郭源源

摘 要：反比例函數(shù)k值和面積問題在近幾年的各地中考試題中出現(xiàn)頻率較高.本文以中考中的反比例函數(shù)問題為例，通過對題型的分類解析，滲透數(shù)學思想，并感悟“建模解析法”和“構造面積法”的解題策略.

關鍵詞：反比例函數(shù);k值面積問題;解題策略

近年來，以反比例函數(shù)圖象為背景的試題，形式多變，結構多樣，新穎獨特，且蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法，已然成為了中考的熱點問題之一.這類試題主要呈現(xiàn)兩個特點：一是“易融性”，雙曲線中可以融入各種圖形，三角形、平行四邊形、矩形、菱形、梯形等無一不在其中，考查雙曲線與各種圖形的聯(lián)系，并借助它們的聯(lián)系求面積或k值;二是“易聯(lián)性”，以雙曲線為主線，關聯(lián)各種方法，既可用運算較多的建模解析求解，也可用思維靈活的構造面積求解，兼顧到數(shù)和形兩種思維特點，綜合考查學生的分析問題和解決問題的能力.這類試題不僅可以反映出學生扎實的基本功，還可以體現(xiàn)出創(chuàng)造性的思維品質，是數(shù)學核心素養(yǎng)的直接體現(xiàn).

本文根據(jù)自己在教學中的實踐發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)圖象中的面積或k值問題的解決方法通?？煞譃閮纱箢悾阂皇沁\用“建模解析”的方法，先設某點的坐標，利用關系表示出其余各點的坐標，再結合條件建立方程模型解決;二是運用“構造面積”的方法，想方設法將已有圖形面積劃歸成與坐標軸圍成的矩形面積上，即轉化成|k|的幾何意義求解.

1 矩形為背景的k值面積問題

例1 （2019年孝感）如圖1，雙曲線y=9x（x>0）經過矩形OABC的頂點B，雙曲線y=kx（x>0）交AB，BC于點E，F(xiàn)，且與矩形的對角線OB交于點D，連接EF.若OD∶OB=2∶3，則△BEF的面積為.

分析 本題中矩形和三等分點的條件是關鍵，矩形意味著點B，F(xiàn)，C縱坐標相同，點B，E，A橫坐標相同.三等分點又可推出點B和點D的坐標關系.故理清坐標之間的關系或面積之間的關系是解題的切入口.

解法1 （建模解析）設點B坐標為（a，9a），則點F坐標為（ak9，9a），點E坐標為（a，ka）.

因為OD∶OB=2∶3，所以點D坐標為（2a3，6a）.

將點D坐標代入y=kx中得k=2a3·6a=4.

所以S△BEF=12BE·BF=12（9a-ka）·（a-ak9）=12·5a·5a9=2518.

解法2 （構造面積）如圖1，過點D，F(xiàn)分別作x軸的垂線，垂足為點N，M.

因為OD∶OB=2∶3，所以S△DONS△BOA=49.

由|k|的幾何意義可知S△BOA=|k|2=92.

所以S△DON=49×92=2.可得k=4.

因為S矩形FCOM=4，S矩形BCOA=9，所以CFCB=49.同理AEAB=49.

所以S△BEF=12BE·BF=12·59AB·59BC=25162S矩形BCOA=25162×9=2518.

例2 （2019年隨州）如圖2，矩形OABC的頂點A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，D為AB的中點，反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象經過點D，且與BC交于點E，連接OD，OE，DE.若△ODE的面積為3，則k的值為.

分析 本題的中點和矩形亦是解題的關鍵.

解法1 （建模解析）設點D坐標為（a，ka），則點B坐標為（2a，ka），點E坐標為（2a，k2a）.

所以S△ODE=S矩形BAOC-S△DAO-S△ECO-S△BDE=2a·ka-k2-k2-12（ka-k2a）（2a-a）=3k4.

可得方程3k4=3，解得k=4.

解法2 （構造面積）如圖2，過點D作x軸的垂線，垂足為點F.

由|k|的幾何意義知S△DAO=S△ECO=|k|2.

因為ADOC=12，所以ECOA=12，即E為BC中點.

所以S△BEDS矩形BCFD=14，即S梯形ECFDS矩形BCFD=34.

因為S△ODE=S四邊形ODEC-S△ECO=S四邊形ODEC-S△DOF=S梯形ECFD=3，所以S矩形BCFD=4.

所以S矩形DAOF=S矩形BCFD=4，即k=4.

例3 （2019年眉山）如圖3，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經過矩形OABC對角線的交點M，分別交AB，BC與點D，E.若四邊形ODBE的面積是12，則k的值為.

分析 本題中需分析出隱藏條件，即點M為AC，OB的中點.這樣可以劃歸成例1、例2同類型的問題.

解法1 （建模解析）由矩形性質知點M為AC，OB的中點.設點M坐標為（a，ka），則點B坐標為（2a，2ka），點E坐標為（a2，2ka），點D坐標為（2a，k2a）.

所以S四邊形ODBE=S矩形OABC-S△ECO-S△DAO=2a·2ka-k2-k2=3k.可得方程3k=12，解得k=4.

解法2 （構造面積）如圖3，過點M，E分別作x軸的垂線，垂足為點N，F(xiàn).

由矩形性質知點M為AC的中點，

所以MNOC=12，ON=AN.

由|k|的幾何意義知S△ECO=S△MNO=|k|2.

因為MNOC=12，所以CEON=12，可得CEOA=14.

所以S矩形ECOFS矩形BCOA=14，即S矩形ECOFS矩形BEFA=13.

因為S四邊形ODBE=S梯形OABE-S△OAD=S梯形OABE-S△OEF=S矩形BEFA=12，

所以S矩形ECOF=13×12=4，即k=4.

評注 此類題型都屬于矩形和雙曲線交點中含有一個特殊等分點的問題模型.解題時需緊扣所有點之間的關聯(lián)，結合反比例函數(shù)的圖象性質，分析出圖形間底和高的比例關系，借助轉化，對接到|k|的幾何意義上去.

2 菱形為背景的k值面積問題

例4 （2017年齊齊哈爾）如圖4，菱形OABC的一邊OA在x軸的負半軸上，O是坐標原點，tan∠AOC=43，反比例函數(shù)y=kx的圖象經過點C，與AB交于點D.若△COD的面積為20，則k的值為.

分析 本題的背景是定角度的菱形，菱形四個頂點的關系容易得到.而坐標系中的△COD的位置不好，故三角形面積需轉化分析.

解法1 （建模解析） 由同底等高可得S菱形OABC=2S△COD=2×20=40.

因為tan∠AOC=43，所以可設點C坐標為（-3a，4a），則點A坐標為（-5a，0），點B坐標為（-8a，4a）.

所以S菱形OABC=AO·CE=5a·4a=20a2.

可得方程20a2=40，解得a=2 （-2舍去）.

所以點C坐標為（-3 2，4 2）.

代入y=kx中可得k=-24.

解法2 （構造面積）如圖4，過點C作x軸的垂線，垂足為點E，連接AC.

由AB//OC可得S△COD=S△COA=20.

因為菱形OABC，tan∠AOC=43，所以OEOC=35.

所以OEOA=35.所以S△COES△COA=35.

所以S△COE=35×20=12.

由|k|的幾何意義知S△COE=|k|2.

所以|k|=2×12=24，即k=-24.

例5 （2019年本溪）如圖5，在平面直角坐標系中，等邊△OAB和菱形OCDE的邊OA，OE都在x軸上，點C在OB邊上，S△ABD=3，反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象經過點B，則k的值為.

分析 本題的難點仍然在于△ABD面積的處理，間接法表示面積或轉化面積是關鍵.

解法1 （建模解析）如圖5，過點O，D分別作DE，OE的垂線，垂足為點N，M.

由等邊△OAB和菱形OCDE的性質，可設點B坐標為（a，3a），則點A坐標為（2a，0）;設點E坐標為（-b，0），則點D坐標為（-b2，3b2），ON=3b2.

所以S△ABD=S△ABO+S梯形DEOB-S△ADE=12·2a·3a+b+2a2·3b2-12·（b+2a）·3b2=3a2.

可得方程3a2=3，解得a=1 （-1舍去）.

所以點B坐標為（1，3）.代入y=kx中可得k=3.

解法2 （構造面積）如圖5，連接OD.

由等邊△OAB和菱形OCDE的性質，易得OD//AB.

所以S△ABD=S△ABO=3.

因為等邊△OAB的面積可恰好劃歸成點B與坐標軸圍成矩形的面積，所以由|k|的幾何意義得k=3.

評注 此類題型以菱形為載體，嵌入一個三條邊都傾斜的三角形，面積無法直接底乘高處理，解題時需抓住圖形之間的聯(lián)系，間接處理面積，分析出平行和同底等高，或割補、或轉化， 靈活運用“數(shù)形”兩條線解析.

3 三角形為背景的k值面積問題

例6 （2019年寧波）如圖6，過原點的直線與反比例函數(shù)y=kx（k>0）的圖象交于點A，B兩點，點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，連接AC交反比例函數(shù)圖象于點D.AE為∠BAC的平分線，過點B作AE的垂線，垂足為點E，連接DE.若AC=3DC，△ADE的面積為8，則k的值為.

分析 本題分析的重點在于三角形背景下條件之間的組合聯(lián)想.直角三角形結合斜邊中點易聯(lián)想到斜邊中線，得等腰三角形后結合角平分線可以得到平行線，這樣△ADE的面積就很好處理了.

解法1 （建模解析）過點A，D分別作x軸的垂線，垂足為點F，G.連接OE.

因為由AE⊥BE，OA=OB，所以OA=OB=OE.

所以∠OAE=∠OEA.

又因為∠OAE=∠DAE，所以∠OEA=∠DAE.

所以OE//AC.

又AC=3DC，

所以S△ACO=32S△ADE=32×8=12.

設點D坐標為（a，ka），則點A坐標為（a3，3ka），F(xiàn)G=2a3，CG=12FG=a3，故點C坐標為（4a3，0）.

所以S△ACO=12·OC·AF=12·4a3·3ka=2k.

可得方程2k=12，解得k=6.

解法2 （構造面積）同解法1得S△ACO=12.

AC=3DC，由相似比可得DGAF=13，CGFG=12.

由|k|的幾何意義知S△DGO=S△AFO=|k|2.

因為DGAF=13，所以OFOG=13.可得OFOC=14.

所以S△AFO=14S△ACO=14×12=3.可得k=6.

評注 三角形為背景的題，可以融入更多的幾何知識，隱藏的信息也可以更深.解題時注重條件的重合和聯(lián)想，挖掘題目背后的隱藏信息，從而達到轉化面積的作用.

綜上，反比例函數(shù)的k值和面積問題，涉及的知識面廣、跨度大、聯(lián)系緊、綜合性強，試題結構新穎且多變，解題方法靈活且多樣，要求學生有扎實的數(shù)學基本功，能靈活運用所學知識，會多角度思考分析問題[1].此外，這類問題的解法過程蘊藏著豐富的數(shù)學思想方法，如本文所述的兩種解法，是“數(shù)、形”兩種思維的代表，解法過程中涉及到數(shù)形結合、劃歸轉化、方程建模等重要的數(shù)學思想，對提升學生思維有很大的幫助，具有一定的數(shù)學價值.

一個好的解題方法，應以學生的理解為基礎，以解題的高效為動力，以幫助學生全面地、系統(tǒng)地研究問題為根本，達到“練一題，學一法，會一類，通一片”的目標[2].同時筆者認為，解題方法的研究，需先類化問題，看透一類問題的本質，拋開瑣碎的小技巧，著眼于整體的問題框架，探究出解決問題的的通性通法.只有注重通性通法，知識才能越學越成體系，方法才能越學越能連貫，數(shù)學也才能越學越有味道.

參考文獻：

[1]沈岳夫.中考反比例函數(shù)與面積類試題歸類解析 [J].中國數(shù)學教育，2013（Z3）：76-82.

[2]左效平，張新華.面積法——解反比例函數(shù)面積問題的重要工具[J].中國數(shù)學教育，2019（07）：54-59.

（收稿日期：2019-08-03）