葉培杰
摘 要:函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高考必考內(nèi)容,選擇題、填空題、解答題皆有出現(xiàn),但以解答題為主,難度中等偏上,特別是解答題,難度較大,很多同學(xué)望而生畏,在平時(shí)解題過(guò)程中易忽略一些細(xì)節(jié)和技巧方法,造成對(duì)而不全或放棄解答,本文謹(jǐn)從四類(lèi)題型分析歸納應(yīng)注意的問(wèn)題。
關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù)題 注意 問(wèn)題
一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)
例1.若函數(shù)
在內(nèi)為減函數(shù),求的取值范圍。
解:
由題意知在內(nèi)恒成立
所以在內(nèi)恒成立
記則時(shí),
經(jīng)檢驗(yàn)時(shí),符合題意的取值范圍為
小結(jié):在已知函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù)),求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)令(或恒成立,解出參數(shù)的取值范圍,然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于0,若恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去,若不恒為0,則由(或恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定,下面舉一個(gè)參數(shù)的值舍去的例子。[1]
例2. 函數(shù)
在上為單調(diào)遞減函數(shù),求的取值范圍。[1]
解:依題意在上恒成立,得
在上恒成立
即解得
檢驗(yàn):是一個(gè)常數(shù)函數(shù),舍去
綜上可得的取值范圍是
二、已知極值求參數(shù)時(shí),應(yīng)注意檢驗(yàn)
例3. 已知函數(shù)在處取得極大值10,則的值為_(kāi)________。
錯(cuò)解:
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
由在處取得極大值10
可得
即為
解得:
錯(cuò)解分析:由于為極值點(diǎn)的必要不充分條件,因此本題中由及求得的值后還要驗(yàn)證,所得結(jié)果是否滿足為函數(shù)的極大值點(diǎn),正確的解法如下:
解:函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為
由在處取得極大值10可得
即為
解得:
當(dāng)時(shí)
可得在處取得極小值10,與題意不符。
當(dāng)時(shí)
可得在處取得極大值10
綜上可得:滿足題意
小結(jié):為極值點(diǎn)的必要不充分條件。
三、注意函數(shù)圖像的漸近線問(wèn)題
例4. 已知函數(shù),曲線上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(? ? )
A. B. C. D.
解:因?yàn)榍€上存在不同的兩點(diǎn),使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線與軸垂直
所以有兩個(gè)不同的解
即得有兩個(gè)不同的解
設(shè),則
所以時(shí),
時(shí),
所以時(shí),函數(shù)取得極小值
圖像如右圖所示
由圖可知,故選D
小結(jié):因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),圖像恒在軸下方,當(dāng)時(shí),圖像在軸下方無(wú)限靠近軸,即軸是圖像在時(shí)的漸近線,此題易忽視漸近線而錯(cuò)選C,所以解這類(lèi)題目時(shí)應(yīng)注意圖像的漸近線問(wèn)題,避免錯(cuò)解。
例5. (2014新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù),若存在唯一的零點(diǎn),且,則的取值范圍是()
A. B. C. D.
解:由得
(若,則等式不成立)
令
令,得
當(dāng)變化時(shí),與的變化情況如下表
-1 (-1,0) (0,1) 1
- 0 + + 0 -
遞減 極小值-2 遞增 遞增 極大值2 遞減
圖像如右圖所示
依題意函數(shù)的圖像與的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),所以
小結(jié):此題是我在上函數(shù)與方程這一節(jié)復(fù)習(xí)課與學(xué)生互動(dòng)時(shí),學(xué)生提供的一種思路即分離參數(shù),研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題,但忽視了兩條漸近線軸和軸,造成了有思路而錯(cuò)解的局面。
四、注意函數(shù)的定義域?qū)忸}的影響
例6. 若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解:
函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
得
又所以,故選D
分析:此題很多學(xué)生誤選C,沒(méi)有注意到是定義域的一個(gè)子區(qū)間,即,所以解函數(shù)題時(shí)應(yīng)定義域優(yōu)選原則,避免對(duì)而不全。
離參數(shù),也可以分離等。
參考文獻(xiàn)
[1]葉培杰.對(duì)一類(lèi)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問(wèn)題解法的完善·福建中學(xué)數(shù)學(xué)2013(11):46-47.