經(jīng)驗積累與提高數(shù)學能力

學生數(shù)學能力體現(xiàn)于解決問題的能力，而這種能力的形成取決于學生合理的經(jīng)驗積累。浙江省杭州市基礎教育研究室平國強老師的團隊以加強基礎性經(jīng)驗和策略性經(jīng)驗為手段，對此進行了有效的理論和實踐探索。本期特刊發(fā)該團隊的部分課例研究成果，以饗讀者，并歡迎大家參與討論。

【摘? ?要】學生數(shù)學能力體現(xiàn)于解決問題的能力，而這種能力的形成取決于學生合理的經(jīng)驗積累。后者包含兩方面的內容：基礎性經(jīng)驗和策略性經(jīng)驗?；A性經(jīng)驗涉及對基本和典型數(shù)學類型、特征、基本結構與關系模型的扎實領悟。策略性經(jīng)驗包含用多樣靈活的方式加深對數(shù)學問題的理解。日常教學實踐中有意識地加強兩類經(jīng)驗的訓練和積累，對提高學生數(shù)學能力至關重要。

【關鍵詞】數(shù)學能力;基礎性經(jīng)驗;策略性經(jīng)驗

解決問題能力是學生數(shù)學能力的核心，是學生綜合運用數(shù)學知識和相關經(jīng)驗，展開分析比較、建立聯(lián)系等一系列思維活動的結果。小學數(shù)學解決問題能力的提升過程是指學生通過基本方法、經(jīng)驗和問題的學習逐步提高能力，逐漸豐富方法，最終能夠正確合理、自主靈活解決高水平問題的過程。在這個發(fā)展過程中，有效經(jīng)驗的支持至關重要。

一、合理的經(jīng)驗積累是解決問題的基礎

數(shù)學教學的最終目的是提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，即發(fā)展數(shù)學思維，提高數(shù)學能力，讓學生能真正解決數(shù)學問題。學生解決問題的過程是一個信息梳理、問題識別、經(jīng)驗調用、聯(lián)系溝通、關系表征、策略應用、方法確定和回顧反思的過程，這個過程，體現(xiàn)了以“已知”獲得“未知”的思維路徑?？梢杂孟聢D來描述：

本質上，解決問題的過程就是一個數(shù)學推理的過程。要完成這個推理過程，學生需要一些必需的儲備經(jīng)驗做基礎。如果是一個合情推理過程，學生需要積累與理解一定的類似案例，才能做出合理的猜測與類比;如果是一個演繹推理的過程，學生需要有相應的數(shù)學問題的類型、特征、數(shù)量關系、解答方法及意義關聯(lián)等經(jīng)驗積累作為推理的前提，我們不妨把這樣的經(jīng)驗稱為解決問題的基礎性經(jīng)驗。學生解決問題能力的高低，很大程度上取決于學生經(jīng)驗結構中的基礎性經(jīng)驗的完整性與合理性，以及策略性經(jīng)驗水平的高低。以人教版數(shù)學五年級上冊《簡易方程》中的例5為例，可以用下圖直觀地表達這樣的觀點。

可以發(fā)現(xiàn)，學生在解決問題時所要調用的儲備經(jīng)驗，不僅僅是簡單問題的經(jīng)驗，更重要的是基本與典型問題的特征與模型。因此，在解決問題教學中，我們有必要去研究“學生是否已經(jīng)具有以上虛線框中的經(jīng)驗結構與儲備”“如何讓學生更好地擁有這樣的經(jīng)驗儲備”等問題。

二、學生應具有的儲備經(jīng)驗內容分析

我們認為，學生在解決問題時需要調用兩方面的經(jīng)驗，一是起著重要支持作用的基礎性經(jīng)驗，二是表現(xiàn)為更高效率和更高水平的策略性經(jīng)驗。

（一）基礎性經(jīng)驗

基礎性經(jīng)驗在學生解決問題經(jīng)驗系統(tǒng)中處于概念與意義之上的層次，是培養(yǎng)更高的解決問題能力不可逾越的層次，是經(jīng)驗結構中不可或缺的部分。它來自于對各種有典型特征和模型的數(shù)學問題解決過程的經(jīng)歷與積累，是對各類基本和典型數(shù)學問題的特征、思路、結構與解決方法的熟悉和掌握。數(shù)學的學科特質決定了數(shù)學的典型和基本問題是具有類型與結構特征的，數(shù)學解決問題常常是將新問題轉化為經(jīng)驗系統(tǒng)中所熟悉的問題來解決的，這正是化歸思想是數(shù)學的重要思想的原因所在。因此我們認為，學生的基礎性經(jīng)驗中應該具有：（1）對基本的、典型的數(shù)學問題的類型、特征有較好的領悟與積累，能正確地識別與關聯(lián);（2）對這些數(shù)學問題的基本結構和關系模型有較好的領悟與積累;（3）對這些數(shù)學問題的解題思路、思維關鍵和解決過程有較好的理解與把握;（4）對基本的畫圖表征數(shù)量關系、列表分析對應關系或提煉概括已知與未知之間的關系式等解決問題的具體方法有較好的掌握與積累。例如，對于以下一組問題：

題1：地球表面陸地的面積大約是1.5億平方千米，海洋面積是陸地面積的2.4倍，地球表面的面積大約是多少億平方千米？

題2：小明今年12歲，媽媽的年齡是小明的3倍，媽媽比小明大幾歲？

題3：公園里有桃樹45棵，柳樹的棵數(shù)是桃樹的1.6倍，兩種樹共有多少棵？

應該讓學生通過對以上問題的解決，發(fā)現(xiàn)并領悟一些共性：（1）這些問題雖然情境不同、數(shù)據(jù)不同，但問題的數(shù)學特征和結構關系是類似的：問題信息都涉及一個數(shù)量及這個數(shù)量的幾倍，所求問題是它們的和或它們的差;（2）這些問題隱含的關系和結構可以用以下方式表達出來：一個量+這個量的幾倍=“問題”（注：“問題”是指回答題目中問題時的相應數(shù)量，下同）或一個量的幾倍?這個量=“問題”，如果用▲表示一個數(shù)量，用★表示它的幾倍，以上關系可以簡化為：▲+▲×★=“問題”或▲×★-▲=“問題”，還可以表示為：▲×（1+★）=“問題”或▲×（★-1）=“問題”，這是和倍問題的基本模型。如果學生對這些問題的特征、結構關系等有較好的理解和識別能力，那么他們在解決以下問題時便有了很好的經(jīng)驗基礎與數(shù)量關系模型儲備，問題便能更順利、更有效地解決。

題4：地球的表面積為5.1億平方千米，其中海洋面積為陸地面積的2.4倍，地球上的海洋面積和陸地面積分別是多少億平方千米？

題5：小明媽媽比小明大24歲，今年小明媽媽的年齡是小明的3倍。今年小明和媽媽各幾歲？

題6：蘋果和梨一共168千克，梨的數(shù)量是蘋果的1.8倍，梨比蘋果多多少千克？

……

（二）策略性經(jīng)驗

策略性經(jīng)驗是學生解決問題經(jīng)驗體系中重要的組成部分，一方面，它是與基礎性經(jīng)驗并列并且在解決基本的、典型的數(shù)學問題過程中起著重要的支持作用的經(jīng)驗;另一方面，學生在運用高階思維解決更高水平、更具挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題時，策略性經(jīng)驗將發(fā)揮更大的作用，它能使解決問題的方法更加多樣，思維更加簡潔、巧妙與直觀，過程更具有效性和創(chuàng)造性。如果說扎實的基礎性經(jīng)驗保證了學生解決問題能力的底氣的話，那么，豐富的策略性經(jīng)驗則使得學生在解決問題時更具有靈氣，更擁有智慧，它能有效地促進解決問題能力與水平的提升。因此，我們認為，策略性經(jīng)驗至少應該包括以下幾個方面：（1）多樣化、多手段分析表征數(shù)量關系的經(jīng)驗;（2）正確確定標準，將較復雜或較隱蔽的數(shù)量關系轉化為標準統(tǒng)一、關系清晰、利于表征的經(jīng)驗;（3）運用類比解決問題、建立聯(lián)系、深化理解的經(jīng)驗;（4）創(chuàng)造性解決問題的經(jīng)驗等。例如，四年級的學生解決以下問題：

張師傅要加工一些零件，如果每小時加工12個，完成任務需要6小時。但張師傅離下班還有4小時，如果他要在下班前完成加工任務，那每小時要加工多少個零件？

如果能夠用一維的線段圖分析表征數(shù)量關系，這自然很好，如下圖：

加工的零件數(shù)：

但如果同時又能夠把加工零件的總數(shù)看作是一個固定的長方形面積數(shù)，將每小時加工零件數(shù)和時間分別看成是這個長方形的長和寬，用二維的視角來表征問題中的數(shù)量關系，那么分析問題的思路與策略就變得豐富了，長方形從一個學習內容、計算對象變成了解決問題的手段，知識的應用性得到了凸顯。如下圖：

以上兩種分析策略，并非僅僅是一種并列的、數(shù)量上的增加，后者與前者相比，反映出解決問題的思維水平從一維累計、比較直觀的狀態(tài)向更加數(shù)學化和模型化的方向發(fā)展，這無疑是學生解決問題經(jīng)驗結構中的高水平經(jīng)驗，對后續(xù)的數(shù)學能力與素養(yǎng)的發(fā)展非常重要。當然，如果學生能夠通過思考推理提煉出以下數(shù)量關系表達式，同樣是極為重要的經(jīng)驗和能力。

因為加工零件的數(shù)量是不變的，即“每小時加工12個×6小時=每小時加工（? ）個×4小時”，所以“每小時加工（? ）個=12×6÷4”。

所以，要讓學生擁有這樣豐富的分析問題、解決問題的策略經(jīng)驗積累，平時的教學應立足于策略、手段的多樣化而非僅僅按部就班地復制教材。再比如六年級上冊百分數(shù)的例5：

某種商品4月份的價格比3月份降了20%，5月份的價格比4月又漲了20%。5月份的價格和3月份比是漲了還是降了？變化幅度是多少？

事實上，無論是先降后漲還是先漲后降，只要漲和降的百分數(shù)相同，結果總比原價要低。這個問題看起來似乎是一個孤立的問題，但事實上，知識間的聯(lián)系是客觀與普遍的，如果我們用類比的策略思考，就可以發(fā)現(xiàn)：如果每次上漲和下降的百分數(shù)是a%，則最終的價格必定是原價的（1+a%）×（1-a%），這個算式與三年級研究過的“長方形的周長不變，長與寬怎樣變化，它的面積最大”這個問題有類似性，如果把原價看作是一個邊長為1的正方形，那么兩次變化以后的價格相當于把正方形變成了周長相等的長方形，在這種情況下，正方形的面積總是最大的。如下圖：

這樣的一種聯(lián)系思考，顯然有助于學生更好地理解與把握六年級這類問題的特征與規(guī)律，使經(jīng)驗結構更優(yōu)化，這既是一種類比的策略，也是一種重要的模型化聯(lián)系與思考的經(jīng)驗。

三、教材內容的分析與實踐

一般來說，學生解決問題的學習是一個從基本、典型問題到發(fā)展、變式問題的過程，從特征、模型的正向運用到逆向運用的過程，分析問題的策略方法也是從單一到多樣的。如果學生能夠完整經(jīng)歷以上的學習和能力發(fā)展過程，那么解決問題的經(jīng)驗結構就會比較完整，比較豐實，為更高水平的能力發(fā)展提供扎實的基礎。我們以小學數(shù)學解決問題中的兩類典型問題即“和倍問題”與“兩積之和問題”為例，理想的經(jīng)驗積累過程應該是：

[第一階段學習 第二階段學習 理解問題的基本特征、數(shù)量關系和基本模型，能夠分析數(shù)量關系，運用模型解決問題，為解決逆向或變式問題積累經(jīng)驗 判斷與識別問題的特征和數(shù)量關系，能調用經(jīng)驗和模型結構建構相等關系，或逆用模型解決問題

和倍問題 例：小明的書柜里有36本書，爸爸書柜里書的本數(shù)是小明的3倍，兩個書柜里一共有多少本書？

（用方程解） ]

對于逆用模型解決問題，目前課程標準的基本要求是列方程解，因此學生解決問題時完全以第一階段的數(shù)量關系和基本模型經(jīng)驗為支持，順著信息之間的關系和原來解決問題的思路去構造相等關系和方程，這樣既突出了代數(shù)思想，又降低了學習的難度。

但是，仔細分析一下教材解決問題的例題與內容編排，可以發(fā)現(xiàn)：類似第二階段學習內容教材有較多的編排，主要在五、六年級，但類似第一階段學習內容教材基本沒有編排，并且四年級整一年幾乎沒有學習上述基本的解決問題內容（筆者查閱了臺灣翰林出版社和康軒文教事業(yè)兩個版本的小學數(shù)學教材，或多或少都有類似內容的編排）。這在一定程度上使學生的解決問題經(jīng)驗結構存在某些薄弱環(huán)節(jié)，同時也提醒我們，在解決問題教學中，對教材的分析、補充和完善還有很大的空間。因此，我們認為，為促進學生解決問題經(jīng)驗體系更加完整合理，可以利用三、四年級的階段，特別是四年級的空當，補充、豐富基本的、典型的解決問題內容學習，以加強基礎性經(jīng)驗的積累。

第一，要豐富學生運用多種策略理解、分析信息與關系的經(jīng)驗。

例1：周六，奇奇和紅紅約好去看電影。9：30他倆同時從家里出發(fā)，相對而行，5分鐘后兩人在電影院相遇，9：40開始看電影?？赐觌娪?，奇奇去奶奶家吃飯。奇奇先走了2分鐘，奶奶也出發(fā)來接奇奇。又過了3分鐘，奶奶和奇奇相遇。

（1）奇奇和紅紅兩家相距多少米？

（2）電影院離奶奶家有多少米？

這是一個有豐富信息和多個問題的情境，教學中教師要引導學生用多種方法理解題目的信息，分析關系。例如，如果要解決第（1）個問題，怎樣在題目中用“圈”“畫”等方法找到對解決問題有效的信息？如何用摘錄的方法正確、完整地摘錄有效信息和問題，并把它們清晰地呈現(xiàn)出來？如何用畫圖的方式把數(shù)量關系表征出來，讓人一看就明白已知的信息和所求的問題？……這些都是應該要讓學生擁有的方法與經(jīng)驗。

第二，要增加學生對基礎的、典型的數(shù)學問題的特征、數(shù)量關系、表征方法和模型的積累。

例2：公主裙每件178元，老師買了2件公主裙和3箱牛奶，一共付了551元。牛奶每箱多少元？

教學中教師要求學生用自己的方式把問題的數(shù)量關系表示出來，下面是幾位學生的分析表征：

這是一個典型的兩積之和問題的數(shù)量關系，如果學生能用如此多元的方式表征這種關系，表明學生對問題特征和數(shù)量關系的理解已非常清楚，并成為有效的經(jīng)驗與能力。

例3：小明和小芳兩家相距800米。他們兩人同時從家里出發(fā)，沿一條直路行走，小明每分鐘走70米，小芳每分鐘走50米，4分鐘后他們相距多少米？

在這個問題中，兩人的運動方式可能有哪些情況？每種情況是怎樣的關系？有什么特征？如何把它們表征出來？……這些都涉及學生對信息、問題的認識、理解與把握。下面是學生的分析，表明他們已能較好地把握這類問題。

第三，要豐富學生分析問題、解決問題的策略積累。

除了常用的直觀圖、線段圖等方法以外，應讓學生擁有更多的方法體驗，例如用畫長方形來分析數(shù)量關系、解決問題就是很重要的方法。比如：（1）合唱隊計劃買一批上衣，每件30元。如果每件降價5元，就可以節(jié)省100元。合唱隊員計劃買上衣要用多少錢？（2）合唱隊計劃買一批上衣，如果多買3件，就要多付90元，如果每件降價5元，就可以節(jié)省100元。合唱隊員計劃買上衣要用多少錢？這兩個問題的關鍵都是上衣的件數(shù)，當然可以用多種策略來分析解決，但如果用畫長方形來分析問題、解決問題，就更能體會到數(shù)學問題的模型化特征。如下圖所示：

例4：李紅買蘋果和梨共付26元，蘋果每千克4元，梨每千克2元，兩種水果一共買了8千克。蘋果和梨各買了幾千克？

這是一個逆用兩積之和模型解決的問題，實際上就是雞兔同籠問題，學生可以用假設法或列表法解決問題，但與經(jīng)典雞兔同籠問題不同的是，它很難通過畫直觀圖來解決問題，而作為更高水平的畫圖分析策略，用畫長方形的方法則能順利地解決問題。下面便是學生的解答：

因此，我們認為，在解決問題教學時，有必要有目的、有計劃地設計一些合適的問題與情境作為教學的補充，讓學生在解決這些經(jīng)典問題的過程中獲得更多解決問題的方法與經(jīng)驗。

（浙江省杭州市基礎教育研究室? ?310003）