育的任務就是培養(yǎng)學生能用與數學相關的知識技能、思維方式、探究技能以及態(tài)度和價值觀等去解決現實生活中的問題，能用數學的眼光去觀察生活，思考生活中的問題.因此務必重視問題情境與生活的聯(lián)系，結合學生的最近發(fā)展區(qū)，才能激發(fā)學生的學習興趣，使學生樹立信心，產生積極思考.

復習課教學設計要面向全體學生，讓每個學生在核心素養(yǎng)上有所發(fā)展.因此問題情境設置應難度小，起點低，螺旋式上升.如本節(jié)課的問題情境和問題變式，均選自教材，教材習題變式和各省市的中考真題，在設置上均有一定代表性.“問題鏈”層層深入，讓大部分學生通過自主探究和合作交流能夠“跳一跳，夠得著”.

2.2 注重問題處理方法的通性與針對性

初中數學涉及方程的內容，主要包括方程的概念，方程的解和方程的應用三個方面.初中階段方程的應用問題，不同類型的問題處理方法雖有不同，但有通性通法.如在本節(jié)課需用畫圖分析解決幾何類問題，用列表分析解決銷售類問題，用增長率模型解決增長率問題.銷售類問題在結構上有一定共性：給定一個具體盈利情況作為參考，在此基礎上進行漲價或降價.以上這些問題的辨識和結構特征的發(fā)現，需要學生經歷多次完整的數學建模過程，積累利用數學建模解決問題的經驗，運用數學語言和方法解決問題，通過合作交流、類比歸納，得出通法，發(fā)展數學建模素養(yǎng).

此外，由不同問題情境列出的方程在結構上存在一定共性（如問題3），這就要求學生在觀察分析和動手實踐后，針對不同的結構的方程能選擇合理的運算程序和解法，使數學運算素養(yǎng)得到提升.

2.3 注重知識結構的整體性和拓展性

復習課的基本任務就是通過系統(tǒng)地梳理知識，加強知識聯(lián)系的豐富性和順暢性，進而加強知識理解的準確性和深刻性，形成良好的數學認知結構，通過對問題的解決，提高綜合運用知識解決問題的能力.初中數學方程類單元復習課通常需兩個課時，第一課時內容為方程的概念與解法，第二課時內容為方程的應用.教師應引導學生將本章知識進行梳理，優(yōu)化認知結構，并給出建議或參考.學生在理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關系過程中，逐步完善網狀的知識結構，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

復習課的一項重要任務是促進學生新知生成.方程與函數存在緊密聯(lián)系.學生通過動手實踐、觀察分析、類比歸納，初步感知二次函數自變量與因變量之間的關系，教師還利用幾何畫板輔助教學和開放式問題設計，引導發(fā)現最值問題.開放式的編題和解答不受牽制，更有利于學生獨立思考和自主探究.通過說題，培養(yǎng)學生把自己的想法用精煉、概括的數學語言充分地表達出來，培養(yǎng)學生運用數學語言表達現實世界，用數學的思維分析現實世界的意識.

2.4 注重數學思想方法的滲透

數學思想方法是對數學知識的本質認識.《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程總體目標中增加了“數學基本思想方法”，進一步凸顯了數學思想方法的重要性.在方程類復習課上，教師可以設計不同層次的問題，引導學生進行比較、分類、綜合、歸納，領悟數學知識中蘊含的數學思想方法，進而把數學知識與技能轉化為分析問題、解決問題的能力.

例如在本節(jié)課中，學生通過對問題和問題變式的解決，體會數形結合的思想和方程思想.在知識結構梳理環(huán)節(jié)，教師引導學生發(fā)現和領悟方程解法的生成過程涉及的數學思想方法（如圖3）.? 參考文獻：

[1]王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養(yǎng)[J].中國教師，2016 （09）： 33-38.

[2]史寧中.學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與教學—以數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)為例[J].中小學管理，2017（01）：35-37.

（收稿日期：2019-07-17）