平行“邂逅”翻折

蔡雨婷

幾何世界里，翻折帶來了角的平分，平行帶來了同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，當它們“邂逅”了，會擦出什么火花呢？我們以題為媒，管中窺豹，

如圖1.長方形ABCD沿著折痕EF翻折，點A，B的對應(yīng)點分別為點A和B，已知∠FED=65°，求∠CFB的大小.

此題我們可以這樣思考：在長方形ABCD中，有AD//BC，所以∠BFE= ∠FED=65°，又因為翻折，即FE平分∠BFB，所以∠BFB=2 ∠BFE=2x65°=130°.所以∠CFB'=50°.

此解法中，我們用到了平行線以及角平分線的性質(zhì)，這兩個幾何知識互相關(guān)聯(lián)，通過平行，可知內(nèi)錯角相等;通過翻折，可推得角平分，巧妙地實現(xiàn)了角的轉(zhuǎn)化，

當然，此題只解到這兒，那就太可惜了，若已知∠FED=65°，其他條件不變，能否求出此圖中的其他角（如∠A'EG）呢？

解法1：如圖2，過點B作MN//BC，則MN//AD，∠CFB'= ∠MB'F=50°.因為∠FB'G=∠ABF=90°，所以∠MBG=40°.所以∠DGB=40°.又因為∠A=90°，所以∠A'EG=50°.

解法2：因為∠FED=65°，所以∠AEF=115°.又因為翻折，即∠A 'EF= ∠AEF=115°（這里的兩個鈍角相等是很多同學(xué)不曾關(guān)注至0的），所以∠A 'EG=∠A 'EF-∠FED=50°.

解題到這里，竟然發(fā)現(xiàn)∠A 'EG=∠B'FC，具有一般性嗎？定睛一看，發(fā)現(xiàn)圖中A'E//B'F，ED//FC，聯(lián)想到老師課堂上講到的一道習題：若兩個角的兩邊互相平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系是

（答案為“相等或互補”）.幾何真是奇妙啊，處處相關(guān)聯(lián)，時時有驚喜！我們根據(jù)已知條件，推導(dǎo)出了這么多角的度數(shù)，也不難發(fā)現(xiàn)，知道圖中某一個角的度數(shù)，就可以求出其他角的度數(shù)，也許這就是鄭老師口中的“知一求n”吧，后來，經(jīng)老師提點，我還編出了下面這道題給同學(xué)們?nèi)プ觯喝鐖D1，已知∠FEG=2 ∠A 'EG，其他條件不變，求∠BFC的大小，

因為題中沒有出現(xiàn)具體的角度，出現(xiàn)的只是角之間的數(shù)量關(guān)系，所以我們可以用方程思想去解決，不妨設(shè)∠A 'EG=x，則∠FEG=2x，因為翻折，所以∠AEF=∠A 'EG+∠FEG=x+2x=3x，所以∠AEG= ∠AEF+∠GEF=3x+2x=1800.解得x=360，所以∠BFC= ∠A 'EG=36°.看了解答之后，有沒有恍然大悟呢？將方程思想融入圖形，讓代數(shù)與幾何互聯(lián)，充分展現(xiàn)了圖中某些角之間的關(guān)聯(lián).

研究數(shù)學(xué)題就像一次旅行，我們不能只追求目的地的到達與否，沿途的風景也是美不勝收的.慢嚼才有積淀，細思方能悟道.

指導(dǎo)老師點評;此題中的角在平行和翻折的映襯下，確實密切關(guān)聯(lián)，此題也是初中階段幾何中的“知一求n”的典例，深入明一題，勝似做十題，將其研究通透，一定能受益良多.