郭東

摘 ?要：在數(shù)學教學中，精神實體比實體更為重要。精神實體確證主體存在、體現(xiàn)數(shù)學價值、彰顯學習本質。數(shù)學教學要引導學生觸碰知識本身、知識體驗、知識探究過程中的精神實體。通過觸碰精神實體，讓學生感受、體驗精神實體的永恒絢爛。

關鍵詞：小學數(shù)學;精神實體;學習生長

著名數(shù)學教育專家孫曉天在《關于數(shù)學課程的思考》中提出，數(shù)學教育目標有兩個：一個是實體性目標，另一個是精神實體目標。所謂“實體”，是指數(shù)學知識、技能等;所謂“精神實體”，是指數(shù)學活動經(jīng)驗、思想方法等。實體性目標是數(shù)學教學顯性目標，精神實體目標是數(shù)學教學隱性目標。正如荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾所說：“精神實體比實體更為重要?！?/p>

一、怎樣理解“精神實體”？

“精神實體”是相對于“實體”而言的，一般來說，實體是有形的，精神實體是無形的。“實體”內化為“精神實體”，“精神實體”外化為“實體”。實體是精神實體的表現(xiàn)，精神實體是實體的根據(jù) [1]。教學中，只有讓學生觸摸、感受、體驗到精神實體，學生才能領略數(shù)學課程的魅力，體悟到數(shù)學課程的博大、精妙與深邃。

1. “精神實體”確證主體的存在

從哲學視角審視，可以認為精神實體是一種主體性永恒存在。教學中，要讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識創(chuàng)生、發(fā)展和更新的全過程，孕育學生的數(shù)學眼光、大腦，這就是學生的數(shù)學精神實體。精神實體確證學生主體存在且具有永恒性。這從日本著名數(shù)學教育家米山國藏的話語中便可窺見一斑?！霸趯W校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，一兩年后就會忘記。……唯有深深銘刻在心中的數(shù)學的精神、思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用?！笨梢赃@樣說，數(shù)學“精神實體”體現(xiàn)為學生數(shù)學學習主體的“精”“氣”“神”。

2. “精神實體”體現(xiàn)數(shù)學的價值

數(shù)學思想方法、數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學精神實體的重要組成，但卻不是精神實體的全部。數(shù)學的思想方法、活動經(jīng)驗是數(shù)學精神實體于有形中最為重要的投影和顯現(xiàn)。數(shù)學精神實體是數(shù)學的根本，是數(shù)學的靈魂，數(shù)學精神實體指引著數(shù)學內容的本質內涵及其脈絡趨向。在數(shù)學教學中，要引導學生經(jīng)歷數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，引導學生回歸數(shù)學本身，讓學生的數(shù)學學習散發(fā)出“數(shù)學的味道”。“精神實體”要體現(xiàn)學生數(shù)學學習的本味、真味，體現(xiàn)數(shù)學的根本價值。

3. “精神實體”彰顯學習的本質

在荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾看來，“學習數(shù)學就是學習數(shù)學化”。弗氏深刻指出：“與其說是學習數(shù)學，毋寧說是學習數(shù)學化;與其說是學習公理，毋寧說是學習公理化;與其說是學習形式，毋寧說是學習形式化?！睆倪@個視角來看，精神實體不是靜態(tài)、固化的，而是動態(tài)、發(fā)展的。學生在數(shù)學學習中不斷數(shù)學化、形式化、公理化的過程就是觸碰精神實體的過程。比如學生追問知識本質，追尋結構脈絡、追尋蘊含的思想等過程，就是學生走入數(shù)學精神實體世界的過程。

二、怎樣讓學生觸摸到數(shù)學的“精神實體”？

數(shù)學“精神實體”是抽象、概括、上位、頂層的思想、觀念等。從學科視角看，“精神實體”是學生數(shù)學思考、探究所依賴的基礎，也是數(shù)學課程與教學的精髓。對于“精神實體”，我們可認為是“將具體數(shù)學知識都忘掉以后剩下的東西”。換言之，“精神實體”是隱性的、可持續(xù)性發(fā)展的。這種精神實體，最終會體現(xiàn)在學生的成長過程之中并得到外化。正如中國科學院李大潛院士所描述的那樣，“學數(shù)學的人，他的數(shù)學觀念會比較好，他的邏輯思維能力就和普通人不一樣，講話做事比較有條理。通過學習，數(shù)學會變成你的習慣、修養(yǎng)、素質，一直存留在你身上?！?[2]這就是精神實體的作用。

1. 觸摸知識“精神實體”

數(shù)學知識蘊含著“精神實體”，比如數(shù)學知識點的本質、源頭、結構性關聯(lián)等，它們都具有隱性特質。數(shù)學知識“精神實體”是學生數(shù)學素養(yǎng)的骨架，對學生數(shù)學生命成長具有重要價值。對于數(shù)學知識中的精神實體的觸摸，通常不是直觀的，而是必須經(jīng)歷一個過程。從這個意義上說，觸摸精神實體是一種創(chuàng)造、一種積淀、一種傳承、一種自由。

教學《平行四邊形的面積》《三角形的面積》《梯形的面積》《圓的面積》等，盡管它們分布在不同的教材中，盡管它們轉化成的對象不同、轉化方法不同，但其間蘊含的知識形成過程是一致的，這就是“將未知圖形的面積轉化成已知圖形的面積”。對這幾個部分內容的教學，教師要注重啟發(fā)，引導學生經(jīng)歷知識創(chuàng)造的過程，尤其對于“三角形面積”“梯形面積”和“圓的面積”更是如此，因為“當學生將平行四邊形轉化成長方形”后，就能獲得一種啟迪。如筆者在教學這部分內容時，總讓學生積極嘗試，盡管有學生探究之路非常崎嶇，盡管學生在探究路上會遭遇一些困難，但“精神實體”正是通過學生感悟而形成的。講解、灌輸只會讓學生生厭，只會消弭、泯滅學生思維、探究的興趣。在這種平面圖形的面積推導過程中，學生獲得的絕不僅僅是數(shù)學基本活動經(jīng)驗、思想方法，而是精神實體。精神實體可以理解為內隱數(shù)學知識，也可理解為緘默性知識背景、認知取向、探究觀念、探究原理背景、價值要素等。

因此，教師應對“壓縮化”數(shù)學知識“解壓”，引導學生充分經(jīng)歷數(shù)學知識的誕生過程，讓學生感受、體驗數(shù)學知識的形成過程，從而深度洞悉數(shù)學知識的本來面目，領悟數(shù)學知識的本質。這種對數(shù)學知識精神實體的觸摸，能啟迪學生的數(shù)學智慧。

2. 觸摸體驗中的精神實體

學生在數(shù)學學習過程中會產(chǎn)生一些感受、體驗，其中有些感受與體驗是積極的，有些則是消極的。積極的體驗能促進學生的數(shù)學學習，消極的體驗則會阻礙學生的數(shù)學學習，比如學習倦怠感、無助感、無力感。對消極的學習體驗，教師要積極疏導。作為教師，我們應當嘗試站到學生的立場上去思考問題，包括學生在學習中會遇到的可能性障礙、困惑。要努力敞亮學生的想法，不能屏蔽學生的想法，從而讓學生能觸碰到體驗中的精神實體。

對于任何一個數(shù)學知識，教師不僅要追問學生“是什么”“為什么”“還可以怎樣做”等，而且要引導學生自我反思、追問。其實，數(shù)學教學不僅要培育學生的認知能力，提升學生的認知水平，更要發(fā)展學生的元認知意識，提升學生的元認知水平。學生數(shù)學學習感受、體驗中的精神實體就包括學生的元認知意識。只有當學生自覺地從精神實體方面來進行學習時，才能發(fā)展、提升學生的數(shù)學學習力。教學《解決問題的策略——假設》（蘇教版六上），當學生學完“倍數(shù)關系”兩種量的假設關系后，有學生就自覺地反思：“老師，假設策略我好像似曾相識?！薄袄蠋煟僭O的策略我們并不陌生。”顯然，學生通過數(shù)學知識的學習體驗已經(jīng)觸碰到了精神實體。為此，筆者這樣引導學生：“是啊，假設策略的運用非常廣泛，我們并不陌生?；貞浺幌拢郧霸谔骄磕男?shù)學知識時我們運用了假設的策略呢？”如此，學生便能積極審視、發(fā)掘自我數(shù)學學習體驗中的精神實體。結果學生們發(fā)現(xiàn)：試商時運用了假設策略，估算時運用了假設策略，解決問題時運用了假設策略等。正是由于學生觸碰到自我體驗中的精神實體，因而能迸發(fā)出諸多發(fā)現(xiàn)。

觸碰體驗中的精神實體，能讓學生穿透數(shù)學知識、技能的表層，直抵數(shù)學知識的本質、靈魂深處，直抵學生的數(shù)學觀念深處。在數(shù)學教學中，教師要引導學生發(fā)掘自我感受、體驗，引導學生向著“精神實體”的方向漫溯。只有當學生能觸碰到體驗中的精神實體，學生才能獲得良好的學科感悟。

3. 觸碰探究中的精神實體

數(shù)學“精神實體”不僅存在于數(shù)學知識、學生體驗之中，還存在于知識探究過程之中。每一門學科，不僅有學科差異，而且有基于學科特質的學習方式的差異。語文學科通過讀背還能讓學生悟出點什么，但數(shù)學學科的知識感悟一定是基于理解的。我們要引導學生進行數(shù)學觀察、操作、思維、想象，將學生的數(shù)學思維、探究引向深入。教學中，教師要優(yōu)化學生的數(shù)學活動方式，讓學生能觸碰到數(shù)學活動、探究過程中的精神實體。

如對于低年級的“認數(shù)”，許多教師總認為很簡單、小兒科。那么，“認數(shù)”這樣一個簡單的知識點背后有“精神實體”嗎？認數(shù)的本質是什么？學生為什么要認數(shù)？為什么要有計數(shù)單位呢？十進制的原理價值在哪里？我校的一位教師執(zhí)教《認識整億數(shù)》，采用了學生喜聞樂見的“變數(shù)游戲”方式，讓學生從數(shù)學游戲活動中觸碰數(shù)學的精神實體。教師首先出示數(shù)字卡片2，讓學生擺放到不同數(shù)位上，引導學生讀數(shù)。同樣一個數(shù)字，為什么可以變化出這么多不同的數(shù)呢？十個阿拉伯數(shù)字放到這么多的數(shù)位上，能組成多少個不同的數(shù)呢？通過這樣的數(shù)學游戲，學生能觸碰到數(shù)的認識、讀寫中的精神實體，即“位置值”。正如北京教育學院著名教授劉加霞所指出的，“學生學習自然數(shù)的兩個核心價值就是進制和位值制”。當學生在游戲中意識到不同數(shù)位有不同值后，認數(shù)就不僅僅停留在認的層面，而是上升到了思想層面。這種位值原理計數(shù)思想凝聚著人類生命實踐的智慧，最能體現(xiàn)數(shù)字、數(shù)學的神奇與偉大。為深化學生的數(shù)學認知，讓學生從更深層次上觸摸到精神實體，教師還可進行拓展、延伸：有比“千億”大的計數(shù)單位嗎？有比“個”小的計數(shù)單位嗎？通過計數(shù)單位左延、右拓，從精神實體的源頭賦予學生不同的探索方向，讓學生的思維觸角不斷延伸，從而感受到認數(shù)實體背后美妙的精神實體。

對于數(shù)學精神實體，教師要做實引導，讓學生做實探究。通過探究，直擊數(shù)學知識表層下深藏著的精神實體，以一種超越知識的統(tǒng)攝視角引導學生去觸碰，就能讓學生感受、體驗到數(shù)學精神實體的永恒絢爛 [3]。正如德國著名哲學家黑格爾所言：“萬物皆精神，精神即實體?！?/p>

數(shù)學精神實體具有一種自組織、自生長的力量。數(shù)學精神實體是客觀存在的，但又不能被學生直觀感知到。只有引導學生不斷地探究，撥開數(shù)學學習的層層迷霧，學生才能窺視、觸碰到數(shù)學的精神實體。數(shù)學精神實體召喚著學生的不斷探究，作為教師，要引導學生去觸碰，并努力讓數(shù)學的精神實體能駐扎于學生心間！

參考文獻：

[1] ?魯小超. 奏響三重奏，演繹完美的“精神實體”. 小學科學（教師版），2016（05）﹒

[2] ?張祖潤. “精神實體”：小學數(shù)學教學價值的新視角[J]﹒江蘇教育研究，2013（11）﹒

[3] ?蔡月珍. 數(shù)學教學如何向“精神實體”目標伸展[J]. 小學教學研究，2010（09）﹒