周俊賢， 呂中榮， 汪 利

(中山大學(xué) 工學(xué)院力學(xué)系，廣州 510006)

結(jié)構(gòu)損傷識別與健康檢測技術(shù)在世界范圍內(nèi)得到快速的發(fā)展和應(yīng)用，我國許多大型建筑上安裝了包括多種較大規(guī)模傳感器的健康監(jiān)測系統(tǒng)。在過去的十幾年里，國內(nèi)外研究者提出了大量基于振動測試的損傷識別方法，如殘余力法、曲率模態(tài)法、模態(tài)應(yīng)變能法等一些經(jīng)典算法以及遺傳方法、人工蜂群算法等一些智能算法。結(jié)構(gòu)損傷識別往往被歸結(jié)為優(yōu)化問題，即通過定義一個目標(biāo)函數(shù)[1-2]，然后通過各種優(yōu)化算法來求得損傷參數(shù)。其中靈敏度方法是一種梯度類算法，與其他梯度法相比，其只需要計算一階靈敏度，且靈敏度方法有對小損傷比較敏感等優(yōu)勢，進而受到了廣泛的關(guān)注。在實際工程中，最容易測量到的是模態(tài)數(shù)據(jù)，包括模態(tài)頻率和模態(tài)振型，其次是頻響數(shù)據(jù)和靜態(tài)數(shù)據(jù)。Farhat等[3]使用測試模態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)合靈敏度分析對結(jié)構(gòu)進行模型更新。Chen等[4]提出正則化的靈敏度方法，利用測量的不完全模態(tài)振型數(shù)據(jù)進行模型更新。黃宗鵬等[5]由結(jié)構(gòu)的數(shù)值計算和試驗測試得到的頻響函數(shù)，給出兩者的相關(guān)函數(shù)及其靈敏度的表達形式，提出了一種模型修正方法。楊辰等[6]基于靜力位移和固有頻率靈敏度矩陣，考慮這兩種動靜測試數(shù)據(jù)，提出了融合靈敏度的結(jié)構(gòu)損傷識別方法。基于模態(tài)的識別方法，需要足夠的測試自由度同時依賴于模態(tài)識別的精度，這將增加測量工作量且在修正過程中引入了模態(tài)分析誤差，增加了修正的難度?；陬l響函數(shù)的模型修正方法，所必須的測試自由度較少，降低了測試工作量且不需要模態(tài)參數(shù)識別，降低了測試數(shù)據(jù)的誤差。但頻響函數(shù)需要構(gòu)造一個準(zhǔn)確合理的阻尼模型，且需要對所用的頻響曲線的頻率點和頻率段進行精心的挑選。

本文提出了基于各類數(shù)據(jù)融合和靈敏度分析的損傷識別方法，將不同類型的測量數(shù)據(jù)通過加權(quán)融合到目標(biāo)函數(shù)中。算例表明，相對于僅考慮某一類數(shù)據(jù)的靈敏度方法，融合各類數(shù)據(jù)的靈敏度分析方法識別結(jié)果更加精確，抗噪能力更強。

1 理論方法

1.1 問題描述

剛度和質(zhì)量的改變會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)頻率與振型等參數(shù)的變化，一般認為損傷只引起剛度的改變，采用結(jié)構(gòu)模型中結(jié)構(gòu)單元剛度系數(shù)的變化來表示結(jié)構(gòu)的損傷。結(jié)構(gòu)剛度矩陣可表示為

(1)

式中：K為損傷結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；θi為單元剛度損傷系數(shù)；Ki為單元剛度矩陣；m為單元數(shù)目。

1.1.1 模態(tài)

考慮一個n自由度的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，通過有限元分析得到前n階特征值和振型Λr=〈λr,φr〉(r=1,2,…，n)。不考慮阻尼的結(jié)構(gòu)特征方程為

Kφr=λrMφr

(2)

式中：r=1,2,…,n為結(jié)構(gòu)的模態(tài)階數(shù)；M和K為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；λr為結(jié)構(gòu)的第r階特征值；φr為第r階振型，并已采用最大位移值的歸一化方法，將振型向量中各元素除以最大值。

1.1.2 頻響函數(shù)

黏性阻尼系統(tǒng)強迫振動的復(fù)振動方程為

(-Ω2M+iΩC+K)Z=F

(3)

式中：i為復(fù)數(shù)單位；Ω為外激勵的圓頻率;M,K和C為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，剛度矩陣和阻尼矩陣；Z和F為位移響應(yīng)復(fù)振幅列向量和外激勵幅值向量。

引入位移頻響函數(shù)矩陣H=(-Ω2M+iΩC+K)-1，則結(jié)構(gòu)復(fù)振幅響應(yīng)可以根據(jù)式(3)表述為

Z=HF

(4)

若激勵為頻域內(nèi)作用于結(jié)構(gòu)第j個自由度上的單位諧波激勵，則式(4)可以簡化為Z=Hj，Hj為位移頻響矩陣的第j列。

1.1.3靜力位移

靜位移方程為

Ku=F

(5)

1.2 模型修正問題的目標(biāo)函數(shù)

(6)

在損傷識別問題中，模型修正的目標(biāo)函數(shù)就是使測量數(shù)據(jù)和計算數(shù)據(jù)的殘差最小，見式(7)

(7)

1.3 基于靈敏度的損傷識別方法

(8)

式中：Rk=R(θk)為第k次迭代的計算數(shù)據(jù)；Sk=S(θk)為第k次迭代中的靈敏度矩陣；Δθk為第k次迭代中的損傷參量更新值。

目標(biāo)函數(shù)式(7)變?yōu)?/p>

(9)

當(dāng)θ的維數(shù)遠大于測點數(shù)目，即未知數(shù)遠多于方程數(shù)時，式(9)為一病態(tài)的線性方程組，因此引入Tikhonov正則化方法[7]，新的目標(biāo)函數(shù)為

(10)

式中:λ為正則化系數(shù)，其值用L-曲線法[8]計算。當(dāng)測量數(shù)據(jù)遠大于θ的元素個數(shù)時，λ趨近于0，這時式(10)就接近于原來的目標(biāo)函數(shù)式(9)。求解式(10),得到

Δθk=(SkTWSk+λI)-1SkTWΔRk

(11)

第k次迭代的參數(shù)θk+1表達式為

θk+1=θk+Δθk

(12)

1.4 增強的靈敏度方法迭代算法步驟

(13)

當(dāng)算得的ρ大于一個臨界值ρcr時，才表征線性化的目標(biāo)函數(shù)與原目標(biāo)函數(shù)有良好的吻合度。事實上，提高Tikhonov正則化參數(shù)λ某程度上等同于提高吻合度指標(biāo),表1為增強的靈敏度方法的具體步驟。

表1 增強的靈敏度方法的具體步驟Tab.1 Algorithmic details for enhanced response sensitivity approach

2 靈敏度分析與數(shù)據(jù)加權(quán)融合

2.1 靈敏度分析

針對不同的數(shù)據(jù)類型，靈敏度分析各不相同。

特征值靈敏度

(14)

振型靈敏度

(15)

可以證得[K-λiM]秩為n-1，所以

(16)

式中：v為特解；φ為對應(yīng)的齊次方程的通解。

假設(shè)第i階振型的第k個元素絕對值最大，為1，令系數(shù)矩陣[K-λiM]的對應(yīng)行和對應(yīng)列為0，坐標(biāo)為(k,k)的元素等于1，fij的第k個元素為0，矩陣表示為

(17)

頻響函數(shù)靈敏度

(18)

靜力位移靈敏度

(19)

最后根據(jù)測量數(shù)據(jù)組裝靈敏度矩陣

(20)

2.2 數(shù)據(jù)的加權(quán)與融合

當(dāng)采用不同數(shù)據(jù)時，要考慮不同數(shù)據(jù)間的影響，一方面，數(shù)據(jù)間的單位不同，無法做到量綱統(tǒng)一，如采用模態(tài)特征值與靜位移數(shù)據(jù)時，特征值數(shù)值較大，當(dāng)靜力位移數(shù)據(jù)量很少時，目標(biāo)函數(shù)中起主導(dǎo)作用的是特征值的殘差，靜力位移的影響有限；其次，當(dāng)采用不同單位時，也有不同的影響，如靜力位移數(shù)據(jù)，當(dāng)采用mm為單位時比采用m為單位時對結(jié)果的影響較大，因為當(dāng)采用mm為單位時，靜力位移的數(shù)據(jù)數(shù)值較大。此外，即使采用同類數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)受到的噪聲水平并不相同，一部分數(shù)據(jù)的測量誤差較大，一部分數(shù)據(jù)的測量誤差較小。

所以參數(shù)的權(quán)重矩陣W應(yīng)該要能反應(yīng)參數(shù)和測量數(shù)據(jù)的不確定程度[9-10]。Link[11]把權(quán)重矩陣與平方靈敏度矩陣聯(lián)系在一起。Friswell等將權(quán)重矩陣取為測量協(xié)方差矩陣的逆矩陣。

當(dāng)僅考慮測量誤差，不考慮模型誤差的情況下，加權(quán)矩陣W取為測量數(shù)據(jù)協(xié)方差QR的逆矩陣時，計算得到的識別誤差的平方期望E[(θ-θex)T(θ-θex)]最小。

證明如下：

目標(biāo)函數(shù)式(7)進一步線性化為

(21)

式中：εR為測量誤差；S=S(θex);h.o.t為可以忽略的高階項。當(dāng)θ在θex附近的，可以解得

θ-θex≈[STWS]-1STWεR=LWεR

(22)

式中：LW=[STWS]-1STW。可以得到

E[(θ-θex)T(θ-θex)]≈

(23)

式中：tr(·)為跡算子。

由于加權(quán)矩陣W被包含在輔助矩陣LW里，所以我們選擇直接尋找一個最優(yōu)的LW。

引入拉格朗日算子Θ

(24)

式中：L(LW,Θ)為拉格朗日方程。式(24)對LW作最小化處理，得到

(25)

結(jié)合LWS=I和式(25)得到

(26)

結(jié)合式(25)，最優(yōu)矩陣LW為

(27)

把此時的權(quán)重矩陣W稱為最優(yōu)權(quán)重Wopt

(28)

觀測當(dāng)權(quán)重矩陣時為最優(yōu)加權(quán)時，目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?/p>

(29)

式中：σΛ，σH和σu分別為模態(tài)數(shù)據(jù)、頻響函數(shù)數(shù)據(jù)和靜力位移數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。經(jīng)過權(quán)重處理后，噪聲誤差大的數(shù)據(jù)，對結(jié)果的影響變??；另一方面，權(quán)重處理起到一個去量綱的作用，使得各類數(shù)據(jù)之間取得一個平衡。

3 算 例

用數(shù)值模擬的數(shù)據(jù)來代替實測數(shù)據(jù)，并給數(shù)據(jù)加上高斯噪聲，加載噪聲的方式為

(30)

式中：λ,φ,H,u為R(θex);eλ,eφ,eH,eu為對應(yīng)的噪聲水平；Randλ,Randφ,RandH,Randu為對應(yīng)的正態(tài)分布矩陣。

3.1 平面桁架

圖1 平面框架模型Fig.1 A plane frame model

圖1為單跨平面桁架，高1.2 m，寬0.6 m，邊界條件為左右兩邊固支。楊氏模量E=69 GPa,密度ρ=2.7×103kg·m-3，橫截面尺寸為b=0.01 m和h=0.02 m。

工況1：單元3受損25%。

工況2：單元4、單元6、單元10分別受損10%，15%，10%。

每種情況分別在隨機產(chǎn)生的20組數(shù)據(jù)下得到識別結(jié)果，然后取識別的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，來觀察方法抗噪的能力，結(jié)果如圖2和圖3所示。可以看到當(dāng)采用混合數(shù)據(jù)但不加權(quán)的情況下，識別誤差十分的大，如工況1的單元3識別結(jié)果；而采用經(jīng)過加權(quán)處理的混合數(shù)據(jù)的識別結(jié)果比單獨使用某類數(shù)據(jù)的識別結(jié)果要好，標(biāo)準(zhǔn)差要更小，反應(yīng)了抗噪能力更強。

圖2 工況1損傷識別的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的條形圖Fig.2 Bar graph with means and standard deviations for damage identification of scenario 1

圖3 工況2損傷識別的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的條形圖Fig.3 Bar graph with means and standard deviations for damage identification of scenario 2

表2 單元剛度損傷參數(shù)的平均相對誤差Tab.2 The relative error of the damage parameters %

3.2 板

單跨板邊界條件為左右兩邊簡支，尺寸見圖4。楊氏模量E=25 GPa,密度ρ=2.8×103kg·m-3，泊松比υ=0.2。有限元建模中，將板劃分30個4結(jié)點Reissner-Mindlin板單元。模型修正中的參數(shù)個數(shù)等于有限元單元數(shù)。

圖4 單跨簡支板模型Fig.4 A single-span simple-support plate model

工況3：單元1,單元18，單元23分別受損10%，20%，10%。

用式(27)計算每個單元的損傷參數(shù)的平均相對誤差，結(jié)果如圖5～圖8所示?？梢钥吹絾为毷褂妙l響函數(shù)的最大平均誤差為8.88%,因為靜力位移數(shù)據(jù)較頻響函數(shù)少，所以單獨使用靜力位移數(shù)據(jù)的最大平均相對誤差為20.63%,采用不加權(quán)的混合數(shù)據(jù)最大平均相對誤差最大為33.24%，混合使用加權(quán)處理數(shù)據(jù)的最大平均相對誤差下降為3.5%，再次證明了對不同數(shù)據(jù)進行加權(quán)的重要性。

圖5 使用頻響函數(shù)的單元損傷參數(shù)相對誤差平均值Fig.5 Relative errors for damage parameters obtained with using frequency response function

圖6 使用靜力位移的單元損傷參數(shù)相對誤差平均值Fig.6 Relative errors for damage parameters obtained with using static data

圖7 用混合數(shù)據(jù)(不加權(quán))的單元損傷參數(shù)相對誤差平均值Fig.7 Relative errors for damage parameters obtained with using unweighted hybrid data

圖8 用混合數(shù)據(jù)(加權(quán))的單元損傷參數(shù)相對誤差平均值Fig.8 Relative errors for damage parameters obtained with using weighted hybrid data

4 結(jié) 論

本文采用基于靈敏度和多種數(shù)據(jù)加權(quán)混合的有限元模型識別法對結(jié)構(gòu)的局部損傷進行識別，該方法包含了對不同數(shù)據(jù)的靈敏度分析以及令識別誤差的平方期望最小的最優(yōu)加權(quán)等理論，通過一階泰勒線性展開、靈敏度分析和正則化對識別方程進行迭代求解得到識別結(jié)果。兩個數(shù)值算例表明提出的加權(quán)混合數(shù)據(jù)比起單一使用某種數(shù)據(jù)識別的結(jié)果更加準(zhǔn)確，損傷識別精度高，對模擬的測量噪聲不大敏感的優(yōu)點，具有較好的工程應(yīng)用潛力。其優(yōu)勢主要體現(xiàn)與：

(1)單獨使用某種數(shù)據(jù)時，數(shù)據(jù)量不夠多，如模態(tài)數(shù)據(jù)往往只能得到前幾階頻率和不完整振形，不足以識別多參數(shù)的大型結(jié)構(gòu)。

(2)單獨使用某種數(shù)據(jù)時，容易受到結(jié)構(gòu)的模型誤差影響，如頻響函數(shù)會受到結(jié)構(gòu)阻尼誤差的影響，而模態(tài)、靜力位移數(shù)據(jù)則不受其影響。

(3)通過最優(yōu)加權(quán)使不同數(shù)據(jù)取得一種去量綱化的效果，使不同數(shù)據(jù)對識別結(jié)果的影響得到平衡。