秦明山

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生的疑問(wèn)往往會(huì)讓數(shù)學(xué)課堂精彩紛呈。關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)除法中的“余數(shù)”問(wèn)題，筆者從一道錯(cuò)題入手，啟發(fā)學(xué)生探究，把握除法與余數(shù)的學(xué)習(xí)真諦。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);“余數(shù)”探秘;指引“真學(xué)”

解答小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)需要把握邏輯關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生探究，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在學(xué)習(xí)“兩、三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)”時(shí)，筆者因一道錯(cuò)題而引發(fā)學(xué)生疑惑，以此為教學(xué)突破口，從問(wèn)題探究中挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)潛能。

一、以不同的“余數(shù)”為辨析起點(diǎn)，引出除法意義的反思

對(duì)于108÷28，其正確的解法是108÷28=3……24。但有學(xué)生提出質(zhì)疑，認(rèn)為108÷28與108÷4÷7應(yīng)該相等的，但兩者的結(jié)果卻不同。前者的余數(shù)為“24”，而后者的余數(shù)為“6”。為什么？對(duì)于上述問(wèn)題，學(xué)生運(yùn)用“a÷b=a÷c÷d”（b=c×d）的公式進(jìn)行解答。顯然，“28”與“4×7”是相等的。但兩者的結(jié)果卻迥然不同。先看108÷28，其結(jié)果為3，余數(shù)為24，整個(gè)計(jì)算過(guò)程沒(méi)有錯(cuò)誤。同樣，對(duì)于108÷4÷7，其結(jié)果為“3”，余數(shù)為“6”，計(jì)算過(guò)程也是沒(méi)有錯(cuò)的。但兩者的“余數(shù)”為何不同？很多學(xué)生都將目光聚焦到“余數(shù)”上，認(rèn)為一定是“余數(shù)”出問(wèn)題了。有問(wèn)題，就要反思算理。在108÷28中，其結(jié)果與算理沒(méi)有異議。但在108÷4÷7中，其算理與前者是不同的。為了讓學(xué)生能夠清晰、準(zhǔn)確、明白的辨析兩種不同算理的差異性，我們先給學(xué)生自主思考、討論的空間，學(xué)生通過(guò)探究有了不同的發(fā)現(xiàn)。以108÷28為例，該題為三位數(shù)除以?xún)晌粩?shù)，既然是除法，就是要進(jìn)行平均分。對(duì)于108，我們平分108顆米粒，每份分28粒，最后分成了3份，還剩下24粒不夠分，所以余數(shù)為“24”。同樣，以108÷4÷7為例，重取108粒米，先分成4份，每份得到27粒，再將“27”分成7份，每份為3粒，還有“6”粒不夠分，所以余數(shù)為“6”。對(duì)比這兩種分法，很顯然，第一種分法，是將“108”看作“被除數(shù)”，得到的余數(shù)為“24”。而第二種分法，是將“27”作為“被除數(shù)”，得到的余數(shù)為“6”。所以，因?yàn)椤氨怀龜?shù)”的變化，“余數(shù)”也發(fā)生了變化。

二、圍繞“余數(shù)”問(wèn)題，展開(kāi)“真學(xué)”探究

從前面所討論的除法結(jié)果與余數(shù)問(wèn)題思考中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到了拓展，但為了更好地厘清數(shù)學(xué)思路，我們結(jié)合“余數(shù)”問(wèn)題展開(kāi)深入探究。前面的余數(shù)問(wèn)題，我們暫且稱(chēng)之為“大余數(shù)”與“小余數(shù)”。學(xué)生通過(guò)實(shí)踐認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)除法的算理變化。與之相關(guān)的其他數(shù)學(xué)除法還有很多。如252÷32=7……28與252÷4÷8=7……7;570÷35=16……10與570÷5÷7=16……2。觀察并分析這些除法算式，“大余數(shù)”是原來(lái)的被除數(shù)除以除數(shù)得到的。“小余數(shù)”則是對(duì)平分后的數(shù)再進(jìn)行第二次除法運(yùn)算得到的。以999÷12=83……3對(duì)照999÷3÷4=333÷4=83……1為例?！按笥鄶?shù)”為3，被除數(shù)是“999”，除數(shù)是“12”;“小除數(shù)”是將“333”作為被除數(shù)，余數(shù)為“1”。有學(xué)生提出質(zhì)疑，對(duì)于428÷63與428÷7÷9，在428÷7時(shí)，就產(chǎn)生了余數(shù)，這種情況還能繼續(xù)計(jì)算嗎？這種情形顯然是新問(wèn)題。我們重新結(jié)合分米實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生嘗試將“428”粒米先分成7份，得到每份為61，余數(shù)為1。接下來(lái)，對(duì)7個(gè)“61”按每“9”個(gè)一份進(jìn)行平分，得到“6”個(gè)9，余數(shù)為“7”。最后商為“6”，余數(shù)為“7×7+1=50”，這樣的答案，與428÷63的結(jié)果是一樣的。也就是說(shuō)，對(duì)于被除數(shù)與除數(shù)之間，分次除法，所用的“被除數(shù)”是第一次得到的“商”，余數(shù)可以放一邊，等到計(jì)算“大余數(shù)”時(shí)，一定要加上這個(gè)“小余數(shù)”。

三、鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)照算法，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

通過(guò)前面對(duì)“大余數(shù)”“小余數(shù)”問(wèn)題的探究，學(xué)生可以對(duì)兩種不同的算法比較優(yōu)劣與差異，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察力、思維力、運(yùn)算力。數(shù)學(xué)課堂上，對(duì)問(wèn)題的探究更有助于學(xué)生激活數(shù)學(xué)思維，深化對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解。接著，請(qǐng)同學(xué)們思考，哪種算法更簡(jiǎn)便？為什么？有學(xué)生認(rèn)為，列豎式計(jì)算比較好;有學(xué)生認(rèn)為，分開(kāi)計(jì)算更簡(jiǎn)便。結(jié)合對(duì)相關(guān)例題的解法對(duì)比，雖然學(xué)生都能夠理解兩種算法，但如何讓兩種計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為同樣的形式？如對(duì)于“108÷28”，可以直接寫(xiě)成3……24;也有學(xué)生認(rèn)為可以寫(xiě)成3……6×4。通過(guò)討論，同學(xué)們一致認(rèn)為，利用小數(shù)來(lái)表示最為合理。對(duì)于108÷28與108÷4÷7，在利用計(jì)算器計(jì)算后，結(jié)果都是相同的。也就是說(shuō)，對(duì)于不能分下去的“余數(shù)”，還可以繼續(xù)平分為“小數(shù)”。

總之，在本次課堂探究中，學(xué)生從一道錯(cuò)題認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)，獲得了真學(xué)，提升了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

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（責(zé)任編輯：朱福昌）