類比探索求新知 自主歸納促提升

陳國琴

摘要：初中數(shù)學(xué)的類比思想方法是課堂教學(xué)過程中教師引導(dǎo)學(xué)生探究新知常用的思相方法，是幫助學(xué)生聯(lián)系新舊知識、解決問題、完善知識建構(gòu)的重要方法，也是開發(fā)學(xué)生思維、提高學(xué)生思考能力的重要形式。本文以《一元一次不等式（1）》為例，通過類比思想方法探究新知，以促進(jìn)學(xué)生自主歸納來體現(xiàn)類比思想的重要性。

關(guān)鍵詞：一元一次不等式;類比思想;自主歸納

J.S.布魯納認(rèn)為，掌握基本數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的“光明之路”。[2]類比思想是數(shù)學(xué)中一種解決問題的重要思想方法，能培養(yǎng)學(xué)生的自主歸納能力，能幫助學(xué)生從“學(xué)會”變成“會學(xué)”，是落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要方法。那么如何在課堂教學(xué)中更多的利用類比思想來提升學(xué)生能力呢？筆者以浙教版八年級《3.3 一元一次不等式（1）》第一課時為例，談?wù)剶?shù)學(xué)類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略。

一、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)解讀

（一）內(nèi)容解讀

浙教版數(shù)學(xué)八上內(nèi)容有不等式的概念與不等式的基本性質(zhì)，一元一次不等式與一元一次不等式組，和列一元一次不等式解應(yīng)用題。本章內(nèi)容作為初中階段數(shù)與代數(shù)中不等式的開始，是后續(xù)更深入學(xué)習(xí)不等式的證明和解法的重要著力點。眾所周知，現(xiàn)實世界里不但有數(shù)不清的等量關(guān)系，而且有著各式各樣的不等關(guān)系。不等式是用來表示不等關(guān)系的方法，與方程相同，不等式也是一種描述客觀世界必不可少的數(shù)學(xué)模型，它在生活和生產(chǎn)實際中有著廣泛的應(yīng)用。本章內(nèi)容之間的相互聯(lián)系可以用如下結(jié)構(gòu)框圖表示：

如上面的結(jié)構(gòu)框圖所示，本章第三課“一元一次不等式”在整個單元里是承上啟下的樞紐。學(xué)生雖然會利用不等式來描述客觀世界中不等數(shù)量關(guān)系以及知曉不等式的性質(zhì)，但學(xué)生不免會產(chǎn)生這樣的疑問“為什么要學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)？”不過第三課時的內(nèi)容恰好回答了學(xué)生的疑問，而且也讓學(xué)生明白解一元一次不等式的依據(jù)恰恰就是不等式的性質(zhì)，由此促使學(xué)生了解數(shù)學(xué)內(nèi)涵與素養(yǎng)，繼而提高課堂效率。

（二）目標(biāo)解讀

“3.3 一元一次不等式” ，可以這樣解讀：

2、這樣的數(shù)還有嗎？繼續(xù)列舉，如何表示這些數(shù)？

模仿、類比解答 解有關(guān)一元一次不等式 簡單的一元一次不等式

在數(shù)軸上表示不等式的解 掌握

根據(jù)課標(biāo)，本節(jié)課的學(xué)習(xí)重心如下：即學(xué)生能夠?qū)⑺o的各個不等式和一元一次方程作比較，用自己的語言得出一元一次不等式的特征：①兩邊都是整式;②只含有一個未知數(shù);③未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，從而得出一元一次不等式的概念并且理解“元”和“次”的含義;再以3x>30為例，列舉能使不等式成立的未知數(shù)的值，并嘗試用前面所學(xué)的不等式或數(shù)軸來表示這些未知數(shù)的值。這是本課的教學(xué)重點，也是難點。為什么是難點？因為不等式的解與方程的解有著較大的不同。在浙教版的教材中，不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體，是不等式解集的簡稱，因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數(shù)值的集合，這種形式的數(shù)學(xué)概念對學(xué)生來講是好懂卻十分抽象的。因此，除了類比遷移，還需通過判定、列舉、表達(dá)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解概念的本質(zhì);最后通過模仿一元一次方程的解法，類比得到一元一次不等式的解法，而且促使學(xué)生體會到解一元一次不等式中每一個步驟都是根據(jù)不等式的性質(zhì)，讓學(xué)生領(lǐng)悟算理和解題步驟是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要支撐。根據(jù)上述分析，本課學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定如下：

1.學(xué)生經(jīng)歷類比一元一次方程，理解一元一次不等式的概念;

2.學(xué)生能用不等式或數(shù)軸來表示3x>30的解，并理解一元一次不等式的解的概念;

3.學(xué)生會用不等式的基本性質(zhì)解簡單的一元一次不等式;

4.學(xué)生會在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解并且利用數(shù)軸解決特殊解問題。

5.使學(xué)生經(jīng)歷用類比遷移的過程，引發(fā)他們自主專研的興致，加強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

二、課堂教學(xué)實踐

（一）類比探索促數(shù)學(xué)概念生成

一元一次方程和一元一次不等式具備相關(guān)聯(lián)系，不過沒有構(gòu)成上、下位關(guān)系，因此課堂的關(guān)鍵是幫助學(xué)生尋找一元一次不等式與已有知識脈絡(luò)中的有關(guān)知識的生長點，通過類比一元一次方程的概念，從而歸納遷移獲取一元一次不等式的定義，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)里描述性定義的一種重要方法。

【復(fù)習(xí)交流 疑點反思】

出示：5x-3=7x+1

師：這個等式叫什么？什么叫一元一次方程？什么叫一元一次方程的解？你會解一元一次方程嗎？（絕大部分學(xué)生都能回答這幾個問題，而且還回顧了一元一次方程的三個特點：①兩邊都是整式②只含有一個未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)是1）

設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)概念，為后續(xù)的類比學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。

【聚焦概念 找尋關(guān)鍵】

幻燈片依次呈現(xiàn)三個不等式：5x-3≥7x+1;5x-3≤7x+1;5x-3>7x+1;

師：那這些式子叫什么？

生：一元一次不等式。

師：你們能不能“借用”一元一次方程的概念，來給一元一次不等式下個定義？

生：不等號的兩邊都是整式，而且只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是一次，這樣的不等式叫做一元一次不等式.

設(shè)計意圖：以學(xué)生觀察的方式，在過程中滲透類比思想，，發(fā)現(xiàn)一元一次不等式和一元一次方程是“同胞”兄弟，發(fā)現(xiàn)一元一次不等式的特征，形成一元一次不等式的概念。

【簡單應(yīng)用 方法反思】

幻燈片呈現(xiàn)六組數(shù)學(xué)式子，讓學(xué)生判斷哪些是一元一次不等式：

①2x+3>3y-1? ? ? ②x2+10≥16? ? ?③3/x>10

④ 3x=10? ? ? ? ? ?⑤3x>10? ? ? ? ?⑥

【合作學(xué)習(xí) 探究新知】

師：判斷當(dāng)x1=9，x2=10，x3=10.1時，哪些未知數(shù)的值能使3x=10成立？（學(xué)生答10）

幻燈片將方程3x=10切換成不等式3x>10

師：以上三個數(shù)，哪些能使3x>30成立？（學(xué)生答10.1，我將10.1寫到黑板上）

師：滿足這個一元一次不等式的x的值還有嗎？（此時有學(xué)生回答只要x>10就都滿足，我將x>10寫到黑板上）

師：也就是說x=9，x=9.8都不滿足這個一元一次不等式是嗎？（我將9，9.8也寫在黑板上）

師：也就是說x=10.5，x=11都滿足這個一元一次不等式是嗎？（學(xué)生答是的，并且表示對x>10這個“標(biāo)準(zhǔn)”答案的肯定，我將10.5，11也寫在黑板上）

對于3x>30這類簡單的不等式，學(xué)生根據(jù)實際生活經(jīng)驗，能夠輕易地得到正確的答案，但是前面提到過，不等式的解的定義是能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體，是不等式解集的簡稱，因此不等式的解實際上就是滿足不等式的所有數(shù)值的集合，這種形式的數(shù)學(xué)概念對學(xué)生來講是好懂卻十分抽象的。這也是我在磨課中遇到的一個難題，如何讓學(xué)生在已有的生活經(jīng)驗下，理解不等式解的概念，是本堂課要突破的一個難點。

師：像這樣的數(shù)舉得完嗎？（學(xué)生搖搖頭，表示舉不完，我將黑板上的三個數(shù)10.1，10.5，11三個數(shù)圈起來，如下圖）

師：我們舉不完，那么老師畫了一個圈，把這些數(shù)都圈起來，你們認(rèn)為圈圈表示的數(shù)是什么？（學(xué)生答10）

師：除了老師的這種方法，以及你們剛剛提到過x>10的方法來表示這些舉不完的數(shù)以外，我們還學(xué)過哪類數(shù)學(xué)方法能表示這些數(shù)。（有學(xué)生答數(shù)軸）

師：很好，那我們一起來用數(shù)軸表示，你們說步驟，老師來畫。

生：第一步先畫數(shù)軸;第二步在10的點上畫空心圓;第三步方向朝右邊;

師：看來大家對前面的知識掌握的不錯，而且還能運(yùn)用已學(xué)的知識來解決剛剛的問題，那么，這三種表示方法，你更喜歡哪一種呢？（學(xué)生都表示是x>10更方便，簡潔）

師：像x>10這樣的我們叫做一元一次不等式解的形式，是我們解一元一次不等式要達(dá)到的最終要求。

那么什么是一元一次不等式的解呢？

生：能使不等式成立的未知數(shù)的值的全體稱為不等式的解集，簡稱為不等式的解。

設(shè)計意圖：以類比與思考的方法，使學(xué)生理解一元一次不等式的解通常有無數(shù)個，掌握不等式的解的概念。另外，設(shè)計并提出符合學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平的相關(guān)課堂追問，讓學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與課堂探究內(nèi)容產(chǎn)生沖突，因而激發(fā)學(xué)生的求知欲，也將探究不等式的解法做了鋪墊。

（二）類比探索促解題方法生成

通過前面幾個環(huán)節(jié)對一元一次不等式的概念和不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)進(jìn)一步理解領(lǐng)悟了類比思想，所以，在一元一次不等式解法的教學(xué)中，筆者激發(fā)學(xué)生主動應(yīng)用類比思想直接從解一元一次方程的五個步驟（求分母、去括號、移項、合并同類型、系數(shù)化1）遷移歸納了一元一次不等式的解法，因而體驗了探究數(shù)學(xué)問題中由通性求通解的代數(shù)思想。

【嘗試解疑 問題反思】

幻燈片呈現(xiàn)三個不等式，讓學(xué)生嘗試去解并且把解表示在數(shù)軸上。

①4x<10? ? ? ? ②-3x/5>1.2? ? ? ?③x+1≥3

（教師巡視， 2分鐘左右時幾乎所有學(xué)生均已完成任務(wù)。）

師：你們覺得解不等式難嗎？（學(xué)生表示不難）

生：和解方程差不多。

師：那解不等式的過程中你們用到了哪些性質(zhì)呢？

生：不等式的基本性質(zhì)（板書：（1）解不等式就是利用不等式的基本性質(zhì)。）

師：很好，剛才同學(xué)們說的“差不多”，實際上是說出了方程和不等式有某些相同或類似的屬性。譬如：方程的概念和不等式的概念有某些相同或類似，等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)也有某些相同或類似，實際上，大家已經(jīng)運(yùn)用了類比的方法來學(xué)習(xí)不等式。

那么等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)有哪里不同？

在解不等式的過程中我們要注意什么？

生：等式兩邊都乘以或都除以同一個的數(shù)或式（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。

不等式的兩邊都乘或都除以同一個正數(shù)時，不等號的方向不變;

不等式的兩邊都乘或都除以同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變。（板書：（2）兩邊同乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變。）

師：在解不等式的過程中，除了要注意剛剛我們說的除以負(fù)數(shù)，不等號方向要改變以外，解不等式時，移項法則同樣適用。即：移項時項的符號要改變，不等號的方向不變。（板書）

【例題學(xué)習(xí) 應(yīng)用反思】

幻燈片呈現(xiàn)問題。

例1解不等式7x-2≤9x+3，并反解表示在數(shù)軸上。

師：并求出不等式的負(fù)整數(shù)解。

（教師巡視， 2分鐘左右時幾乎所有學(xué)生均已完成任務(wù)，并請三位同學(xué)將各自的答案在黑板上板演）

師：你們認(rèn)可哪位同學(xué)的做法？其他兩位同學(xué)錯誤的原因你們覺得是什么？

生：沒有畫數(shù)軸。

師：很好，因此我們在求一元一次不等式的特殊解時，一定要借助數(shù)軸這個重要的工具幫助我們理解和分析。

【顆粒歸倉 總結(jié)反思】

三、反思

波利亞指出：沒有類比，在初等數(shù)學(xué)或高等數(shù)學(xué)中就不會有發(fā)現(xiàn)，其他學(xué)科中也不會出成果。[黃旭、劉云.類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018：35-38.]實際上，學(xué)生學(xué)習(xí)知識的重要資源是課本，發(fā)生遷移的主要載體是知識，教師是知識的傳授者，是課堂的引領(lǐng)者，合理規(guī)劃教學(xué)進(jìn)度，縮小學(xué)生與教材之間的差異，所以筆者從數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)解題、數(shù)學(xué)思想方法的三個視域初步探究學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中的有效形式，實際上在課堂教學(xué)過程中依舊受許多因素的影響，間接、甚至直接影響課堂學(xué)習(xí)。

（一）類比應(yīng)用

本課的特別之處有兩點：1.通過元認(rèn)知問題的設(shè)計和問答來啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生主動地運(yùn)用類比來研究一元一次不等式的概念和解法，并通過追問，讓學(xué)生說出運(yùn)用類比的方法來研究一元一次不等式的思考過程。讓學(xué)生從親身經(jīng)歷的探索思考過程中獲得對類比方法的體驗，過程中，學(xué)生不但領(lǐng)悟到類比方法的運(yùn)用，而且使類比的方法深深地印在他們的腦海中，久而久之，學(xué)生就會靈活應(yīng)用類比的方法來研究問題。

（二）再教設(shè)計

如果重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，筆考會給學(xué)生留出更大的思考空間，讓他們在探索和碰撞下對類比的學(xué)習(xí)方法產(chǎn)生更深的印象，其次，充分利用“手機(jī)同屏”這類輔助教學(xué)工具，幫助學(xué)生理解和比較解題方法。

參考文獻(xiàn)

[1]費(fèi)曉芳.基于初中數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法的概念教學(xué)設(shè)計——“一元一次不等式”的設(shè)計[J] .上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2017：94-97.

[2]米萌.新課標(biāo)下中學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知中的遷移研究[D] .延安大學(xué)，2011.

[3]黃旭、劉云.類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用*——以“分式的加減第一課時”為例[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018：35-38.