挖掘一道課本習(xí)題的教學(xué)價(jià)值

陸建根

摘要：課本例題、習(xí)題既是如何運(yùn)用知識解題的經(jīng)典，也是思維訓(xùn)練的范例。教師要加強(qiáng)對課本例題習(xí)題的研究，通過對一道例題多角度、全方位的探究，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識的理解和掌握，讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上達(dá)到新的水平，而且對開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)具有重大意義。

關(guān)鍵詞：例題習(xí)題;研究;一題多解

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）19-108-1

教材的例題習(xí)題都是很典型的，是經(jīng)過專家精選的，具有一定的代表性，課本例題習(xí)題的教學(xué)相當(dāng)?shù)闹匾?。而要搞好例題習(xí)題教學(xué)的前提是，教師必須進(jìn)行深入的研究，要熟悉例題習(xí)題的編寫意圖和例題習(xí)題的來龍去脈。

就一道例題，對解題方法進(jìn)行深入挖掘和研究，做到一題多解，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性和靈活性。同一個(gè)題目從不同的角度去分析研究，可以得到不同的啟迪。

蘇教版必修五第2章《數(shù)列》復(fù)習(xí)題第11題為：

在等差數(shù)列{an}中，已知Sp=q，Sq=p（p≠q），求Sp+q的值。

同學(xué)們?nèi)绻軓亩喾轿蝗ヌ角蟾鞣N不同的解法，不僅能系統(tǒng)梳理、復(fù)習(xí)等差數(shù)列的有關(guān)的基礎(chǔ)知識，而且對等差數(shù)列的內(nèi)在的本質(zhì)的屬性會有更深刻的認(rèn)識。

為便于全面的挖掘本題的教學(xué)價(jià)值，我們先把問題特殊化，先考慮下列問題：

在等差數(shù)列{an}中，已知S10=100，S100=10，求S110的值。

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，前項(xiàng)和為Sn。

解法1：由S10=100，S100=10得

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2）

解得a1=1099100，d=-1150。所以S110=110a1+110×1092d=-110

注：該解法思路自然，是一種常規(guī)解法，但運(yùn)算量較大。

解法2：數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90，S110-S100（*）成等差數(shù)列，設(shè)公差為D，該數(shù)列前10項(xiàng)和為10S10+10×92D=S100=10，∴D=-22，

該數(shù)列第11項(xiàng)為S110-S100=S10+（11-1）（-22）=-120，∴S110=-110。

注：該解法運(yùn)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列的依次每k項(xiàng)之和仍成等差數(shù)列。

解法3：數(shù)列（*）的前10項(xiàng)和為S100=10，而S10=100，

所以等差數(shù)列S20-S10，S30-S20，…，S60-S50，…，S100-S90的所有9項(xiàng)之和為-90。

即-90=9（S60-S50），∴S60-S50=-10，

∴S110=S10+（S20-S10）+…+（S110-S100）=11（S60-S50）=11×（-10）=-110。

注：該解法運(yùn)用了性質(zhì)：S2n-1=（2n-1）an。

解法4：由于{an}為等差數(shù)列的充要條件為其前項(xiàng)和Sn=An2+Bn，

將S10=100，S100=10代入可得A=-11100，B=-11110，

∴Sn=-11100n2+11110n，∴S110=-110。

注：該解法注意到等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的結(jié)構(gòu)特征，Sn=An2+Bn。

解法5：∵Sn=na1+n（n-1）2d，∴Snn=a1+（n-1）d2，

∴（n，Snn）是直線y=（x-1）d2+a1上的一串點(diǎn)，

顯然（10，10），（100，110），（110，S110110）共線，∴S110=-110。

注：由Snn=a1+（n-1）d2聯(lián)想到直線方程，數(shù)形結(jié)合，解法簡潔快捷。

解法6：由S110=110a1+110×1092d=110（a1+1092d）。

∴10a1+10×92d=100，（1）100a1+100×992d=10，（2），

由（2）-（1）得a1+1092d=-1，

上述等式兩邊同乘以110得S110=-110。

注：整體代換可以極大地減少運(yùn)算量。

再回到原問題，從上述解法可以知道，用解法1、2、4、5、6都可以解決該題，下面我們用解法6來求解。

由Sp=q，Sq=p，得pa1+p×（p-1）2d=q，（3）qa1+q×（q-1）2d=p，（4）

（3）-（4）整理得a1+p+q-12d=-1，

兩邊同乘以p+q得（p+q）a1+（p+q）（p+q-1）2=-（p+q），

即Sp+q=-（p+q）。

數(shù)學(xué)解題教學(xué)，題不在多，貴在精，貴在教師研究深。課本例題、習(xí)題既是如何運(yùn)用知識解題的經(jīng)典，也是思維訓(xùn)練的范本，因此，教師要加強(qiáng)對課本例題習(xí)題的研究，而且通過教師長期的示范引領(lǐng)，慢慢地讓學(xué)生也養(yǎng)成對課本例題習(xí)題進(jìn)行琢磨、研究的習(xí)慣。這樣做不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識的理解和掌握，讓學(xué)生在解題的準(zhǔn)確性、靈活性和敏捷性上達(dá)到新的水平，而且對開發(fā)學(xué)生智力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)亦有好處。

（作者單位：江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)，江蘇 鎮(zhèn)江212000）