呂小俊，謝海平，呂鵬輝

(云南大學旅游文化學院信息學院，云南 麗江 674199)

1 引言

在自然界中，捕食行為是很普遍的生物現(xiàn)象，所以利用食餌-捕食系統(tǒng)去描述生物種群的特征是有意義的.食餌-捕食系統(tǒng)由Lotka 和Volterra 在1926 年第一次提出，由于種群保護、維持生態(tài)平衡和種群管理等都依賴于食餌-捕食系統(tǒng)的動力學特征，所以研究食餌-捕食系統(tǒng)的動力學特征已成為一個新的熱點，并得到很多優(yōu)秀的結論[1-3，10-15].在傳統(tǒng)Lotka-Volterra 模型中，生物學家發(fā)現(xiàn)捕食率不僅只依賴于食餌和捕食者種群密度的乘積，最終由Holling 提出功能反應函數(shù)的概念，功能反應函數(shù)反映捕食者在單位時間內(nèi)捕食食餌的數(shù)量.并逐步提出各種類型的功能反應函數(shù)，例如Holling 型、Beddington-DeAngelis 型、Hassell-Varley 型和Crowly-Martin 型等.近年來，諸多學者已研究了帶有功能反應函數(shù)的食餌-捕食系統(tǒng)的周期解、概周期解、多解和穩(wěn)定性等問題[3-4，9-11].

另外，生物種群在自然界中受到地震、洪水、干旱和人類干擾等突發(fā)因素的影響，從而影響生物種群的動力學特征.在生物數(shù)學中，人們利用脈沖來描述這類突發(fā)干擾，故脈沖生態(tài)系統(tǒng)倍受眾多學者的關注，并得到很多優(yōu)秀的成果(見文獻[3，6，7，10]).在文獻[3]中，作者利用積分中值定理和李亞普諾夫函數(shù)研究了以下帶有脈沖和時滯的食餌-捕食系統(tǒng)(1)的概周期解，并得到該系統(tǒng)存在唯一穩(wěn)定概周期解的充分條件.

同時，隨著人類經(jīng)濟社會的高速發(fā)展，生物資源的開發(fā)和對種群數(shù)量的定期收獲已被廣泛應用于漁業(yè)和野生動物管理中，因此，在食餌捕食系統(tǒng)中增加收獲項是有必要的.且收獲項會影響生物種群的多個周期和概周期現(xiàn)象(見文獻[5-6，9]).據(jù)作者所知，至今很少有人研究帶有脈沖和收獲項的Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)的多解性問題.

受以上啟發(fā)，在本文中，利用一般連續(xù)定理和一些微積分技巧，研究脈沖影響的時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(2)的多解性.

這里:x(t)和y(t)分別表示t 時刻捕食者和食餌的種群密度，ri(t)表示內(nèi)部增長率，di(t)表示相互的種群密度阻力，hi(t)＞0 表示收獲速率，i=1，2. τj1(t)(j1=1，2，3，4)表示非負變時滯函數(shù)， { tk}k∈N+是一個嚴格遞增的序列存在d2k.

2 預備知識

介紹一些基本概念和引理:

引理1[8](一般連續(xù)定理)若X 和Z 均為Banach 空間，L:DomL?X→Z 是一個零指標的Fredholm 算子，N:，(x，λ)→N(x，λ)是一個L-壓縮算子，連續(xù)映射P:X→X 和Q:Z→Z 滿足:ImP=Ker L，ImL=Ker Q=Im(I-Q)，J:ImQ→Ker L 是一個同構映射.

(a)對于任意λ∈(0，1)，x∈?Ω∩DomL，有Lx≠λN(x，λ)；

(b)對于任意x∈?Ω∩KerL，有QN(x，0)≠0；

則對于任意的λ∈[0，1)，方程Lx=λN(x，λ)在集合Ω 上至少存在一個解，方程Lx=N(x，1)在Ω上至少存在一個解.

引理2 對于系統(tǒng)(2)和(3)，以下結論成立:

1)如果(N1(t)，N2(t))T是系統(tǒng)(3)的一個解，則

2)如果(x(t)，y(t))T是系統(tǒng)(2)的一個解，則

證明:該定理的證明過程和參考文獻[6]中引理3 類似，故在此不再重復.

為了方便，介紹一些概念:

為了分析脈沖時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(2)的多解性問題，需作如下假設:

(H1)ri(t)，di(t)，hi(t)，ci(t)，α(t)，β(t)，τj1(t)(i=1，2，j1=1，2，3，4)均為有界非負的ω 周期函數(shù)，dj2k＞-1(j2=1，2，k∈N+).

引理3 對于等式，如果條件(H2)和(H3)成立，則以下的不等式成立.

證明:該引理的證明過程和參考文獻[5]中的引理2 類似，故在此不再重復.

3 主要結論

定理1 如果條件 (H1)- (H3)成立，則系統(tǒng)(2)至少存在四個ω-正周期解.

證明:由指數(shù)變換N1(t)=eu(t)，N2(t)=ev(t)，重新改寫系統(tǒng)(3)為:

這里:

這里，

顯然，算子QN 和Kp(I-Q)N 是連續(xù)的，對于任意的有界開集Ω?X，和是相對壓縮的，N 是集合上L-壓縮的.

假設u=(u，v)T∈X 是系統(tǒng)Lu=λN(u，λ)的一個ω-正周期解，其中λ∈(0，1)，則存在ξi，ηi∈[0，ω]，滿足:

首先，對方程Lu=λN(u，λ)左右兩邊均從0 到ω 積分，可得:

從而，

因此，

結合不等式(6)和(7)，可得:

故，

因此，?t∈[0，ω]，有

同理，由等式(5)的第二個式子，可得:

因此，

再次，由等式(5)的第二個式子，可得:

又因為，?t∈[0，ω]，有

由不等式(9)和(10)，?t∈[0，ω]，有

進一步，分析等式(5)的第一個式子，可得:

由條件 (H2)，不難驗證.故或

進一步，可得:

由條件 (H3)，不難驗證.故或

現(xiàn)構造四個不同的有界開區(qū)域Ωi?X(i=1，2，3，4).

接下來，驗證引理1 中(b)的條件成立.利用反證法，假設當u=(u，v)T∈?Ωi∩R2(i=1，2，3，4)時，QN(u，0)=0 成立，即常向量u=(u，v)T∈?Ωi∩R2滿足:

最后，驗證引理1 中(c)的條件成立.接下來，考慮系統(tǒng)(14)的四個不同的解:(u1，v1)=(u+，v+)，(，=(u-，v-)，() =(u+，v-)，這 里u±=v±==

由于KerL=ImQ，令J=I，由Leray-Schauder 度的定義可得:?i=1，2，3，4，有

因此，引理1 中條件(c)成立.

綜上分析可知，系統(tǒng)(3)至少存在四個不同的ω-正周期解.結合引理2，進一步獲得脈沖時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(2)至少存在四個不同的ω-正周期解.證畢.

推論1 如果條件(和(成立，則帶有脈沖的時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(1)至少存在一個正ω-周期解.其中

說明:當h1(t)=h2(t)=0 時，利用定理1 的證明方法，只能找到一個有效的有界開區(qū)域Ω，無法找到4 個不同的有界開區(qū)域Ωi(i=1，2，3，4)，故并不能得到系統(tǒng)(1)存在四個不同的正周期解.因此，收獲項會影響脈沖時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(1)的多個正周期規(guī)則.

推論2 如果條件()，(H2)和(H3)成立，則帶有脈沖和收獲項的Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(4)至少存在四個不同的正ω-周期解.其中:

說明:由定理1 的證明過程可知，時滯項τj1(t)(j1=1，2，3，4)不影響系統(tǒng)(2)的多個正周期規(guī)則.因此，系統(tǒng)(4)也至少存在四個不同的正ω-周期解.

4 例子

例1 分析時滯Crowly-Martin 型食餌-捕食系統(tǒng)(3)存在多個正周期解.其中，