申曉華

[摘? 要] 解析幾何問題的教學(xué)需要重視過程引導(dǎo)、教學(xué)反思，幫助學(xué)生掌握解題思路的構(gòu)建過程，積累相應(yīng)的解題經(jīng)驗(yàn)，形成類型問題的解題策略. 文章將以一道解析幾何綜合題為例，開展過程講評(píng)、教學(xué)重點(diǎn)探討，并探究教學(xué)微設(shè)計(jì)，提出相應(yīng)的教學(xué)建議，與讀者交流.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;教學(xué);定點(diǎn);向量積;過程;思維

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，高考常以其為基礎(chǔ)命制綜合題考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，運(yùn)算和推理能力. 解析幾何問題的求解過程需要用全面的、聯(lián)系的觀點(diǎn)來處理，整體把握問題、構(gòu)建解題思路規(guī)范作答. 往往學(xué)生規(guī)避解題障礙，處理關(guān)鍵點(diǎn)的能力有所欠缺，因此在教學(xué)中需要教師注意解題引導(dǎo)，重視回顧反思. 下面以一道解析幾何定點(diǎn)問題為例，進(jìn)行解題教學(xué)探討.

■解析幾何綜合題的講評(píng)過程

1. 問題呈現(xiàn)

（2020屆湖北高三教研卷）如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C1：■+■=1（a>b>0，y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成. 已知曲線C1和C2的公共點(diǎn)為A，B，橢圓C1的離心率為■，回答下列問題：

（1）試求a和b的值;

（2）直線l過點(diǎn)B，與曲線C1和C2的交點(diǎn)分別為P，Q（兩點(diǎn)均異于A，B），分析是否存在直線l，使得以PQ為直徑的圓恰好過點(diǎn)A？如果存在，請(qǐng)求出直線l的方程;如果不存在，請(qǐng)說明理由.

2. 講評(píng)過程

考點(diǎn)定位：?jiǎn)栴}主要考查圓錐曲線內(nèi)容，涉及橢圓、拋物線、直線相交、圓等. 第一問為常規(guī)的解析式求解，第二問為解析幾何定點(diǎn)問題.

思路及過程：

（1）該問可根據(jù)頂點(diǎn)定義求解，在C2的方程中，令y=0，即可確定b的值及A和B的坐標(biāo)，聯(lián)合離心率及參數(shù)關(guān)系即可求出a的值.

對(duì)于C2的方程y=-x2+1（y≤0），令y=0，可得x=±1，則b=1，點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別為（-1，0）和（1，0）. 設(shè)C1的半焦距為c，由橢圓的離心率■=■，又a2-c2=b2=1，可解得a=2. 綜上可知，a=2，b=1.

（2）該問分析以PQ為直徑的圓是否恰好過點(diǎn)A，采用“假設(shè)→驗(yàn)證”的策略. 假設(shè)這樣的圓過點(diǎn)A，則點(diǎn)A位于以PQ為直徑的圓上，結(jié)合圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角可知AP⊥AQ，再根據(jù)垂直與向量積的關(guān)系可知■·■=0，后續(xù)聯(lián)立橢圓與直線的方程，通過“舍而不求”求得直線PQ的斜率即可.

由（1）問可知，上半橢圓C1的方程為■+x2=1（y≥0）. 由題意可知，直線l不與x軸重合或垂直，可設(shè)其斜率為k，則表達(dá)式為y=k（x-1） （k≠0），與橢圓的方程聯(lián)立■+x2=1，y=k（x-1），？搖整理可得（k2+4）x2-2k2x+k2-4=0 ①. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp），由于點(diǎn)B是橢圓與直線l的一個(gè)交點(diǎn)，故x=1是方程①的一個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可解得xp=■，則yp=■，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為■，■. 聯(lián)立直線l與拋物線的方程，同理可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-k-1，-k2-2k），所以向量■=■（k，-4），■= -k（1，k+2）. 因?yàn)锳P⊥AQ，則■·■=0，即■[k-4（k+2）]=0. 因?yàn)閗≠0，所以k-4（k+2）=0，解得k=-■. 經(jīng)驗(yàn)證，k=-■符合題意，所以直線l的方程為y= -■（x-1）.

■解析幾何問題的教學(xué)重點(diǎn)

上述所呈現(xiàn)的是一道解析幾何問題的講評(píng)過程，在實(shí)際解題過程中需要及時(shí)提示學(xué)生問題中的解題障礙，引導(dǎo)學(xué)生處理問題難點(diǎn). 例題第二問的探究過定點(diǎn)是核心之問，教學(xué)中要注意以下內(nèi)容.

1. 障礙提示

第二問實(shí)則就是曲線與直線的相交問題，一般采用聯(lián)立方程的方式解析，解題教學(xué)中需要對(duì)其中的三點(diǎn)障礙做出提示：①點(diǎn)P和點(diǎn)Q是關(guān)鍵點(diǎn)，需要分別聯(lián)立直線l與橢圓、拋物線的方程來獲得其坐標(biāo)，常用方法是“設(shè)而不求”，但若不能注意到點(diǎn)B坐標(biāo)的x值是對(duì)應(yīng)聯(lián)立方程的一個(gè)根，而直接利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化則會(huì)增大計(jì)算量;②該問是探究以PQ為直徑的圓恰好過點(diǎn)A，解題教學(xué)需要提示學(xué)生從中轉(zhuǎn)化出對(duì)應(yīng)的幾何條件AP⊥AQ;③后續(xù)需要串聯(lián)起幾何條件與函數(shù)解析式，故教學(xué)中需提示學(xué)生由■·■=0來體現(xiàn)條件AP⊥AQ，避免陷入推理誤區(qū)，造成運(yùn)算繁雜且重復(fù).

2. 關(guān)鍵點(diǎn)處理

解析幾何綜合題的推理過程存在一定的難度，對(duì)于上述探究論證性問題，一般采用假設(shè)驗(yàn)證的策略，但在教學(xué)中還需引導(dǎo)學(xué)生分析問題的關(guān)鍵點(diǎn)，采用合理的方法處理. 第二問中主要有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要處理，具體如下：①求解直線l的方程，但沒有設(shè)定直線的斜率，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生討論直線的斜率，排除直線l與x軸重合或垂直的情形，聯(lián)系點(diǎn)B的坐標(biāo)直接設(shè)定為y=k（x-1）;②求解時(shí)提取了兩線垂直，得到AP⊥AQ，而條件坐標(biāo)化的關(guān)鍵是對(duì)其幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化，教學(xué)中可引入向量積為零，從而聯(lián)系曲線相交所確定的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo).

■基于解析幾何問題的教學(xué)微設(shè)計(jì)

解析幾何問題的綜合性極強(qiáng)，以上述問題為例，需要處理其中的幾大關(guān)鍵點(diǎn)，包括討論直線l的斜率、轉(zhuǎn)化兩線垂直條件、變形為向量積等，但學(xué)生理解時(shí)依然存在一定的難度. 為幫助學(xué)生構(gòu)建解析思維，有必要對(duì)問題進(jìn)行拆解轉(zhuǎn)化，采用教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，合理設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生思考，同時(shí)合理變形，提升學(xué)生的思維.

環(huán)節(jié)一：基礎(chǔ)鞏固，理解題意

問題：如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C1：■+x2=1（y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，已知曲線C1和C2的公共點(diǎn)為A，B.

設(shè)問：（1）試求上半軸橢圓C1的離心率;（2）試求點(diǎn)A，B的坐標(biāo).

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的基本概念，強(qiáng)化離心率的定義，從橢圓方程和拋物線方程兩大方向求解點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，點(diǎn)A，B既為橢圓的左、右頂點(diǎn)，也為拋物線與x軸的交點(diǎn).

環(huán)節(jié)二：拾級(jí)而上，問題深入

在環(huán)節(jié)一的基礎(chǔ)上，添加如下條件：過點(diǎn)B的直線l與曲線C相交于點(diǎn)P，Q（兩點(diǎn)均異于A，B）.

設(shè)問：（1）討論直線l的斜率是否存在;（2）若直線l的斜率為k，用含k的參數(shù)表示點(diǎn)P，Q的坐標(biāo).

教學(xué)引導(dǎo)：（1）直線l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，且異于A，B，顯然其斜率k≠0;若其斜率不存在，則直線l垂直于x軸，與曲線的交點(diǎn)不滿足條件，顯然其斜率必然存在，且不與x軸重合或垂直. （2）引導(dǎo)學(xué)生設(shè)定直線l：y=k（x-1） （k≠0），分別聯(lián)立直線l與曲線C1，C2的方程，并整理出含參數(shù)k的關(guān)于x的一元二次方程，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意點(diǎn)B坐標(biāo)的x值為對(duì)應(yīng)聯(lián)立方程的一個(gè)解，從而簡(jiǎn)化求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo).

環(huán)節(jié)三：深入探究，定點(diǎn)論證

在上述基礎(chǔ)上進(jìn)行定點(diǎn)問題探究論證，進(jìn)行如下設(shè)問：分析以PQ長(zhǎng)為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)A，若經(jīng)過請(qǐng)求出k的值.

教學(xué)引導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生從中提取出AP⊥AQ，并結(jié)合向量轉(zhuǎn)化為■·■=0，從而代入點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)建相應(yīng)的方程，求解并驗(yàn)證k的值.

環(huán)節(jié)四：拓展變式，思維提升

完成上述環(huán)節(jié)探究后，學(xué)生對(duì)解題過程有了初步的了解，基本掌握了相應(yīng)的解法，則教學(xué)中有必要對(duì)其適度拓展，提升學(xué)生的思維.

變式問題：如圖1所示，曲線C是由上半軸橢圓C■：■+x2=1（y≥0）和部分拋物線C2：y=-x2+1（y≤0）連接而成，已知曲線C1和C2的公共點(diǎn)為A，B. 直線l過點(diǎn)B，與曲線C1和C2的交點(diǎn)分別為P，Q（兩點(diǎn)均異于A，B），試分析△APQ的面積為6時(shí)，直線l的方程.

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建△APQ的面積模型，利用x軸將其分割為△ABP和△ABQ兩部分，構(gòu)建模型S△APQ=S△ABP+S△ABQ=■OB·yP-yQ=6，從而將其轉(zhuǎn)化為含有k的方程，完成求解.

■關(guān)于解題教學(xué)的進(jìn)一步思考

1. 注重過程引導(dǎo)，基礎(chǔ)強(qiáng)化鞏固

解題教學(xué)實(shí)則就是過程教學(xué)，需要從讀題出發(fā)，形成相應(yīng)的解題思路，故教學(xué)中需要注重解題的讀題審題、條件轉(zhuǎn)化、運(yùn)算推理、結(jié)果驗(yàn)證等過程，學(xué)生在理解分析過程后才能充分掌握考題的構(gòu)建思路. 往往解析幾何問題所涉及的知識(shí)內(nèi)容較多，在過程教學(xué)中要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧概念定義，從教材內(nèi)容出發(fā)來探究問題，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用;同時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合考題歸納常見考點(diǎn)，整合教材知識(shí)，形成基本備考策略.

2. 重視解后反思，拓展解題思維

解后反思是解題教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，在該環(huán)節(jié)中需要引導(dǎo)學(xué)生反思問題特點(diǎn)、解題方法、突破關(guān)鍵、過程優(yōu)化，從而形成類型問題的解題策略;同時(shí)適度變式問題，引導(dǎo)學(xué)生思考可能存在的變式方向，拓展學(xué)生的解題思維. 通過重新回顧考題，學(xué)生的思維將從基本的“表象解題”上升到深層的“思想解題”，從而從思想層面提升學(xué)生的解題能力. 解后反思教學(xué)環(huán)節(jié)可靈活設(shè)計(jì)，可借助教學(xué)微設(shè)計(jì)、一題多題、一題多變等形式開展，使學(xué)生的思維在多樣的探究活動(dòng)中獲得升華.