彭國慶

[摘 要]三角形是“圖形與幾何”領(lǐng)域重要的平面圖形之一，比較研究蘇教版和人教版教科書關(guān)于三角形的內(nèi)容，差異性比較明顯，主要體現(xiàn)在三角形的特性呈現(xiàn)時機(jī)和方式不同，三邊關(guān)系的研究方式不同，內(nèi)角和的呈現(xiàn)、研究方法、拓展程度不同，以及按角分類的定義方式、不同分類結(jié)果的關(guān)聯(lián)和與軸對稱圖形的關(guān)聯(lián)程度不同。

[關(guān)鍵詞]三角形;蘇教版;人教版;教科書;比較

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）26-0009-03

三角形是“圖形與幾何”領(lǐng)域中最基礎(chǔ)的平面圖形之一，雖然其在封閉的平面圖形中構(gòu)成的要素最少，但卻是構(gòu)成其他多邊形的基礎(chǔ)圖形，其內(nèi)涵、外延以及價值非常豐富。因此，三角形在“圖形與幾何”領(lǐng)域的地位不容小覷。

研讀、梳理蘇教版和人教版教科書后發(fā)現(xiàn)，兩個版本教科書都把“三角形的認(rèn)識”編排在了四年級下冊，內(nèi)容主要包括三角的認(rèn)識、三角形的分類、三角形的內(nèi)角和。仔細(xì)比較，發(fā)現(xiàn)兩個版本教科書在三角形內(nèi)容的編排上相同點不是太多，但差異性不小。

一、相同點

1.提供生活素材，讓學(xué)生感知、理解三角形的存在以及存在的必要性

兩個版本教科書都出示了一幅斜拉橋的主題情境圖，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，使學(xué)生能夠識別其中包含的三角形，初步感知三角形在生活中的應(yīng)用。兩個版本教科書又都出示了自行車和電線桿插圖，讓學(xué)生感知三角形特性在實際生活中的應(yīng)用，領(lǐng)悟三角形在生活中存在的重要性和必要性，進(jìn)而體會到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活。

2.設(shè)計多感官活動，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動過程，發(fā)展空間觀念

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觀察和操作是學(xué)習(xí)圖形與幾何的最有效方式。兩個版本教科書都設(shè)計了多感官活動，讓學(xué)生充分參與三角形的特征、特性以及分類等探究活動。首先，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察。如人教版教科書在三角形按邊分類的內(nèi)容中設(shè)置了“觀察一下，三角形的邊有什么特點”的導(dǎo)語，以引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形;蘇教版教科書設(shè)置了“把三個內(nèi)角拼在一起，看看拼成了什么角”的導(dǎo)語，以引導(dǎo)學(xué)生觀察;其次，引導(dǎo)學(xué)生動手做數(shù)學(xué)。兩個版本教科書均設(shè)計了多次動手操作活動，如圍一圍、剪一剪、拼一拼、折一折等，讓學(xué)生在動手操作活動中豐富對三角形的認(rèn)知，發(fā)展空間觀念。

二、不同點

1.三角形的特性呈現(xiàn)時機(jī)和方式不同

穩(wěn)定性、不容易變形是三角形非常重要的特性，對于呈現(xiàn)時機(jī)，人教版教科書是在認(rèn)識三角形之后，接著呈現(xiàn)三角形的特性的;蘇教版教科書則是在認(rèn)識三角形、三角形邊的關(guān)系和三角形內(nèi)角和之后，才呈現(xiàn)三角形的特性的。相比之下，人教版教科書呈現(xiàn)的時機(jī)比較早，也比較恰當(dāng)。在呈現(xiàn)方式上，人教版教科書是用例題的方式組織學(xué)生操作、探究、實驗，通過用3根同樣長的小棒擺三角形和用4根同樣長的小棒擺四邊形的操作活動，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形特性的數(shù)學(xué)本質(zhì)“用3根同樣長的小棒擺出的三角形的形狀是唯一的，而用4根同樣長的小棒擺出的四邊形的形狀卻不是唯一的”，在比較中理解三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時滲透四邊形容易變形的數(shù)學(xué)特性;蘇教版教科書采用“你知道嗎”的知識圖卡的方式進(jìn)行詳細(xì)介紹，并以“當(dāng)一個三角形的三條邊的長度確定后，這個三角形的形狀和大小就不會改變”的文字解釋什么是三角形的穩(wěn)定性，突出三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)本質(zhì)。人教版教科書重視讓學(xué)生經(jīng)歷操作活動過程，讓學(xué)生主動探究，利于學(xué)生探究性學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng);蘇教版教科書的純文字介紹，利于學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，如能將兩者結(jié)合，則教學(xué)效果更佳。

2.三角形三邊關(guān)系的研究方式不同

三角形的三邊關(guān)系是三角形中一個非常重要的內(nèi)容，同時因為三邊關(guān)系的規(guī)律不夠明顯難以發(fā)現(xiàn)，因而也是三角形學(xué)習(xí)的一個難點內(nèi)容。蘇教版教科書按照“提出問題→形成猜想→枚舉驗證→總結(jié)結(jié)論→運用結(jié)論”的流程引導(dǎo)學(xué)生思考、學(xué)習(xí)：首先提出問題“任意選三根小棒，能圍成一個三角形嗎？”學(xué)生在這個問題的引導(dǎo)下會猜想;再用導(dǎo)語“從圍成三角形的三根小棒中任意選出兩根，將它們的長度和與第三根比較，結(jié)果怎樣？”引導(dǎo)學(xué)生探究，初步得出“任意兩根小棒的長度和一定大于第三根小棒”的結(jié)論;引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：三角形任意兩邊的長度和一定大于第三條邊嗎？讓學(xué)生通過畫三角形，量一量、算一算驗證結(jié)論，總結(jié)出三角形三邊關(guān)系的結(jié)論，而后運用結(jié)論解決問題、解釋生活現(xiàn)象。人教版教科書則按照“創(chuàng)設(shè)情境→提出問題→多角度解釋→提出猜想→實驗驗證→總結(jié)規(guī)律→應(yīng)用解釋”的流程引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)： 先呈現(xiàn)一幅道路情境圖（如圖1），讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)最短路線，引出“兩點間的距離”這一重要概念;再呈現(xiàn)例4，給出4組紙條讓學(xué)生用每組的紙條擺三角形，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考：從中發(fā)現(xiàn)了什么？從而總結(jié)出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”的結(jié)論。比較后發(fā)現(xiàn)，首先，人教版教科書的呈現(xiàn)顯然是比蘇教版教科書更加形象和合理的，小明家到學(xué)校的這段最短距離可以用兩種方式進(jìn)行解釋，一是運用兩點之間線段最短進(jìn)行解釋，二是運用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解釋，但是例3和例4之間的銜接不夠緊湊，將整體感很強(qiáng)的一個內(nèi)容弱化成兩個看似沒有關(guān)聯(lián)的部分，不利于學(xué)生的閱讀和自學(xué)。其次，人教版教科書關(guān)于三角形邊的關(guān)系的探究活動的書面語言也不夠精準(zhǔn)。三角形是三條線段首尾順次相連圍成的一個平面圖形，人教版教科書中“用紙條擺三角形”不如蘇教版教科書中的“圍一個三角形”科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。最后，三角形的三邊關(guān)系比較復(fù)雜，不給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，學(xué)生難以總結(jié)出“三角形兩邊之和大于第三邊”的結(jié)論。人教版教科書都沒讓學(xué)生擺三角形，就提出問題“你發(fā)現(xiàn)了什么？”并給出結(jié)論，顯然跨度太大;而蘇教版教科書呈現(xiàn)兩組算式，每組3個，結(jié)合算式總結(jié)出三角形三邊之間的關(guān)系，學(xué)生易于理解。

3.三角形的內(nèi)角和內(nèi)容編排不同

（1）呈現(xiàn)的三角形內(nèi)角和時機(jī)不同

蘇教版教科書把三角形內(nèi)角和安排在了三角形按角的大小分類之前，人教版教科書把三角形內(nèi)角和安排在三角形這一單元的最后。兩個版本教科書對于三角形的內(nèi)角和的呈現(xiàn)時機(jī)明顯不同。蘇教版教科書把三角形內(nèi)角和這部分內(nèi)容前置在三角形分類之前，學(xué)生可以借此解釋和理解三角形按角分類中的直角三角形為什么只有一個直角和鈍角三角形為什么只有一個鈍角的問題。

（2）研究三角形內(nèi)角和的方法不同

蘇教版教科書采用從特殊到一般的研究方法總結(jié)三角形的內(nèi)角和。蘇教版教科書從直角三角尺的特例入手，提出“每塊三角尺的3個內(nèi)角的和是多少度？”的問題，引發(fā)學(xué)生先思考“是不是每個三角形的內(nèi)角和都是180°？”，再進(jìn)行量一量的動手操作活動，并通過計算得出三角形的內(nèi)角和，此時的量一量活動得出的結(jié)果可能會有誤差，但是又比較接近180[°]，就再通過撕拼、折拼的方式運用平角的已有知識進(jìn)行再次驗證，最后歸納結(jié)論。人教版教科書則是從幾個不同類型的三角形入手提出問題，讓學(xué)生通過量一量、算一算等活動初步得出結(jié)論，提出猜想，而后再進(jìn)行驗證，歸納結(jié)論。蘇教版教科書在驗證三角形內(nèi)角和的方法上比人教版教科書多了一個折拼的驗證方法，這種折拼法啟發(fā)學(xué)生可以在不破壞三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行驗證;不過蘇教版教科書呈現(xiàn)的三個角的命名順序會給學(xué)生造成折角順序錯覺（如圖2），如果學(xué)生在操作時按照先折∠1，再折∠2，最后折∠3的順序折拼，不一定正好能夠折成一個平角，如果按照先折∠3，再折∠1，最后折∠2的順序折拼，一定能夠折拼成一個平角。為了便于學(xué)生進(jìn)行驗證，建議將∠1和∠3的順序互換，或者給出相應(yīng)的折疊順序提高學(xué)生操作驗證的效果。

（3）拓展三角形內(nèi)角和的范疇不同

三角形內(nèi)角和是研究多邊形內(nèi)角和的基礎(chǔ)，多邊形的內(nèi)角和是在三角形內(nèi)角和之上的拓展。蘇教版教科書在呈現(xiàn)三角形的內(nèi)角和之后，專門編排了探究“多邊形內(nèi)角和”這一內(nèi)容，系統(tǒng)研究多邊形內(nèi)角和的內(nèi)在規(guī)律、計算方法：從三角形、四邊形、五邊形、六邊形等最簡單的圖形算起，把多邊形分割成若干個小三角形，從中找出所含三角形的個數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系，從而總結(jié)出多邊形內(nèi)角和的計算方法。這樣的編排方式，滲透了解決復(fù)雜問題時從簡單問題入手的數(shù)學(xué)思想，內(nèi)容銜接自然，學(xué)生在合情推理中能夠總結(jié)出多邊形內(nèi)角和的計算方法。人教版教科書在研究三角形內(nèi)角和的基礎(chǔ)上專門編排了“四邊形的內(nèi)角和”這個例題供學(xué)生學(xué)習(xí)，之后讓學(xué)生求出六邊形的內(nèi)角和，把多邊形內(nèi)角和的規(guī)律呈現(xiàn)在練習(xí)題中，顯得呈現(xiàn)時機(jī)有些晚，四邊形內(nèi)角和從特殊四邊形探究起的方法可以前置到三角形內(nèi)角和探究中，此處只遷移運用即可。

4.三角形的分類內(nèi)容編排不同

（1）三角形按角分類的定義方式不同

蘇教版教科書按照“提出問題→枚舉驗證→歸納結(jié)論→關(guān)系表達(dá)”的流程編排教學(xué)內(nèi)容。在第82頁的例5中給出了6個不同形狀的三角形，讓學(xué)生觀察每個三角形的三個角各是什么角，然后讓學(xué)生根據(jù)角的特點進(jìn)行分類。這樣的要求比較具體，且學(xué)生有圖形可以觀察，容易抓住三角形的本質(zhì)特征進(jìn)行分類;在歸納總結(jié)中也給出了“3個角都是銳角的三角形是銳角三角形”的科學(xué)概念。人教版教科書給出的是一組小朋友給三角形分類的情境圖，激發(fā)學(xué)生給三角形分類的興趣，但是沒有提供具體的三角形給學(xué)生觀察，因此，學(xué)生難以觀察并抓住三角形角的共性特征進(jìn)行分類;人教版教科書沒有像蘇教版教科書那樣給出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的科學(xué)概念，而是給出描述性概念，學(xué)生在自學(xué)的過程中難以真正把握三角形的內(nèi)涵。相比之下，蘇教版教科書在此內(nèi)容的編排上更利于學(xué)生自學(xué)。

（2）揭示三角形按角分類與按邊分類的關(guān)系和不同

分類是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法，運用分類的數(shù)學(xué)思想方法可以對三角形進(jìn)行深入細(xì)致的研究，一方面對三角形的構(gòu)成要素進(jìn)行深入細(xì)致的研究，另一方面對不同分類結(jié)果的關(guān)系進(jìn)行深入細(xì)致的研究。在對三角形的構(gòu)成要素進(jìn)行研究的時候，可以按角的度數(shù)和邊的長度分別研究（上面已經(jīng)闡述過，此處不再贅述）;對不同分類標(biāo)準(zhǔn)下的三角形的關(guān)系的研究，兩個版本教科書的呈現(xiàn)也有差異。三角形可以按角進(jìn)行分類，也可以按邊的長度進(jìn)行分類，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生不同的分類結(jié)果，也正是因為不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，其分類的結(jié)果會產(chǎn)生重復(fù)現(xiàn)象。三角形概念之間會產(chǎn)生一種交叉關(guān)系。蘇教版教科書就呈現(xiàn)“等邊三角形一定是銳角三角形嗎？為什么？”這樣的問題，引發(fā)學(xué)生思考并探究不同分類標(biāo)準(zhǔn)下概念之間的交叉關(guān)系。這種編排有利于學(xué)生深入細(xì)致研究三角形的屬種關(guān)系。

（3）與軸對稱圖形的聯(lián)系程度不同

數(shù)學(xué)知識是一個系統(tǒng)，人類不可能孤立地認(rèn)識一類事物的本質(zhì)屬性，必須用聯(lián)系的方法，把概念放到一定的體系中去認(rèn)識。學(xué)生只有通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，才能厘清知識間的關(guān)聯(lián)，學(xué)習(xí)系統(tǒng)的知識，同時建構(gòu)屬于自己的知識系統(tǒng)。

等腰三角形是按照邊的長短關(guān)系分類得出的三角形的下位概念，為了讓學(xué)生深刻理解、掌握等腰三角形的特征，蘇教版教科書編排了用軸對稱圖形的知識經(jīng)驗剪出一個三角形（如圖3）的活動，讓學(xué)生觀察后發(fā)現(xiàn)等腰三角形除了兩條腰相等外，兩個底角也相等，同時也幫助學(xué)生溝通了等腰三角形和軸對稱圖形之間的聯(lián)系，明確了等腰三角形是軸對稱圖形，還進(jìn)一步明確等腰三角形底邊上的高和對稱軸的關(guān)系。這種知識之間的串聯(lián)能幫助學(xué)生有效運用已有的知識經(jīng)驗解決當(dāng)前的數(shù)學(xué)問題，同時又產(chǎn)生新的經(jīng)驗，繼而運用同樣的操作方式去發(fā)現(xiàn)等邊三角形的特征。因此，在練習(xí)中設(shè)置一道畫出等腰三角形對稱軸的練習(xí)題的編排方式，有效溝通了知識之間的聯(lián)系。人教版教科書在此部分內(nèi)容中沒有對以上知識點進(jìn)行溝通，因此，蘇教版教科書在等腰三角形與軸對稱圖形之間的串聯(lián)上明顯優(yōu)于人教版教科書。

除此之外，兩個版本教科書在編排上還有一些差異，比如，人教版教科書在三角形的認(rèn)識上給出了三角形命名表示的方法，在直角三角形的認(rèn)識中又給出了直角邊和斜邊的定義，而蘇教版教科書則沒有;蘇教版教科書在三角形的認(rèn)識中滲透了兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，而人教版教科書則沒有。

（責(zé)編 金 鈴）