一類題型 多向延伸

周儒省

(廣東省高州中學(xué) 525200)

高中生對知識的學(xué)習(xí)以及掌握相對來說都是比較零散而片面的，尤其數(shù)學(xué)，常常對各個知識點(diǎn)都獨(dú)立地應(yīng)用，顧此而忘彼，對整個知識點(diǎn)沒有一個總的概括，更別說知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系性了，從而使得學(xué)生對知識的理解只停留在膚淺的表面，大大地阻礙了他們更深入地探究與鉆研.為此我們作為老師就應(yīng)該在平時的教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的歸納整理和延伸拓展思維能力的培養(yǎng).下面主要以兩類關(guān)于線圓的類型題來分析如何點(diǎn)面擴(kuò)散培養(yǎng)學(xué)生的歸納拓展思維，希望對大家能起到拋磚引玉的作用.

一、過交點(diǎn)求方程問題

例1 求過直線2x+y+4=0與圓C2:x2+y2+2x-4y+1=0的交點(diǎn)且有最小面積的圓的方程.

分析通俗做法就是聯(lián)立直線與圓的方程構(gòu)建出一個二元二次方程組，解此方程組得出兩個交點(diǎn)的的坐標(biāo)，然后設(shè)出所求圓的一般方程，結(jié)合圓心到兩交點(diǎn)的距離等于半徑和圓面積最小則半徑最小，得出一個三元二次方程組，解此方程組得出所求圓的方程.

然而，此思路雖然不復(fù)雜但求解三元二次方程組卻比較繁瑣且容易出錯.下面我們一起來探討一種比較新穎的方法.

設(shè)一新的方程：x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0 其中λ為一個可變的常數(shù)則自然會問此方程表示的是怎樣的幾何圖形，不妨將方程轉(zhuǎn)換一下

x2+y2+(2λ+2)x+(λ-4)y+4λ+1=0.

明顯符合圓的一般方程，因此所設(shè)的方程x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0表示的是一個圓，如圖交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程組

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0.

又因?yàn)棣耸且粋€可變的常數(shù)，那么容易知道過A、B兩點(diǎn)的所有圓都可以用下面的方程來表示

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0.

因此，題目所求的圓的方程可設(shè)為

x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,其中λ為一個可變的常數(shù).

化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

然而教師不應(yīng)就此打住，而該帶有好奇心地向同學(xué)們提問：能否將此方法延伸到其他情況中去呢？給幾分鐘時間讓學(xué)生們探索及討論，然后各抒己見，同時將班里所有情況列出.最后老師也將自己的知識總結(jié)羅列出來：

凡是涉及到有交點(diǎn)求方程的(線與線、線與圓、圓與圓)，都可設(shè)所求方程為：

已知一個方程+另一個方程的λ倍=0.

(1)求直線l3過直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的方程(或求直線l1關(guān)于直線l2對稱的直線l3的方程)，都可設(shè)直線l3的方程為：

A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0.

(2)求過直線l:Ax+By+C=0與⊙O:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點(diǎn)的⊙O2的方程，都可設(shè)⊙O2的方程為：

x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.

(3)求過⊙O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與⊙O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點(diǎn)的⊙O3的方程，都可設(shè)⊙O3的方程為：

x2+y2+D1x+E1y+F1

+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

更甚者，可將一點(diǎn)看成為半徑為0的圓，如：求與直線l:Ax+By+C=0相切且切點(diǎn)為P(x0,y0)的⊙O的方程，此時點(diǎn)P(x0,y0)可看成圓心為P半徑為0的圓且其方程為：(x-x0)2+(y-y0)2=0，那么可設(shè)所求圓的方程為：

(x-x0)2+(y-y0)2+λ(Ax+By+C)=0.

此方法亦可延伸至求過某特定點(diǎn)的圓的方程.

評析本題通過引入一個可變常數(shù)λ，設(shè)出過交點(diǎn)的所有圓的方程，結(jié)合題設(shè)條件求出λ值，從而得到所求圓的方程，避免了常規(guī)做法，尤其大大地簡化了計算，更為重要的是整道題對同學(xué)來說有種煥然一新的感悟！而后面的引導(dǎo)歸納，更是由此思想延伸而拓展得到的.這樣不僅能有效地提高同學(xué)們對知識的歸化整理能力，在頭腦中對此類型問題就有一個比較全新的方法去解題，并且于做題過程中同學(xué)們會潛移默化地逐漸形成舉一反三的延伸思考，進(jìn)而逐步養(yǎng)成對事情進(jìn)行點(diǎn)聯(lián)想到面的歸納和拓展思索，從而大大地提升了學(xué)生學(xué)習(xí)的效果.

二、求最值問題

例2 已知⊙C過⊙C1:x2+y2-4x-4=0與⊙C2:x2+y2-4y-6=0的交點(diǎn)，且⊙C關(guān)于直線l:y=x對稱.

(1)求⊙C的方程；

(2)若x,y滿足⊙C的方程，試求

2)y-x的最值.

分析此題第(2)問乍一看無法下手，然而細(xì)想此例與我們學(xué)習(xí)過的斜率計算公式可對入號，而相減卻與求直線在坐標(biāo)軸上的截距相關(guān).詳細(xì)解題過程如下：

解(1)∵⊙C過⊙C1:x2+y2-4x-4=0與⊙C2:x2+y2-4y-6=0的交點(diǎn),

∴⊙C的方程可設(shè)為：

x2+y2-4x-4+λ(x2+y2-4y-6)=0,

又∵⊙C關(guān)于直線l:y=x對稱

∴⊙C的方程方程為：(x-1)2+(y-1)2=7.

∴k表示是過定點(diǎn)(-2,1)和動點(diǎn)(x,y)的直線l的斜率.

kx-y+2k+1=0.

②設(shè)y-x=b(y=x+b)，則題目所求的最值問題就是求b的最值問題，也就是直線與圓有公共點(diǎn)的條件下求直線y=x+b在y軸上截距b的最值.由圖可知：當(dāng)直線y=x+b與⊙C相切時才取得最值，此時，圓心C到直線l的距離等于半徑r，即：

∴(y-x)min=-14，(y-x)max=14.

同時教師不應(yīng)該就此結(jié)束，而逐漸引導(dǎo)學(xué)生對于一些求最值問題的一些知識點(diǎn)的總結(jié)和歸納：

(1)求形如：(x-a)2+(y-b)2的最小值，可轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)P(a,b)到動點(diǎn)M(x,y)的線段|PM|的最小值，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離最短和距離公式可求得.

注意：x2+y2事實(shí)上是定點(diǎn)(0,0)到動點(diǎn)M(x,y)的距離的平方.

注意：求y±x的最值，事實(shí)上就是求直線y±x=b(y=?x+b)在y軸上的截距b的最值.

評析此題主要利用學(xué)過的斜率與截距的相關(guān)知識來解題，同時結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，大大地培養(yǎng)了我們將抽象轉(zhuǎn)化為具體，激化對學(xué)習(xí)的求知欲！同時也因此而引出對其他求最值問題的一些方法總結(jié)，從而使學(xué)生漸漸地形成對知識間聯(lián)系的思考和探討，逐漸形成一個由點(diǎn)到面的大格局知識框架，大大增強(qiáng)同學(xué)們的歸納整理思維，形成對事物的繁衍性思考，從而大大地提升他們學(xué)習(xí)的效率！

總之，于平常的課題教學(xué)中我們教師應(yīng)當(dāng)有意識地進(jìn)行對各個模塊知識的串聯(lián)及延伸，由點(diǎn)及面、舉一反三、思此顧彼，靈活掌握，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維學(xué)習(xí)，對所接觸所學(xué)習(xí)的事和物于老師的系統(tǒng)講學(xué)、分析演繹中潛移默化地養(yǎng)成歸納總結(jié)和拓展延伸思維，久而久之，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率也會逐漸的提升.于另一個層面上，也為同學(xué)們?nèi)蘸筮M(jìn)入高校深造系統(tǒng)學(xué)習(xí)高等知識打下牢固思維格局，初步形成框架分塊且串聯(lián)延伸的合理思考，更便于他們?nèi)蘸蟮膶W(xué)習(xí).