類比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中的應(yīng)用研究

趙栓柱

【摘要】類比推理在日常生活和學(xué)習(xí)中極為常用.我國古代人在做學(xué)問研究的過程中常常利用類比與歸納去發(fā)現(xiàn)事物與事物之間的關(guān)系，由此可以看出類比推理這一教育思想早在我國古代時(shí)期就被重視.隨著教育教學(xué)的不斷改革，雖然類比推理不被作為一種較為嚴(yán)格的推理方式，但是依然被納入高中數(shù)學(xué)教材中，可見其重要性.

【關(guān)鍵詞】類比推理;高中數(shù)學(xué);教學(xué)實(shí)踐

引 言

筆者在本文基于類比推理對其應(yīng)用背景進(jìn)行了分析，隨后對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的五種類比推理方法的應(yīng)用進(jìn)行了逐一闡明.

一、類比推理應(yīng)用的研究背景

1.落實(shí)素質(zhì)教育的具體體現(xiàn)

自素質(zhì)教育提出以來，其至今仍處于一個(gè)持續(xù)革新、持續(xù)優(yōu)化的狀態(tài).在教育教學(xué)中，素質(zhì)教育主要側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生成為一個(gè)什么樣的人.可以說素質(zhì)教育是一種創(chuàng)新型教育，主要針對學(xué)生思想與學(xué)生能力進(jìn)行培養(yǎng).但是由歸納推理和類比推理之間的差異性可知，類比推理在應(yīng)用的過程中需要學(xué)生具備更為豐富的思維能力和想象能力，所以類比推理順應(yīng)了素質(zhì)教育的要求，是素質(zhì)教育的具體體現(xiàn).

2.學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)的重要原則

為了素質(zhì)教育的全面落實(shí)，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，教師主要側(cè)重學(xué)生創(chuàng)新能力和數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).筆者對近幾年來我國數(shù)學(xué)課程教育教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容進(jìn)行了分析，從而發(fā)現(xiàn)：當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)以創(chuàng)設(shè)興趣課堂為核心，以歸還學(xué)生主體地位，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力為目標(biāo)，將多驗(yàn)證、多推理作為學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)過程中的一個(gè)重要原則.

二、類別推理種類及其教學(xué)應(yīng)用

1.概念類比

概念類比是基于類比推理思想基礎(chǔ)上的一種概念引出.教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中能夠基于定理、概念，應(yīng)用類比推理思想開展教學(xué)，為學(xué)生總結(jié)出更為鮮明的概念對比，可使學(xué)生能夠直觀地明確概念與概念之間的差異，更好地實(shí)現(xiàn)概念更深層次的理解和更靈活的運(yùn)用.例如：在等差數(shù)列和等比數(shù)列的課堂教學(xué)中，當(dāng)兩節(jié)課程的內(nèi)容都結(jié)束后，教師可利用幾分鐘的時(shí)間結(jié)合“概念類比”教學(xué)思想，為學(xué)生歸納和總結(jié)出等差數(shù)列和等比數(shù)列之間概念的差異.

2.性質(zhì)類比

性質(zhì)類比的核心是找到兩類研究對象之間所存在的關(guān)系，然后根據(jù)這種關(guān)系，利用類比推理的方法得出另一個(gè)研究對象的相似性質(zhì).例如：教師在進(jìn)行等比數(shù)列的教學(xué)中，可以先讓學(xué)生回顧等差數(shù)列的性質(zhì)，然后組織學(xué)生開展小組合作探究.在探究結(jié)束后，教師將等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)作為類比對象總結(jié)成相應(yīng)的表格，用多媒體大屏幕為學(xué)生播放 ：

“等差數(shù)列”

推項(xiàng)公式：an=a1+（n-1）d.

推廣公式：an=am+（n-m）d.

“等比數(shù)列”

推項(xiàng)公式：an=a1qn-1.

推廣公式：an=amqn-m.

3.升維類比

升維類比中的“維”多指高層次和低層次、平面和空間等，而升維類比中的“升”主要是指由低向高，所以升維類比多指由低層次向高層次、由平面向空間之間的類比.基于升維類比教學(xué)思想，教師在開展教學(xué)的過程中可以結(jié)合平面與空間相對應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行講授，如圓和球、正方形和正方體等.如在高中數(shù)學(xué)球的教學(xué)中，教師可以由圓的周長為C=2πr引出球的表面積為S=4πR2，還可以由與圓心距離相等的弦相等，引出與球心距離相等的兩個(gè)截面圓的面積相等.

4.思想方法類比

思想方法類比中，思想方法是核心，問題是主體，處理問題的思想方法則是過程.所以總體來看，思想方法類比也就是在處理一個(gè)或多個(gè)問題的過程中存在類似的處理方法和解決方法，而問題的處理方式所應(yīng)用的思想方法就是一種類比推理.

5.同構(gòu)類比

同構(gòu)類比多指一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)之中的兩個(gè)個(gè)體（對象）存在一一對應(yīng)的關(guān)系，另一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng)之中的兩個(gè)個(gè)體（對象）也存在這種關(guān)系.那么，當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)聯(lián)系在一起之后，這種系統(tǒng)聯(lián)系就會(huì)形成一種類比.

三、類比推理在高中數(shù)學(xué)課堂上的實(shí)施原則

1.注重教學(xué)目標(biāo)的導(dǎo)向性

高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，各個(gè)階段的教學(xué)目標(biāo)存在一定程度的差異，所以，在實(shí)施類比推理教學(xué)法的過程中，教師應(yīng)考慮教學(xué)目標(biāo)與類比推理教學(xué)法之間的契合性，應(yīng)將高中數(shù)學(xué)教學(xué)作為基礎(chǔ)，分析學(xué)生的實(shí)際情況，并在制訂教學(xué)目標(biāo)的過程中明確該階段的教學(xué)目標(biāo)是否可以應(yīng)用類比推理教學(xué)法，從而在提高學(xué)生類比推理應(yīng)用能力的基礎(chǔ)上保證了各個(gè)階段教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成.現(xiàn)代教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重于教學(xué)任務(wù)和教學(xué)目標(biāo)的導(dǎo)向性.在有限的時(shí)間內(nèi)，教師需要為學(xué)生傳輸?shù)闹R(shí)量較多.所以，教師應(yīng)提高課堂教學(xué)的駕馭能力，通過充分的課前準(zhǔn)備，在最為合適的教學(xué)環(huán)節(jié)中應(yīng)用類比推理教學(xué)法將知識(shí)點(diǎn)逐一展現(xiàn)給學(xué)生，結(jié)合教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)任務(wù)為學(xué)生設(shè)置行之有效的類比推理?xiàng)l件，也可以通過復(fù)習(xí)提綱引導(dǎo)學(xué)生從舊知識(shí)的學(xué)習(xí)類比遷移到新知識(shí)的學(xué)習(xí)，繼而順利達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)和教學(xué)目標(biāo).

2.注重教學(xué)的過程性

如果將數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程界定為是教師、學(xué)生思維活動(dòng)的過程，那么，在課堂教學(xué)中，教師若讓學(xué)生認(rèn)知到思維活動(dòng)的過程，則有助于培養(yǎng)其數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，鍛煉其數(shù)學(xué)思維能力.在類比教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師可側(cè)重于將自己的思維展現(xiàn)給學(xué)生，在教授新知識(shí)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生對舊知識(shí)體系進(jìn)行回憶，使學(xué)生能夠自主找出舊知識(shí)與新知識(shí)之間的相似之處，并進(jìn)行猜想，從而為學(xué)生研究和探索新知識(shí)奠定良好的基礎(chǔ).而后，教師可應(yīng)用多媒體教學(xué)工具或以傳統(tǒng)的板書形式與學(xué)生共同證明猜想，這一教學(xué)過程所強(qiáng)調(diào)的是思維活動(dòng).在每一個(gè)思維活動(dòng)初始階段，教師都應(yīng)將一個(gè)與課堂教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題，貫穿于整個(gè)思維活動(dòng)中，并幫助學(xué)生找出類比條件，從而做到在培養(yǎng)學(xué)生思維能力的基礎(chǔ)上，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、應(yīng)用類比推理、解決問題的能力都得到一定程度的提升.

3.注重教學(xué)主體的參與性

在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生是類比推理的參與者和主體，所以，類比推理教學(xué)法的應(yīng)用也應(yīng)側(cè)重于主體的參與性和主體的地位.在課堂教學(xué)中，教師不僅要維持一個(gè)良好和諧的師生交互氛圍，鼓勵(lì)主體參與提問、參與問題的解決，還要將類比推理恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用于教學(xué)環(huán)節(jié)中去.當(dāng)代課堂教學(xué)已經(jīng)不是教師演講的模式.教師可以在實(shí)施類比推理教學(xué)法的過程中控制實(shí)施的深度、廣度，給予學(xué)生更多的體驗(yàn)機(jī)會(huì)、參與機(jī)會(huì)和自主學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，從而潛移默化地幫助學(xué)生形成一個(gè)完整的知識(shí)體系.

四、利用結(jié)構(gòu)相似性進(jìn)行類比推理教學(xué)

高中數(shù)學(xué)類比推理教學(xué)中結(jié)構(gòu)相似性具備廣泛的應(yīng)用性.筆者從數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個(gè)方面展開分析.

1.數(shù)學(xué)公式類比推理教學(xué)中結(jié)構(gòu)相似性的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)各個(gè)年級(jí)段的數(shù)學(xué)公式較多，學(xué)生在記憶數(shù)學(xué)公式的過程中大多應(yīng)用死記硬背的方式，所以出現(xiàn)了不愿意記憶和背誦，且記憶較為吃力的情況，同時(shí)，對于一些較為抽象的公式而言，記憶數(shù)學(xué)公式的難度也隨之增加.教師雖然在課堂教學(xué)中為學(xué)生演示了某一個(gè)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程，但是對于學(xué)生而言，公式的掌握和理解程度仍未達(dá)到一個(gè)理想的狀態(tài).由這一現(xiàn)狀我們可以明確，學(xué)生在學(xué)習(xí)和記憶數(shù)學(xué)公式的環(huán)節(jié)中處于一個(gè)被動(dòng)的狀態(tài).基于新課程改革對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出的要求，筆者以柱體體積的運(yùn)算為例，從以下三個(gè)環(huán)節(jié)展開分析.

第一，準(zhǔn)備程序

教師在開展教育教學(xué)之前，先引導(dǎo)學(xué)生在自己的知識(shí)體系中找出可以類比的源問題.為保證這一環(huán)節(jié)順利進(jìn)行，教師可以基于教學(xué)任務(wù)設(shè)計(jì)教學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生的思維邏輯，例如“同學(xué)們，誰還記得長方體體積的計(jì)算公式？”此環(huán)節(jié)中，為了給學(xué)生更為直觀的感受，教師可以利用PPT輔助學(xué)生回顧舊知識(shí).

第二，實(shí)施程序

在此環(huán)節(jié)中，教師可以利用手中現(xiàn)有的教學(xué)工具，如書籍，給予學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、親身體驗(yàn)的一個(gè)機(jī)會(huì).教師引導(dǎo)學(xué)生選擇大小一致的書籍，將其分兩摞摞起來擺正，而后讓學(xué)生將其中一摞書籍呈一定的斜度放置，如圖1所示，再引導(dǎo)學(xué)生觀察兩摞書籍的體積，并將兩摞書籍的體積作為教學(xué)問題進(jìn)行教學(xué)設(shè)問：“在柱體體積的計(jì)算環(huán)節(jié)中，我們是否可以應(yīng)用長方體的體積計(jì)算公式：底面積×高？”

第三，驗(yàn)證類比結(jié)論

學(xué)生通過教師的引導(dǎo)借助長方體體積計(jì)算公式的類比方法得出了柱體體積的計(jì)算公式.在結(jié)束實(shí)踐環(huán)節(jié)后，教師應(yīng)與學(xué)生共同證明所得出的類比結(jié)論.

2.數(shù)學(xué)運(yùn)算類比推理教學(xué)中結(jié)構(gòu)相似性的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)中的運(yùn)算與運(yùn)算規(guī)律的結(jié)構(gòu)都存在一定的相似性，可以將其認(rèn)為“相同”中存在“差異”.那么，在學(xué)習(xí)新知的環(huán)節(jié)中，教師可以利用這種結(jié)構(gòu)相似性開展類比教學(xué)，使學(xué)生更易于接受新的知識(shí)，提高學(xué)生記憶新知識(shí)的靈活性.在數(shù)學(xué)運(yùn)算類比推理教學(xué)中，筆者以概率事件的關(guān)系和運(yùn)算為例，從以下三個(gè)方面展開分析.

第一，準(zhǔn)備程序

教師依然將其設(shè)計(jì)為教學(xué)提問的形式，引導(dǎo)學(xué)生找到能夠進(jìn)行類比推理的源問題，并進(jìn)行教學(xué)設(shè)問：“現(xiàn)在，同學(xué)們總結(jié)一下集合之間存在哪些關(guān)系，哪幾種運(yùn)算形式，哪些優(yōu)點(diǎn)……”

第二，實(shí)施程序

教師可以將事件B包含事件A作為導(dǎo)入新課的教學(xué)舉例，并引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用韋恩圖對集合之間的關(guān)系進(jìn)行研究，類比事件之間所存在的關(guān)系.而后，教師繼續(xù)教學(xué)提問：“集合中的空集與事件相對應(yīng)的是什么？集合中A=B的條件是什么？類比過程是否能夠找到集合與事件之間相對應(yīng)的關(guān)系？”

第三，驗(yàn)證類比結(jié)論

驗(yàn)證環(huán)節(jié)中，教師將學(xué)生所獲得的結(jié)論以板書的形式逐步類比推導(dǎo)，在加深學(xué)生印象的基礎(chǔ)上，提高了學(xué)生的類推能力.

結(jié)束語

綜上所述，筆者主要從類比推理的類比角度分析了類比推理在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，類比推理教學(xué)法的應(yīng)用還可以利用性質(zhì)相似性、研究方法相似性等展開課堂教學(xué).無論是結(jié)構(gòu)、性質(zhì)還是研究方法，其都有一定的共同點(diǎn).本文強(qiáng)調(diào)在實(shí)施類比推理教學(xué)法的過程中，將“共同”作為基礎(chǔ)，將“共同之中的差異”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和加工，逐步引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類推法驗(yàn)證和推理出新的知識(shí).對于學(xué)生而言推導(dǎo)過程即是學(xué)生的認(rèn)知過程.要想實(shí)現(xiàn)類比推理作用的全面發(fā)揮，還需要教師提升對類比推理的認(rèn)知，將提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力作為教育教學(xué)開展的一個(gè)目標(biāo).

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