例析破解三棱錐外接球問題的六種方法

廣東省佛山市南海區(qū)黃岐高級中學(xué)

廣東省廣州市廣東華僑中學(xué)(510000) 楊 墁

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的主要素材,也是高考考察的重點內(nèi)容,而三棱錐作為空間中最簡單的多面體,一直備受命題者的青睞,尤其是以三棱錐為載體求外接球的表面積和體積等問題,這類題目抽象,解法靈活多變,對學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及運算求解能力要求較高,常令許多學(xué)生陷入困境.本文結(jié)合實例,根據(jù)實際問題中三棱錐的特點,談?wù)劷鉀Q三棱錐外接球半徑的幾種方法,以期對一線教師的教學(xué)提供參考.

方法一 利用長方體求三棱錐外接球半徑

根據(jù)球的幾何性質(zhì),到幾何體各個頂點距離相等的點即為其外接球球心,因此,長方體的兩條體對角線交點即為其外接球球心,體對角線長即為其外接球直徑,設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,則其外接球半徑若三棱錐的各個頂點與長方體的頂點重合,則他們的外接球相同,故可利用長方體求三棱錐外接球半徑.此類三棱錐大體上可以分為三類:墻角三棱錐、鱉臑、對棱相等型.

(一)墻角三棱錐有共端點的三條側(cè)棱兩兩垂直,這樣的三棱錐看起來像一個墻角,它具有長方體一個“角”的幾何特征,我們可將其放置于長方體中進(jìn)行研究.

例1(2019年高考全國Ⅰ卷理科) 已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為( )

圖1

圖2

解如圖1所示,由題意知設(shè)PA=PB=PC=a,則由極化恒等式[1]得由向量的數(shù)量積定義及余弦 定理得由以上兩式得因為∠CEF=90°,所以CE2+EF2=CF2,即解得故由勾股定理逆定理可得PA,PB,PC兩兩垂直,由此可以以PA,PB,PC為棱構(gòu)造正方體(如圖2所示),三棱錐P - ABC的外接球與正方體的外接球相同,故外接球的半徑r=體積為選D.

(二)鱉臑有一個面是直角三角形,有一條棱與此面垂直,且垂足為此直角三角形的一個銳角頂點,《九章算術(shù)》中將這樣的三棱錐稱之為鱉臑.

例2(2008年高考浙江卷理科) 已知球O表面上的四點A,B,C,D,DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=則球O的體積等于____.

解因為AB⊥BC,DA⊥平面ABC,所以可將此三棱錐放置于長方體中(如圖3所示),故此三棱錐的外接球與此長方體的外接球相同,則球O的半徑體積

圖3

(三)對棱相等型如果一個三棱錐的三對對棱長度分別相等,則可將其置于長方體中,使其四個頂點分別位于長方體的頂點上,六條棱分別位于長方體的六個面對角線上.

例3在三棱錐S-ABC中,則三棱錐的外接球的表面積為____

圖4

解因為SA=BC,SB=AC,SC=AB,所以可將此三棱錐置于長方體中,使得S,A,B,C四點分別位于長方體的頂點上,如圖4所示.

設(shè)此長方體的長寬高分別為a,b,c,則三式相加并化簡得a2+b2+c2=14,故三棱錐的外接球半徑為其外接球表面積S=4πr2=14π.

評注由上面幾道例題可知,當(dāng)一個幾何體的幾何特征滿足另外一個幾何體的局部特征時,可以將陌生復(fù)雜的幾何體放到我們熟悉規(guī)則的幾何體中去研究,利用規(guī)則幾何體中的性質(zhì)規(guī)律來解決復(fù)雜幾何體的問題,從而化難為易.

方法二 利用直棱柱求三棱錐外接球的半徑

如圖5所示,在直三棱柱ABC -A1B1C1中,O1,O2分別為ΔABC,ΔA1B1C1的外心,點O為O1O2的中點,則利用全等三角形的性質(zhì)易證O到直三棱柱各個頂點的距離都相等,故O點為直三棱柱的外接球球心,設(shè)ΔABC的外接圓半徑為r,直三棱柱的高為h,則外接球半徑

圖5

對于側(cè)棱垂直于底面的三棱錐,可將其放置于一個直三棱柱中,使得三棱錐的各個頂點與直三棱柱的頂點重合,因而他們的外接球相同,故可利用直三棱柱的外接球半徑公式求出三棱錐的外接球半徑.

例4(2018年佛山一模理科) 在三棱錐P -ABC中,側(cè)面PAC⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=4,PA=則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為( )

A.24πB.28πC.32πD.36π

解由題意BA⊥面PAC,故可將該三棱錐放置于直三棱柱ACP -BC1P1(如圖6),利用它們的外接球相同求出三棱錐的外接球半徑.由余弦定理得則設(shè)ΔAPC的外接圓半徑為r,直三棱柱的高為h,由正弦定理得所以該三棱錐的外接球半徑其表面積為S=4πR2=36π,選D.

圖6

圖7

對應(yīng)練習(xí)(2017年廣州模擬理) 如圖7,網(wǎng)格上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三棱錐外接球的表面積為( )(選D)

方法三 利用空間直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式

當(dāng)三棱錐的外接球球心不好找時,可以考慮建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,先寫出三棱錐的各個頂點坐標(biāo)并設(shè)出球心坐標(biāo)和半徑,再根據(jù)球心到各個頂點的距離等于半徑這一性質(zhì),利用空間直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式建立方程組,從而解出球心坐標(biāo)和半徑.

例5(2018年佛山一模文科) 平面四邊形ABCD中,沿直線AC將ΔACD翻折,當(dāng)三棱錐D-ABC的體積取得最大時,該三棱錐的外接球表面積為____

解易知當(dāng)此三棱錐的體積取得最大時,必有面ABC⊥面ACD,作BO⊥AC垂足 為O,連接OD,則可證DO⊥面ABC,結(jié)合余弦定理可得AO=BO=DO=1,CO=3,以O(shè)為原點建立如圖8所示的坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,1).

圖8

設(shè)該三棱錐的外接球球心坐標(biāo)為(x,y,z),半徑為r,則根據(jù)球心到各個頂點的距離等于半徑,由空間直角坐標(biāo)系中兩點間的距離公式得x2+(y+1)2+z2=r2,(x-1)2+y2+z2=r2,x2+(y-3)2+z2=r2,x2+y2+(z-1)2=r2,聯(lián)立并解方程組得故該三棱錐的外接球表面積為S=4πr2=24π.

對應(yīng)練習(xí)三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,ΔPAC和ΔABC均為邊長為2的正三角形,則三棱錐P-ABC外接球的半徑為____.(答案是)

評注利用空間直角坐標(biāo)系的方法,將復(fù)雜的空間問題代數(shù)化,弱化了對空間想象能力的要求,避開了抽象的幾何推理,有效降低了求解難度,對空間想象能力較弱的學(xué)生來說不失為一種好方法.建系時要注意選擇適當(dāng)?shù)狞c作為坐標(biāo)原點,使得三棱錐盡可能多的頂點落在坐標(biāo)軸上,這樣可以減小后面解方程組的運算量.

方法四 利用兩個面的“中垂線”的交點定球心

類比平面中線段中垂線的定義,在空間中,過ΔABC的外心作平面ABC的垂線l,則l上任意一點到ΔABC的三個頂點的距離都相等,在此我們稱直線l為ΔABC的“中垂線”.

過三棱錐的底面作“中垂線”,則此“中垂線”上任意一點到底面三個頂點的距離都相等,再作其中一條側(cè)棱的中垂面,則此中垂面與前面那條“中垂線”有且只有一個交點,該點到三棱錐四個頂點的距離都相等,即為球心.因此任意一個三棱錐都有且只有一個外接球.

類比三角形外心的作圖方法,在三棱錐中,分別作其某兩個面的“中垂線”,根據(jù)上述分析可知,這兩條“中垂線”必交于一點O,且點O為外接球球心.球心一旦確定,問題往往便可迎刃而解.

例6已知在邊長為的菱形ABCD中,∠A=60°,現(xiàn)沿對角線BD折起,使得二面角A-BD-C為120°,此時點A,B,C,D在同一個球面上,則該球的表面積為( )

A.20πB.24πC.28πD.32π

解由題意知ΔABD,ΔBCD為等邊三角形,如圖9所示,取BD的中點E,連接AE,CE,則AE⊥BD,CE⊥BD,故∠AEC=120°,易知ΔABD,ΔBCD的外心O1,O2在AE,CE上,且過O1,O2分別作面ABD,面BCD的垂線,則垂線交點O即為所求外接球的球心,由對稱性可知∠OEO1=∠OEO2=60°,在RtΔOEO1中,OO1=O1Etan 600=所以該球的表面積S=4πR2=28π.故答案為選項C.

圖9

對應(yīng)練習(xí)在四邊形ABCD中,ΔABD和ΔBCD都是等腰直角三角形,沿BD把ΔABD翻折起來,形成二面角A-BD -C,且其大小為此時A,B,C,D在同一球面上,則此球的體積為____．(答案是)

評注實際問題中,一般選擇側(cè)面是特殊三角形(如:直角三角形或等邊三角形)的面作“中垂線”,因為它們的外心比較容易確定,再根據(jù)兩條“中垂線”的交點確定球心位置,這樣可將空間問題化歸到平面上解決,從而突破難點.

方法五 利用雙半徑單交線長公式

如圖10,在三棱錐S-ABC中,面SAC垂直于面ABC,其交線長|AC|=l,ΔABC和ΔSAC的外接圓半徑分別為r1,r2,則三棱錐S -ABC的外接球半徑為

圖10

證明分別過ΔABC、ΔSAC的外心O1,O2作所在面的垂線,由前面的分析可知,兩垂線必交于一點O,且O為三棱錐S - ABC的外接球球心,取AC的中點P,連接PO1,PO2,AO1,AO2,AO,易證四邊形PO1OO2為矩形,所以

例7三棱錐S - ABC的各頂點都在同一球面上,AB=3,AC=5,BC=6,側(cè)面SAB為正三角形,且與底ABC垂直,則此球的表面積為____.

解由余弦定理則sin ∠ACB=設(shè)ΔABC,ΔSAB的外接圓半徑分別為r1,r2,由正弦定理得同理因為面SAB⊥面ABC,所以三棱錐S-ABC的外接球半徑表面積

對應(yīng)練習(xí)已知三棱錐A - BCD中,AD=BD=CD=2,∠BDA=∠CDA=120°,面ABD⊥面ACD,則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為____.(答案是28π)

評注對于有兩個面相互垂直的三棱錐,若這兩個面所在三角形的外接圓半徑可求且它們的交線長已知,則可利用這一公式迅速求出外接球半徑.

方法六 利用等側(cè)棱長公式

圖11

圖12

在過同一頂點的三條側(cè)棱都相等的三棱錐P -ABC中,PA=PB=PC,作PD⊥面ABC,垂足為D,由三角形全等可證D為ΔABC的外心,則三棱錐P -ABC的外接球球心必在線段PD或PD的延長線上(如圖11,圖12),設(shè)外接球半徑PO=AO=R,PD=h,ΔABC的外接圓半徑分別為r,則DO=|h - R|,在RtΔADO中AD2+DO2=AO2,即r2+|h - R|2=R2,解 得此公式適用于側(cè)棱長相等的棱錐,在此稱為“等側(cè)棱長公式”.

例8在三棱錐P -ABC中,若BA=BC=BP=則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為____.

解如圖13所示,在ΔABC中,由勾股定理可得故PA2+AC2=PC2,得∠PAC=90°,取PC的中 點D,則D為ΔPAC的外心,連接AD,BD,因為BA=BC=BP,所以BD⊥面APC,h-=BD=由于三棱錐P - ABC的三條側(cè)棱長都相等,所以其外接球的半徑表面積為

圖13

對應(yīng)練習(xí)(2019清華自主招生試題) 一個四面體的棱長分別為6,6,6,6,6,9,求外接球的半徑.(答案是21)

評注上述公式可以推廣到正n棱錐中:若正n棱錐的側(cè)棱長為l側(cè),高為h,則它的外接球半徑為