黃明輝，趙國(guó)瑞

(廣州城建職業(yè)學(xué)院，廣東 廣州 510925)

1 預(yù)備知識(shí)

時(shí)滯非線性微分方程的研究，長(zhǎng)期以來(lái)一直受到廣大研究者的關(guān)注[1-12]. Jin、Zhang 等學(xué)者利用不動(dòng)點(diǎn)理論研究了微分方程的穩(wěn)定性，并取得了一系列的研究成果[13-16].2011 年，文獻(xiàn)[1]利用不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了時(shí)滯線性中立型微分方程

零解的漸近穩(wěn)定性.2012 年，文獻(xiàn)[2]利用不動(dòng)點(diǎn)理論，研究了時(shí)滯線性中立型積分微分方程

零解的漸近穩(wěn)定性.然而，上述結(jié)果的條件非常嚴(yán)格，要求c 可微且τ 二次可微，τ′(t)1，t ∈[0，∞).受此啟發(fā)，本文考慮以下變時(shí)滯非線性中立微分方程零解的漸近穩(wěn)定性

及初始條件x(t) =ψ(t)∈C([m(t0)，t0]，R)，對(duì)任意t0≥0，有mj(t0) =inf{t-τj(t)，t0≥0}，m(t0) =min{mj(t0)，1 ≤j ≤N}.

2 主要結(jié)果

定義1 對(duì)任意(t0，φ)∈[0，∞)×C([m(t0)，t0]，R)，若x ∈C([m(t0)，∞))在[t0，∞)上滿足方程(3)，且當(dāng)t ∈[m(t0)，t0]時(shí)，x(t) =φ(t)，則稱x 為方程(3)經(jīng)過(guò)(t0，φ)的解，記為x(t) =x(t，t0，φ).

引理1 方程(3)等價(jià)于

對(duì)方程(3)給出下列假設(shè):

(H1)aj∈C(R+×[m(t0)，∞]，R)，τj∈C(R+，R+)且可微，當(dāng)t →∞，t-τj(t)→∞，其中j=1，2，…，N.

(H2)Q(t，x1，…，xN)，G(t，x1，…，xN)對(duì)x1，…，xN是全局Lipschitz 連續(xù)函數(shù)，即存在正數(shù)L1，…，LN和K1，…，KN，

(H3)存在連續(xù)函數(shù)hj:[m(t0)，∞]→R，j=1，2，…，N 和常數(shù)α ∈(0，1)，對(duì)t ≥0，

定理1 設(shè)(H1)-(H3)成立.若，則方程(3)的零解漸近穩(wěn)定.

證明對(duì)任意t0≥0，設(shè).對(duì)固定的ψ ∈C([m(t0)，t0]，R)，令Sψ= { x ∈ C([m(t0)，∞]，R):t →∞，x(t)→0 且x(t) =ψ(t)，t ∈[m(t0)，t0]}，

通過(guò)分部積分并整理，得

定義映射P:Sψ→Sψ:對(duì)任意t ∈[m(t0)，t0]，(Pφ)(t) =ψ(t)，當(dāng)t ≥t0，

顯然，(Pφ)∈C([m(t0)，∞]，R).現(xiàn)在證明當(dāng)t →∞時(shí)，(Pφ)(t)→0.由于t →∞時(shí)，φ(t)→0 和t-τj(t)→∞.因此，對(duì)任意ε ＞0，存在T1＞t0，使得當(dāng)s ≥T1，有.因此，當(dāng)t ≥T1，(6)中的最后一項(xiàng)I6滿足

此外，存在T2≥T1，使得當(dāng)t ≥T2，

設(shè)任意φ，ψ ∈Sψ，當(dāng)t ≥t0時(shí)，

由條件(H3)可得，P 是一個(gè)壓縮系數(shù)為α 的壓縮映射.所以，由壓縮映射原理得，P 在空間Sψ上存在唯一不動(dòng)點(diǎn)x(t)，它是方程(3)的解.且x(t)滿足當(dāng)t ∈[m(t0)，t0]，x(t)=ψ(t)，當(dāng)t →∞時(shí)，x(t，t0，ψ)→0.

為了證明漸近穩(wěn)定性，需要證明方程(3)的零解是穩(wěn)定的. 假設(shè)給定任意ε ＞0 和δ ＞0(ε ＜δ)滿足.如果x(t) =x(t，t0，ψ)是方程(3)的一個(gè)解，其中‖ψ‖＜δ，對(duì)任意t ≥t0，x(t) =(Px)(t).下面證明t ≥t0，

顯然，當(dāng)s ∈[m(t0)，t0]，有.如果存在t?＞t0，使得x(t?) =ε，且當(dāng)m(t0)≤s ＜t?，有，則由(6)得

這與t?的定義相矛盾.這說(shuō)明，如果成立，方程(3)的零解漸近穩(wěn)定.

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮以下變時(shí)滯非線性中立微分方程

其中τ1(t) =0.489t，τ2(t) =0.478t，a1(t，s) =0.48/(s2+1)，a2(t，s) =0.52/(s2+1)，

Q(t，x，y) =0.072sin ( x/2)+0.036sin ( y/3)，G(t，x，y) =0.

證明選取h1(t) =0.52t/(t2+1)，h2(t) =0.48t/(t2+1)，則H(t) =t/(t2+1)，

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算可得，K1=0.036，K2=0.012，L1=L2=0，

因此，α=0.048+0.386+0.386+0.1125=0.9325 ＜1，定理1 中的所有條件成立.由定理1 可得方程(7)零解是漸近穩(wěn)定的.

4 結(jié)論

本文利用不動(dòng)點(diǎn)理論，研究變時(shí)滯非線性中立型微分方程零解的漸近穩(wěn)定性. 所研究的方程引入了和G(t，x(t-τ1(t))，…，x(t-τN(t)))，比文獻(xiàn)[1-2]中的方程更加一般化.并且文獻(xiàn)[1-2]的定理要求時(shí)滯τ 二次可微，τ′(t)1，t ∈[0，∞)，但本文定理1 中僅要求τ 連續(xù)可微，進(jìn)一步削弱了對(duì)時(shí)滯τ 的要求，從而推廣了文獻(xiàn)[1-2]的相應(yīng)結(jié)果.