王賀元, 張 穎

(沈陽師范大學 數(shù)學與系統(tǒng)科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

Lorenz方程是將滿足一定邊界條件的Navier-Stokes方程和熱傳導方程進行傅立葉展開后截斷而產生的[1-2]。其實際背景來源于簡化的大氣對流模型,兩平行板間充滿流體從下板加熱,熱量從下至上傳遞,當溫度比較低時,熱量通過熱傳導方式傳遞,流體不發(fā)生運動。當溫度增高時,液體就要發(fā)生對流,當溫度繼續(xù)升高時,液體會發(fā)生對流。在熱壓力條件下不可壓縮的流體運動可以被描述為如下偏微分方程組:

(1)

其中u=u(x,y,z)為流體的速度場,T=T(x,y,z)為流體的溫度場,在這個方程中式中常數(shù)g,ε,v和k分別表示重力加速度,熱膨脹系數(shù),運動粘性系數(shù)和熱傳導系數(shù),ΔT為兩板間的溫度差,p為流體的壓力場,在邊界上u=u(x,y,z)。

1 豎直截面上的二維對流問題

僅考慮豎直截面上二維流動問題,引入函數(shù)τ(x,z,t),它的梯度為速度場,同時引入θ(x,z,t)為流體的溫度場,并且在靜態(tài)條件下θ(x,z,t)=T(x,z,t)-T0,這里的T0在兩板間呈線性遞減,假定流體不可壓縮,則方程(1)可表示為如下形式:

函數(shù)ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)在邊界上滿足

(4)

對ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)傅立葉展開成如下形式:

(5)

在具體截斷過程中,將m1m2,n1,n2,賦予具體的值,使得ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)成為具體的式子,然后將ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)代入式(2)～式(4)中,經過復雜計算通過待定系數(shù)得到截斷方程。

依照上述截斷的方法,在截取五模類Lorenz方程組時,將ψ(x,z,t)和θ(x,z,t)展式設為如下形式:

(6)

其中x1相當于通項中的A1,x2相當于通項中的A2,x3相當于通項中的A11,x4相當于通項中的A12,x5相當于通項中的B02,C1,C2為常系數(shù)。

經運算得

把上述各式代入式(2)和式(3)中,再利用邊界條件(4)經整理并根據(jù)物理意義取定其中的參數(shù)得到如下五模類Lorenz方程組:

(14)

其中r與溫度有關,稱為Rayleigh數(shù)。

2 數(shù)值模擬

上述非線性方程組(14)具有復雜的動力學行為,下面我們來數(shù)值模擬當參數(shù)r變化時方程組的動力學行為如下(取坐標為x2,x4,x5):

圖1 r=48.3 繞一點旋轉Fig.1 r=48.3 Rotate about a point

1) 圖1表示當r=48.3時方程組的解軌線不斷繞一點(平衡點)旋轉,且越轉越密,此時系統(tǒng)穩(wěn)定,圖2(r=69.2)為軌線繞一點旋轉的另外一種形態(tài),軌線不斷增多且向一起靠攏;圖3表示當r=71.4時,系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔[3-6],出現(xiàn)了極限環(huán);圖4所示當r=72.3時由原先的繞一點旋轉變?yōu)槔@兩點旋轉。

2) 圖5(r=74)、圖6(r=76)為系統(tǒng)不斷分岔出一些新軌線,新軌線繼續(xù)繞兩點旋轉,即發(fā)生了混沌現(xiàn)象,出現(xiàn)奇怪吸引子[6]。

圖2 r=69.2軌線聚集Fig.2 r=69.2 Rail line to gather

圖4 r=72.3繞2點旋轉Fig.4 r=72.3 Rotation about two points

圖5 r=74奇怪吸引子 Fig.5 r=74 Strange attractor

3) 圖7～圖11分別給出了系統(tǒng)的分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)、龐加萊截面、返回映射和功率譜,它們展現(xiàn)了系統(tǒng)混沌行為的普適特征。

圖6 r=76奇怪吸引子Fig.6 r=76 Strange attractor

圖7 分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram

圖8 最大李雅普諾夫指數(shù)Fig.8 The largest lyapunov index

圖9 r=84.65龐加萊截面Fig.9 r=84.65 Poincare spectru

圖10 r=84.65返回映射Fig.10 r=84.65 Return to the map

圖11 r=84.65功率譜Fig.11 r=84.65 Power spectrum

3 結 論

本文介紹了Lorenz方程截斷的基本方法,對Navier-Stokes方程與熱傳導方程中的速度場和溫度場等變量進行二維傅立葉展開,經過復雜運算最后得到新五模方程組,并對其動力學行為進行了數(shù)值模擬。