曾純一

(西南民族大學(xué)預(yù)科教育學(xué)院，四川 成都 610041)

反應(yīng)擴散現(xiàn)象與人們的生活密切相關(guān)，它能描述客觀事物的主要特征及發(fā)展規(guī)律，相對于常微分方程所描述的有限維動力系統(tǒng)而言，反應(yīng)擴散方程所刻畫的動力系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)更為復(fù)雜，特別是帶有交叉擴散的各類生物、生態(tài)系統(tǒng)模型，由于從非線性的角度，交叉擴散系統(tǒng)是屬于擬線性拋物系統(tǒng)，關(guān)于這類系統(tǒng)的非平凡解的存在性問題已有一些結(jié)果，但很少有人討論具有自擴散和交叉擴散的生態(tài)模型的分岔現(xiàn)象，近年來帶有交叉擴散的各類生物、生態(tài)模型[1-6]備受關(guān)注，主要研究了非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的不存在性和存在性，后來也有不少作者研究了交叉擴散系統(tǒng)[7-9]和帶時滯的反應(yīng)擴散方程系統(tǒng)的動力學(xué)行為[10-14]，擴散一般分為自擴散、自由擴散和交叉擴散，考慮到交叉擴散對生物、生態(tài)系統(tǒng)的平衡態(tài)的影響非常有必要，而且也是十分有意思的一件事情，接下來，將利用一種新方法來研究如下一類具有交叉擴散影響的沙漠化生態(tài)模型:

其中d，β，P，α，r，σ 和ρ 均為正常數(shù)，具體含義見參考文獻[1]，系統(tǒng)(1)顯然有穩(wěn)態(tài)解(u，v)=(P，0)，接下來在P=ρ 的前提下，把(P，0)平移到(0，0)，然后將主要運用文獻[15]中的Lyapunov-Schmidt 約化方法來研究在Dirichlet 邊界條件下的新系統(tǒng)在(0，0)點附近的空間非齊次穩(wěn)態(tài)解的存在性、多重性及解的具體表示式.

1 預(yù)備知識

為了方便，本文中總假設(shè)λi(i∈N)為下面特征值問題的單重特征根.

其中φn是特征值λn所對應(yīng)的特征向量，且為定義在Ω 上的可積函數(shù)空間L2(Ω)的完備的標(biāo)準正交系，滿足且φ1(x)＞0.記φ?=φ1，為了方便，本文所討論的空間L2(Ω)，Hk(Ω)，為標(biāo)準實值Sobolev 空間，記，以對所有的x∈?Ω}.對任意的X 和Y 的子空間Z，定義Z 的復(fù)值空間

對線性算子L:Z1→Z2，記L 的定義域為Dom(L)，記L 的值域為Range(L).

接下來，首先研究系統(tǒng)(2)的空間非齊次穩(wěn)態(tài)解的存在性，系統(tǒng)(2)的穩(wěn)態(tài)解滿足如下的邊值問題:

其中U=(u，v)T∈X2和λ∈R.接下來希望找到U∈X2和參數(shù)λ∈R 使得方程F(U，λ)=0.易知，對每一個固定參數(shù)λ∈R，F(xiàn)(U，λ)=0 都有一個平凡解U0=(0，0)T，即F(U0，λ)=0 對任意的λ 結(jié)論均成立.為了進一步探討U0附近系統(tǒng)(4)的非常數(shù)解的存在性，要先計算F 關(guān)于U 在(U0，λ)處Fréchet 導(dǎo)數(shù)，即

接下來需要計算算子Lλ的核，也即是說要解下面的方程于是有以下結(jié)論.

引理1 對每一個固定的λ，算子Lλ?的核為K=span{q}，其中q=(aφ?，φ?)T且

引理2 對每一個固定的λ，算子的核為K?=span{p}，其中p=(0，φ?)T.

2 主要結(jié)論

本文的主要目的是找到非線性方程F(U，λ)=0 的非零解，并且滿足當(dāng)參數(shù)λ 趨于λ?時有U 趨于U0.為了運用Lyapunov-Schmidt 約化方法得到一個有限維的分岔問題.首先對空間進行分解:

對于每個U∈X2，有唯一的分解U=kq+W，其中，k∈R 且，記I(k，W，λ)=PF(kq+W，λ)，即，顯然有，I(0，0，λ)=0 和.運用隱函數(shù)存在定理，顯然可以獲得一個連續(xù)可微映射使得W(0，λ?)=0 且PF(kq+W(k，λ)，λ)，其中，W(k，λ)=(W1(k，λ)，W2(k，λ))T，所有的(k，λ)∈N×Θ，N 是向量0 在R2中的一個開鄰域，Θ 是λ?在R 中的一個開鄰域.令其中ζ=(ζ1，ζ2)T和ξ=(ξ1，ξ2)T∈K，由計算得，

由(6)的第一個方程知:PR(q，q)+Lλ?Wkk=0，因此，其中，Wkk=(W1，kk，W2，kk)T.

將W=W(k，λ)代入系統(tǒng)(6)的第二個方程得到

于是，接下來只需解方程J(k，λ)=0.將方程(7)與p=(0，φ?)T做內(nèi)積可以得到

顯然，G(0，λ)=0，經(jīng)計算易得算子G:R2→R 滿足如下的表達式

下面將分兩種情形得到系統(tǒng)(4)的空間非齊次穩(wěn)態(tài)解存在性和多重性的結(jié)論.首先先考慮A0 的情形，運用隱函數(shù)存在定理可知存在一常數(shù)δ ＞0 和一個連續(xù)可微映射k:(λ?-δ，λ?+δ)→R，使得G(kλ，λ)≡0.即有

于是有以下結(jié)論:

定理1 如果，那么存在常數(shù)δ ＞0 和由(λ?-δ，λ?+δ)到R 的連續(xù)可微映射λ→kλ，使得系統(tǒng)(4)具有一個非平凡解Uλ=kλq+W(kλ，λ)，而且由和W(0，λ?)=0，該非平凡解滿足

注解1 注意到λ?是一維特征值問題(3)的主特征值，它在Ω 上對應(yīng)的特征函數(shù)為φ?＞0，于是當(dāng)(λ?-λ)A ＞0((λ?-λ)A ＜0)時，由定理1 得到的空間非齊次穩(wěn)態(tài)解Uλ是正的(負的).由于在生物生態(tài)學(xué)中，負的穩(wěn)態(tài)解沒有意義，所以往往只研究正的穩(wěn)態(tài)解.

定理2 如果A=0 且B ＜0(B ＞0)，那么存在常數(shù)λ?＞λ?(λ?＜λ?)和由(λ?，λ?)到R(由(λ?，λ?)到R)的兩個連續(xù)可微映射，使得系統(tǒng)(4)具有兩個非平凡解，并且非平凡解滿足

注解2 注意到λ?是一維特征值問題(3)的主特征值，它在Ω 上對應(yīng)的特征函數(shù)為φ?＞0，因此定理2 中得到的兩個空間非齊次穩(wěn)態(tài)解一個是正的而另一個是負的.在生物生態(tài)學(xué)中，只對其中正的那個穩(wěn)態(tài)解感興趣.