基于APOS理論視角下的數(shù)學(xué)定理教學(xué)

摘 要：二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)定理的重要組成部分，是初中多項(xiàng)式乘法的延伸，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)有著不可忽視的價(jià)值。本文將運(yùn)用APOS理論對(duì)其教學(xué)過程進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：APOS理論;數(shù)學(xué)定理;二項(xiàng)式定理

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的抽象性，在教學(xué)當(dāng)中應(yīng)注重體現(xiàn)知識(shí)的來龍去脈，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)由具體到抽象的過程。但很多教師對(duì)于定理教學(xué)的把握不到位，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于定理的形成過程一知半解，死記硬背，不利于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)。二項(xiàng)式定理是人教版高中數(shù)學(xué)選修3-2第一章第三節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容，是代數(shù)多項(xiàng)式乘法的推廣。它是安排在計(jì)數(shù)原理之后的內(nèi)容，既是對(duì)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，同時(shí)也為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布、二項(xiàng)分布等內(nèi)容做鋪墊。接下來筆者將結(jié)合APOS理論對(duì)二項(xiàng)式定理的教學(xué)過程進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。

一、 APOS理論概述

APOS理論是20世紀(jì)80年代由美國(guó)數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基在皮亞杰反思性抽象理論的基礎(chǔ)上提出的有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理論。該理論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)需要經(jīng)歷四個(gè)階段的心理建構(gòu)，即活動(dòng)階段（Action）、過程階段（Process）、對(duì)象階段（Object）和圖式階段（Scheme）。APOS理論是以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，核心是引導(dǎo)學(xué)生通過心理建構(gòu)，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)?！盎顒?dòng)”是指?jìng)€(gè)體對(duì)感知到的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行各種變換。這里的“活動(dòng)”泛指所有的數(shù)學(xué)活動(dòng)，不僅僅指?jìng)€(gè)體的肢體動(dòng)作，還包括回憶、推理等。當(dāng)個(gè)體重復(fù)“活動(dòng)”或“動(dòng)作”并對(duì)其進(jìn)行反思時(shí)，“活動(dòng)”就會(huì)被內(nèi)化進(jìn)入心理“過程”，“過程”的一個(gè)重要特征是個(gè)體能夠完全在他的思想中描述或反思轉(zhuǎn)換的步驟而不實(shí)際進(jìn)行操作。當(dāng)個(gè)體把“過程”作為一個(gè)整體并且對(duì)整體實(shí)施新的動(dòng)作時(shí)，該“過程”被壓縮到一個(gè)心理“對(duì)象”中，這時(shí)個(gè)體不再關(guān)注動(dòng)態(tài)的“過程”，而是靜態(tài)的“對(duì)象”本身。“圖式”被定義為個(gè)體的“活動(dòng)”“過程”“對(duì)象”和其他圖式的整合?！皥D式”的建立是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，這些圖式在個(gè)體頭腦的連貫框架中有意識(shí)或無意識(shí)的聯(lián)系在一起，用來解決和他們相關(guān)的問題。本文將從APOS理論的視角對(duì)“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)做一個(gè)分析和探討。

二、 APOS理論視角下的二項(xiàng)式定理教學(xué)

依據(jù)APOS理論，筆者認(rèn)為學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理的認(rèn)識(shí)也需要經(jīng)歷以下四個(gè)階段。

第一階段：活動(dòng)階段（Action）

活動(dòng)是學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理的一個(gè)必要條件，我們不能馬虎。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上。在教學(xué)過程中不僅需要外在的動(dòng)作，如操作、實(shí)驗(yàn)等，也需要內(nèi)在的思維活動(dòng)，如回憶、思考等。

設(shè)計(jì)意圖：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解相關(guān)問題，深化學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理的理解。

第四階段：圖示階段（Scheme）

在這一階段將學(xué)習(xí)的二項(xiàng)式定理進(jìn)行總結(jié)，建立與其他概念、定理、定義之間的聯(lián)系，形成綜合的心理圖示。

（四） 課堂總結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生對(duì)于二項(xiàng)式定理有一個(gè)清晰全面的理解，建立起二項(xiàng)式定理與其他相關(guān)概念的聯(lián)系。

APOS理論揭示了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的全過程，四個(gè)階段的教學(xué)使學(xué)生深化了對(duì)二項(xiàng)式定理的理解，實(shí)現(xiàn)了真正意義上的建構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果。但運(yùn)用APOS理論指導(dǎo)教學(xué)時(shí)需注意，有時(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的理解并不嚴(yán)格遵循四個(gè)階段的這種線性途徑，如程序和對(duì)象階段也會(huì)有活動(dòng)的影子，所以四個(gè)階段之間還會(huì)存在一種循環(huán)。

參考文獻(xiàn)：

[1]管尤躍.基于APOS理論下的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式——以《三角形的認(rèn)識(shí)》為例[J].小學(xué)教學(xué)研究，2017（7）：8-11.

[2]趙紅霞，李丹.基于APOS理論的小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究——以《軸對(duì)稱圖形》教學(xué)為例[J].兵團(tuán)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，28（2）：61-65.

作者簡(jiǎn)介：顧慶梅，山東省青島市，青島大學(xué)。