呂玲

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?復(fù)變函數(shù)是高等學(xué)校工科專業(yè)一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，具有高度抽象性，計(jì)算復(fù)雜性，學(xué)習(xí)難度較大。結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，分析該課程現(xiàn)狀與背景，探討課程教學(xué)改革，將工程專業(yè)背景融入課程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在教學(xué)實(shí)踐中取得良好的教學(xué)效果。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?復(fù)變函數(shù);工科專業(yè);教學(xué)模式

[中圖分類號(hào)] ?G642 ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2019）25-0170-02

復(fù)變函數(shù)是高等學(xué)校工科專業(yè)的一門重要的理論基礎(chǔ)課，是高等數(shù)學(xué)后續(xù)課程，屬于工程數(shù)學(xué)范疇，在信號(hào)處理、電磁理論以及流體力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-4]。通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論與方法，以便為后續(xù)數(shù)學(xué)課程（如積分變換、數(shù)學(xué)物理方程）打下基礎(chǔ)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力以及應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的知識(shí)解決工科專業(yè)實(shí)際問題的能力。

一、研究現(xiàn)狀與背景分析

在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)過程中，學(xué)生常常感覺概念抽象、推導(dǎo)繁瑣、計(jì)算復(fù)雜且彼此關(guān)聯(lián)。如果學(xué)生對高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)掌握不足，基礎(chǔ)不扎實(shí)，則不能充分理解、掌握本課程內(nèi)容。同樣學(xué)生專業(yè)知識(shí)的空白，缺乏工程實(shí)踐，也導(dǎo)致其無法理解工程數(shù)學(xué)理論體系在大學(xué)課程設(shè)置中的實(shí)際意義。這些固有的特性使教師難教、學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，如何使學(xué)生能在輕松愉悅的環(huán)境下領(lǐng)會(huì)復(fù)變函數(shù)的精髓，掌握課程學(xué)習(xí)方法，則是當(dāng)前課程改革的重點(diǎn)。

首先，該課程在大二第一學(xué)期開設(shè)，該階段學(xué)生專業(yè)知識(shí)幾乎尚未涉及，學(xué)科背景比較匱乏，導(dǎo)致學(xué)生無法理解具體實(shí)用背景，從而興趣低迷，有的甚至出現(xiàn)厭學(xué)情緒。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)本課程的積極性，成為重中之重。

其次，該課程涉及知識(shí)點(diǎn)繁多，但是課時(shí)設(shè)置有限，這就要求任課教師對所授知識(shí)有所取舍，結(jié)合本專業(yè)學(xué)科特點(diǎn)，重點(diǎn)突出，在有效的時(shí)間內(nèi)達(dá)到知識(shí)點(diǎn)傳授最大化和合理化。

再次，目前高校教學(xué)改革正在有序進(jìn)行，結(jié)合高校實(shí)際情況，探討該課程教學(xué)模式改革迫在眉睫。我們現(xiàn)在采取“小班授課”的模式，教師可以和學(xué)生近距離接觸，及時(shí)獲得學(xué)生的聽課效果。通常我們還是采用“教師講，學(xué)生聽”的傳統(tǒng)模式?，F(xiàn)在學(xué)生獲得知識(shí)渠道逐漸增多，這種單一的教學(xué)模式已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足學(xué)生獲取知識(shí)的需求。探討教學(xué)模式改革，提高教學(xué)質(zhì)量，是我們必須要面臨的難題[5-6]。

二、課程教學(xué)改革探討

（一）教師獨(dú)特人格魅力和語言藝術(shù)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的關(guān)鍵

首先，教師獨(dú)特的人格魅力對吸引學(xué)生注意力至關(guān)重要。我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)，喜歡某位教師，聽課興致就很高;不喜歡某位老師，聽課時(shí)老是昏昏欲睡。教師的學(xué)識(shí)、能力、性情、品德修養(yǎng)等綜合素質(zhì)熔鑄成的人格魅力，是一名好教師吸引學(xué)生的主要源泉。教學(xué)需要“表演”，做到“以生為本”，一切為學(xué)生服務(wù)。每一堂課，教師如同表演者，學(xué)生如同觀眾，干枯的教授法已經(jīng)不能滿足學(xué)生獲取知識(shí)的需求，教師每一句話、每一個(gè)眼神或者每一個(gè)轉(zhuǎn)身，都是要經(jīng)過設(shè)計(jì)的，并緊緊抓住學(xué)生的注意力。如，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)中，把偉大的數(shù)學(xué)家生平故事和他們的杰出貢獻(xiàn)講給學(xué)生聽，避免課堂枯燥乏味。針對數(shù)學(xué)課程的抽象性和復(fù)雜性，力爭用較為輕松而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑捳Z把基本概念和方法講清楚，如“歐拉公式”是復(fù)變函數(shù)課程學(xué)習(xí)中最重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，被稱為最優(yōu)美最具里程碑意義的公式，將復(fù)數(shù)域中三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)很好地結(jié)合在一起，是人類數(shù)學(xué)發(fā)展史上一大進(jìn)步。學(xué)生聽了，會(huì)對歐拉公式有比較深刻的印象。

我們面對的學(xué)生是極具個(gè)性的一代人，作為教師要充分尊重他們的人格和自尊，對學(xué)生要始終保持關(guān)注和熱情。利用課前課后多和學(xué)生進(jìn)行溝通，了解他們真正感興趣的是什么。教師只有先拉近距離，讓學(xué)生對教師有認(rèn)同感，才能提高他們學(xué)習(xí)這門課程的積極性。

（二）加強(qiáng)學(xué)科專業(yè)知識(shí)積累，融入數(shù)學(xué)教學(xué)過程中

作為一名高校教師必須有深厚的專業(yè)知識(shí)積累與獨(dú)特的教學(xué)眼光?！耙o學(xué)生一杯水，自己先有一缸水?！碑?dāng)前學(xué)生獲得知識(shí)的渠道多樣化，單純依靠課本教學(xué)已經(jīng)滿足不了學(xué)生學(xué)習(xí)的需求。教師熟練教學(xué)內(nèi)容，了解工程學(xué)科專業(yè)背景知識(shí)，才能從多角度對問題進(jìn)行思考，多舉實(shí)例與數(shù)學(xué)理論知識(shí)相聯(lián)系。以常見問題為切入點(diǎn)，用淺顯易懂的語言將抽象問題具體化，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

如講授復(fù)變函數(shù)中“共形映射”知識(shí)點(diǎn)時(shí)，教師可以將復(fù)雜的幾何圖形經(jīng)過變換簡化為簡單圖形，工程技術(shù)上利用這一點(diǎn)成功解決了電場中電容問題和流體力學(xué)等方面的實(shí)際問題。在講授過程中，教師結(jié)合工程應(yīng)用，采用圖形結(jié)合，加之幾何意義，可以幫助學(xué)生深層次理解概念內(nèi)涵和外延。在理解復(fù)變函數(shù)中“留數(shù)”這一重要概念時(shí)，教師結(jié)合電荷電場的相關(guān)知識(shí)，留數(shù)計(jì)算中的奇點(diǎn)類比電場中的點(diǎn)電荷，賦予數(shù)學(xué)概念以工程意義，將理論知識(shí)實(shí)踐化、抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，是教師主講工程數(shù)學(xué)課程的重要原則。

（三）針對本課程的特殊性，注重教學(xué)方式突破

復(fù)變函數(shù)是在學(xué)生學(xué)習(xí)完高等數(shù)學(xué)后開設(shè)的課程。這兩門課程有一定的相關(guān)性，將實(shí)數(shù)域研究問題擴(kuò)展到了復(fù)數(shù)域。因此，在講授過程中，教師多采用“類比/對比教學(xué)法”，從學(xué)生熟悉的知識(shí)點(diǎn)入手，由簡入難。兩門課程的主要內(nèi)容都是函數(shù)、極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分和級(jí)數(shù)，前三者在復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域中區(qū)別不大。針對導(dǎo)數(shù)，在復(fù)變函數(shù)中引入解析函數(shù)的概念，強(qiáng)調(diào)了“領(lǐng)域”。并且，在復(fù)變函數(shù)中，所有初等函數(shù)的講解都是在給出解析函數(shù)之后進(jìn)行的，與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。復(fù)變函數(shù)的指數(shù)函數(shù)是有周期性的，這為我們以后理解量子力學(xué)中波粒二象性打下基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)中的積分強(qiáng)調(diào)的是圍線積分，級(jí)數(shù)展開會(huì)有負(fù)冪項(xiàng)，這些都是復(fù)變函數(shù)獨(dú)特的性質(zhì)?；诖?，將復(fù)積分和復(fù)級(jí)數(shù)結(jié)合起來，得到了“留數(shù)”這一獨(dú)特的概念，并大大簡化了不定積分的計(jì)算。通過這些比較，學(xué)生可以對復(fù)變函數(shù)課程的知識(shí)點(diǎn)有比較清晰的認(rèn)識(shí)，把碎片化知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)樹，探索各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，掌握課程的整個(gè)脈絡(luò)。

在課程講授過程中，教師要著重強(qiáng)調(diào)解題思路。關(guān)于復(fù)積分計(jì)算，第一步首先將積分的圍線在坐標(biāo)軸上畫出。第二步判斷被積函數(shù)是否有奇點(diǎn)，如果沒有，利用柯西-古薩基本定理得出結(jié)果;如果有，在坐標(biāo)軸上畫出相應(yīng)奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)是否在圍線區(qū)域內(nèi)。第三步利用柯西-積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式或者留數(shù)定理求出結(jié)果。解題思路在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的，可以將碎片化的知識(shí)點(diǎn)整合在一起，形成一個(gè)完整的知識(shí)體系。

（四）改革傳統(tǒng)教學(xué)模式，提高教學(xué)質(zhì)量

轉(zhuǎn)變以往“一言堂、滿堂灌”的“說教模式”，要與學(xué)生深度探討。教師診斷學(xué)生前期的學(xué)習(xí)情況，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的興趣點(diǎn)和難點(diǎn)，實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整、優(yōu)化和整合教學(xué)內(nèi)容。教師與學(xué)生或者學(xué)生與學(xué)生之間積極互動(dòng)，開展深入?yún)f(xié)作的教學(xué)活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，通過互動(dòng)設(shè)計(jì)激發(fā)學(xué)生探索求知的熱情。在教授過程中，教師采用“問題教學(xué)法”，與學(xué)生一起提出問題、解決問題，多媒體課件與板書相結(jié)合，對重點(diǎn)和難點(diǎn)進(jìn)行仔細(xì)推導(dǎo)。針對一些重要但是難度不大的內(nèi)容，可以開展討論課或者“翻轉(zhuǎn)課堂”，讓學(xué)生走上講臺(tái)，真正做到教學(xué)相長，共同進(jìn)步。

在復(fù)變函數(shù)課時(shí)有限的情況下，教師合理利用微課等平臺(tái)，幫助學(xué)生理解課堂上難點(diǎn)和重點(diǎn)，大大提升教學(xué)效果。同時(shí)，探討考核方式的改革，由當(dāng)前閉卷答題改為多元化考核，如課外作業(yè)——利用課程知識(shí)解決本專業(yè)實(shí)際問題的小論文，真正做到“學(xué)以致用”。充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，使自主學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣。

三、結(jié)語

復(fù)變函數(shù)的教學(xué)改革在不斷思考和探索中，在教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式、考核方式以及與高校工科專業(yè)結(jié)合等各個(gè)方面進(jìn)行深入思考。我們在實(shí)際教學(xué)過程中探討復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)改革，將工程專業(yè)背景融合到該課程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，在學(xué)習(xí)專業(yè)課時(shí)真正發(fā)揮該課程作為數(shù)學(xué)工具的重要作用。同時(shí)希望借助復(fù)變函數(shù)教學(xué)改革，對從事工程數(shù)學(xué)教學(xué)工作的教師提供一定的借鑒作用。

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編輯 陳鮮艷