姜丙黃

摘?要：本文以高考數學題為主要內容，首先簡要介紹類比聯(lián)想法在解題中的主要含義，然后通過理論與實例相結合的方式，從直觀層次、變形層次和構造層次三個方面對類比聯(lián)想法加以應用，以期提高學生數學解題能力和思維能力的發(fā)展.

關鍵詞：高考數學; 類比聯(lián)想; 數學解題

人類智力發(fā)展包括感知、思維等多種能力，而思維能力是智力發(fā)展的核心.類比聯(lián)想法數學解題策略有助于學生思維能力的發(fā)展，應用類比聯(lián)想法要求學生具備豐富的想象力、一定的知識儲備量和良好聯(lián)想解題策略.因此對于很多高中學生來說，應用類比聯(lián)想法解題相對比較困難，但類比聯(lián)想法的解題效果卻勝似常規(guī)解法.實踐表明，類比聯(lián)想法解題策略可以促進學生知識的聯(lián)想和遷移，把握知識之間的聯(lián)系，形成知識網絡.研究類比聯(lián)想在數學解題中的應用，不僅有利于學生對知識體系的建構，而且有利于提高學生高考數學解題的能力和思維能力的發(fā)展.

1?類比聯(lián)想法的含義

波利亞解題思想注重聯(lián)想.他說，在解題活動中我們要設法“預測到解，或解的某些特征，或某一條通向它的小路”“回憶某些有用的東西，把有關的知識動員起來”.而這種預測和回憶就離不開聯(lián)想，如果在思考問題時通過聯(lián)想產生某種預見，我們把它稱為有啟發(fā)性的想法或靈感.波利亞稱想出一個“好念頭”是一種靈感的活動，也是一種聯(lián)想思維過程.有的數學問題可能具有某種特征，如形式、概念、位置和圖象上有著某種特點，抓住這些特征聯(lián)想、類比，發(fā)現解題方法，或聯(lián)想到其他知識，轉為用其他方法處理.這一解題策略要求思維的發(fā)散及豐富的想象力，當然，解題必須掌握各類知識并能融會貫通[1].

2?類比聯(lián)想法在高中數學解題中的應用

對于高考數學題，能夠在有限的時間內想出好的解題策略對于考生來說至關重要.考生如果能在短時間內能根據不同題目的已知條件和結果之間的關系確定解題思路，就能實現對題目的快速、準確解答，而類比聯(lián)想法在數學解題方面往往可以使人快速聯(lián)想、準確解答，達到事半功倍的效果.

本文根據題型的復雜程度將類比聯(lián)想法劃分為：直觀聯(lián)想、變形聯(lián)想、構造聯(lián)想三個層次，方便學生在數學解題實踐中，靈活運用相應的類比聯(lián)想法.下面以高中數學真題為例，具體闡述三個層次的聯(lián)想在數學解題中的應用.

2.1?直觀聯(lián)想

直觀聯(lián)想是通過對題型初步觀察，聯(lián)想到相似數學知識的一種策略，直觀聯(lián)想法強調直觀感知，是類比聯(lián)想法的最低層次，對學生的想象能力和抽象思維能力要求最低，這一層次的類比聯(lián)想易于學生理解和運用，根據這類層次題型所具有的位置關系、概念性質的不同，直觀聯(lián)想可進一步劃分為結構聯(lián)想、概念聯(lián)想.

2.1.1?結構聯(lián)想

例1?函數y=4-sinx3-cosx的最大值為.

觀察函數y=4-sinx3-cosx的外形結構，可以聯(lián)想到斜率的表達式k=y2-y1x2-x1.

基本性質是定點P（3，4）與動點（cosx，sinx）連線的斜率，而動點（cosx，sinx）的軌跡是一個單位圓.

設過P（3，4）的直線方程為y-4=k（x-3），即kx-y+4-3k=0，如圖1所示，當斜率得最大值時，該直線是單位圓的一條切線，故原點到直線的距離為l，則|4-3k|=1+k2，解得k=6±64.

因此函數y=4-sinx3-cosx的最大值為6+64.

評注?在解題時，通過題型的位置關系聯(lián)想到斜率表達式，從而將函數的最大值問題轉化為斜率的最大值問題，進而實現解題.

2.1.2?概念聯(lián)想[3]

例2?（2013年高考重慶卷）若關于實數x的不等式|x-5|+|x+3|

解?已知不等式可化為

（x-5）2+y2+（x+3）2+y2

由橢圓定義知，平面內動點P（x，0）到兩定點（5，0），（-3，0）的距離和小于兩定點距離時軌跡不存在.

所以a≤8.

評注?絕對值是一個數在數軸上到原點的距離，絕對值本質上反映的是距離，由絕對值一維空間上兩個數之間的距離，聯(lián)想到二維空間上平面直角坐標系兩點之間的距離坐標公式，進而聯(lián)想到橢圓存在的定義，反過來橢圓不存在即原不等式無解.

例3?（2008年高考全國卷）直線xa+yb=1通過M（cosx，sinx），則（?）.

A.a2+b2≤1???B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

解法1?因為點M（cosx，sinx）在圓x2+y2=1上，所以直線與圓相交或相切，故圓心到直線的距離d=-11a2+1b2≤1，所以1a2+1b2≥1.故選D.

解法2?由題意知cosxa+sinxb=1.

根據柯西不等式得（cos2x+sin2x）（cosxa+sinxb）2=1.

即1a2+1b2≥1.故選D

解法3?令m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

則m→·n→=cosxa+sinxb=1.

因為m→·n→≤m→·n→，

所以1≤cos2x+sin2x·1a2+1b2.

即1a2+1b2≥1.故選D

評注?解法1是結構聯(lián)想法的體現，由點M坐標的參數表示從而聯(lián)想到單位圓上任意一點都可以這樣表示，直線經過圓上某一點意味著直線與圓的位置關系為相交或相切;

解法2是結構關系聯(lián)想的體現，把M（sinx，cosx）代入直線方程中得到cosxa+sinxb=1，再結合選項不難聯(lián)想到柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2;

解法3是概念聯(lián)想的體現，只是從向量的角度去聯(lián)想.通過把M（cosx，sinx）代入直線方程中得到sinxa+cosxb=1， 進而聯(lián)想向量的數量積概念得到m→·n→=1，其中m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

2.2?變形聯(lián)想

變形聯(lián)想是通過對題目的條件變形或轉換，從而聯(lián)想到熟悉的數學知識的一種策略.變形聯(lián)想是感知聯(lián)想的高一層次，對學生的能力要求也相對更高.

例4?α，β為銳角，且sin（α+β）=2sinα.

證明α<β.

證明?由sin（α+β）=2sinα，

變形得1sinα=2sin（α+β）.

從而聯(lián)想到正弦定理asinα=bsinβ=csinγ=2R.

如圖2所示，令∠α=∠B，∠β=∠C，則∠A=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）.由題意可知∠α所對的邊長為a，∠（α+β）所對的邊長為2a.設∠β所對的邊為x，根據三角形兩邊之和大于第三邊的性質可知，x+a>2a，解得x>a.再由三角形大邊對大角，小邊對小角的性質可知α<β.

評注?例4的證明體現了變形再聯(lián)想的解題策略，通過將已知條件sin（α+β）=2sinα轉化成分母為正弦的三角函數1sinα=2sin（α+β），此時便于聯(lián)想到正弦定理，再結合三角形的性質可證明此問題.

2.3?構造聯(lián)想

構造聯(lián)想是通過構造一個與已知條件相符合的數學情境，然后再從情景中聯(lián)想相關的數學知識的一種解題策略.構造聯(lián)想并非憑空構造，而是結合題型當中的關鍵信息構造與之特征相符合的圖形，最后轉換到更低層次的變形聯(lián)想或者直觀聯(lián)想來解題.因此構造聯(lián)想是最高層次的類比聯(lián)想，對學生的能力要求最高.

例5?（2010年高考浙江卷）已知平面向量α→，β→（α→≠0，α→≠β→）滿足β→=1，且α→與β→-α→的夾角為120°，則α→的取值范圍是.

解法1?如圖3所示，構造符合條件的ΔOAB，則由正弦定理可得，

α→=OA=1sin60°sinB=2 33sinB，其中B∈（0，2π3），故a→∈（0，2 33].

解法2?同解法1構造符合條件的ΔOAB，設OA=α→=x，AB=β→-α→=t，則由余弦定理可得cos60°=x2+t2-122xt.

即t2-xt+x2-1=0（x>0，t>0）.

把方程看作t的一元一次方程，則方程有正實數解.因對稱軸為t=x2>0，故只需Δ=x2-4（x2-1）≥0即可，解得x∈（0，2 33].

評注?解法1和解法2都體現出構造聯(lián)想法的解題策略，解題的關鍵在于構造了符合已知條件的三角形，解法1由∠OAB=60°及β→=1聯(lián)想到正弦定理求解.

解法2在此基礎上通過聯(lián)想余弦定理構造一元二次方程，從而使問題得到解決.

3?結束語

綜上所述，本文從直觀聯(lián)想（結構聯(lián)想、概念聯(lián)想）、變形聯(lián)想、構造聯(lián)想三個層次闡述了類比聯(lián)想法在高中數學解題中的具體應用.通過這三個層次聯(lián)想期望讓學生能由淺入深、由易到難把握類比聯(lián)想法的解題中的奧秘，進而有意識地應用類比聯(lián)想法來解高中數學問題，提升自身的數學解題能力.

參考文獻：

[1]曾建國.數學解題策略選講[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數學[M].杭州：浙江師范大學出版社，2016.

[3]劉沛松.聯(lián)想方法在高中數學解題思路的分析[J].文理導航，2017（09）：50.