周 穎，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學 電氣工程學院，河南 洛陽 471023)

0 引 言

用于超聲波電機運動控制的迭代學習控制策略，表現(xiàn)出較好的控制性能。由于傳統(tǒng)迭代學習控制策略的復雜性相對較低，在超聲波電機產(chǎn)業(yè)化進程中有著良好的應用前景。超聲波電機具有明顯的非線性運行特征[1]，為改進控制性能，有必要考慮非線性迭代學習控制策略。

文獻[2]利用數(shù)值分析中的牛頓法，給出一種算法簡單的非線性迭代學習控制策略——牛頓學習律，并通過理論分析表明牛頓學習律具有比線性學習律更快的學習收斂速度。牛頓學習律源自牛頓法。在數(shù)值分析中，牛頓法用來求非線性方程的根，而用在控制系統(tǒng)中，則是求取使誤差為零的控制量值。即，牛頓學習律是用牛頓法來求解控制量-誤差關(guān)系方程這一特定的非線性方程。既然是同源的，牛頓學習律自然具有與牛頓法相同的基本特征，例如收斂性。牛頓法能夠收斂的必要條件是被求解方程的二階導數(shù)大于零，牛頓學習律也是如此。然而在以驅(qū)動頻率為控制量的情況下，超聲波電機控制量-誤差關(guān)系表達式的二階導數(shù)小于零。于是，采用牛頓學習律進行超聲波電機迭代學習控制時，需要采用牛頓下山法等措施以避免學習發(fā)散。在數(shù)學領(lǐng)域，為解決牛頓法這一固有缺陷，研究者進行了多種嘗試。文獻[3]利用李雅普諾夫方法，構(gòu)建同解方程來改變非線性方程二階導數(shù)的符號，構(gòu)造了一種改進牛頓法。本文基于該方法，結(jié)合同解方程和割線法構(gòu)造了閉環(huán)改進牛頓迭代學習控制算法，用于超聲波電機轉(zhuǎn)速控制。

文獻[4]引入一階低通濾波環(huán)節(jié)去除控制過程中的信號干擾。文獻[5]采用一階低通濾波器消除噪聲擾動，提高系統(tǒng)暫態(tài)過程的魯棒性。

本文針對牛頓學習律不能保證迭代學習收斂的問題，給出一種改進的牛頓學習律，并引入低通濾波器抑制轉(zhuǎn)速波動。實驗結(jié)果表明，所述控制算法能夠漸近改善轉(zhuǎn)速控制性能，控制過程平穩(wěn)。

1 改進牛頓迭代學習控制算法

考慮下列非線性方程的求解問題

f(x)=0

(1)

構(gòu)造式(1)的同解表達式

g(x)=eaxf(x),a≠0

(2)

式中，a為常數(shù)。

則f(x)的單重根x*也是g(x)的單重根。為引入動力學系統(tǒng)，令

(3)

由此可知，v(x)≥0。

假設(shè)af(x)+f′(x)≠0成立，引入一動力學系統(tǒng)[3]

(4)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，函數(shù)v(x)滿足

(1)v(x*)=0且v(x)>0；

-eax[f(x)]=-v(x)<0

由此證明，x*是式(4)所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的平衡點。

采用歐拉法解初值問題式(4)，得到求根迭代公式

(5)

式中，hk為步長。其值的選取應保證迭代過程具有單調(diào)性，即滿足|f(xk+1)|<|f(xk)|；a為常數(shù)。

式(5)即為改進牛頓法的迭代求解公式，該式對應于待求解非線性方程式(1)的同解方程式(2)。從式(1)變?yōu)槭?2)，增加一個乘積項eax，可以改變待求解非線性方程二階導數(shù)的符號，從而使得該方程的迭代求解過程能夠收斂。

例如，對于超聲波電機轉(zhuǎn)速控制而言，以電機的驅(qū)動頻率為控制量，控制量與轉(zhuǎn)速誤差之間關(guān)系表達式f(x)的二階導數(shù)小于零，如圖1(a)所示。將其變換為式(2)形式，即對圖1(a)所示函數(shù)關(guān)系乘以eax。a取不同值時，可得式(2)所示同解函數(shù)g(x)曲線如圖1(b)所示。如圖中所示，當a=0.5時，對應曲線近似為一條直線，二階導數(shù)接近0；a>0.5時，曲線二階導數(shù)大于0。因此，若將式(5)所示改進牛頓法用于超聲波電機的迭代學習轉(zhuǎn)速控制，只要常數(shù)a滿足a>0.5，就能夠保證迭代學習收斂，不必再附加牛頓下山法等措施以避免學習發(fā)散。

圖1 二階導數(shù)符號的變化

為將式(5)用于超聲波電機的迭代學習控制，采用差商代替式(5)中的導數(shù)，得到改進牛頓學習律

(6)

式中，uk+1(i)、uk(i)分別為系統(tǒng)第k+1和第k次運行過程中i時刻的控制量；uk(i-1)為系統(tǒng)第k次運行過程中i-1時刻的控制量；nk(i)和nk(i+1)分別為系統(tǒng)第k次運行過程中i、i+1時刻的電機轉(zhuǎn)速；ek(i+1)為系統(tǒng)第k次運行過程中i+1時刻的轉(zhuǎn)速誤差。

式(6)所得控制量與當前控制信息無關(guān)，是開環(huán)的迭代學習控制策略，難以有效、及時應對各種擾動帶來的影響。為此，將式(6)中的ek(i+1)替換為ek+1(i)，構(gòu)造閉環(huán)迭代學習律

(7)

迭代學習控制過程中，控制量增量的大小取決于式(7)等號右側(cè)第二項的分式值。若分母中的分式值相對較小，會使控制量增量趨于步長hk與參數(shù)a的比值，成為一常數(shù)，失去了根據(jù)分母中分式所表達的被控對象控制特性來修正控制量的優(yōu)點。由此，有必要增加分母中分式值的比重，故將式(7)修改為

(8)

式中，d為加權(quán)系數(shù)，常數(shù)。

通過DSP編程實現(xiàn)式(8)所示迭代學習控制器，進行迭代學習轉(zhuǎn)速控制實驗。實驗用電機為Shinsei USR60型兩相行波超聲波電機，驅(qū)動主電路采用H橋結(jié)構(gòu)。與電機同軸剛性連接的光電編碼器，在線測量電機轉(zhuǎn)速，控制器輸出量為電機的驅(qū)動頻率。

圖2 轉(zhuǎn)速階躍響應曲線(hk=-30，空載)

以比例系數(shù)、積分系數(shù)分別為-1、-2的PI控制器進行第1次實驗，控制參數(shù)設(shè)為hk=-30、a=0.6、d=-200，轉(zhuǎn)速階躍給定值30r/min，進行5次迭代學習控制實驗，得圖2所示實驗結(jié)果。從圖中可以看到，轉(zhuǎn)速曲線上升過程存在較為明顯的波動。

相同控制參數(shù)條件下，進行第2次、第4次交替加載0.2 Nm的閉環(huán)迭代學習控制實驗，結(jié)果如圖3所示。從圖中可以看到，與空載情況相似，上升過程仍不平穩(wěn)。

圖3 轉(zhuǎn)速階躍響應曲線(hk =-30，第2、4次加載0.2 Nm)

2 濾波型迭代學習轉(zhuǎn)速控制

前述轉(zhuǎn)速控制實驗結(jié)果表明，改進牛頓學習律能夠在迭代學習過程中，逐次改進電機轉(zhuǎn)速控制性能，控制性能較好。但轉(zhuǎn)速響應過程曲線有較為明顯的波動，穩(wěn)健性不足。為解決這一問題，嘗試引入低通濾波器對改進牛頓學習律進行修正。

在閉環(huán)迭代學習控制律式(8)中引入一階低通濾波器Q，得

(9)

將一階低通濾波器Q寫為離散的數(shù)字形式

y(i)=(1-c)y(i-1)+cx(i)

(10)

式中，y(i)為i時刻的濾波輸出信號，y(i-1) 為i-1時刻的濾波輸出信號，x(i)為i時刻的被濾波信號，c為濾波器參數(shù)。

采用式(9)所示控制律進行實驗時，取控制參數(shù)hk=-50，a=0.6，d=-200，c=0.2，轉(zhuǎn)速階躍給定值仍為30 r/min，實驗結(jié)果如圖4所示。與未引入濾波器時的轉(zhuǎn)速響應實驗結(jié)果圖2對比，轉(zhuǎn)速控制過程更加平穩(wěn)，調(diào)節(jié)時間更小。

圖4 轉(zhuǎn)速階躍響應曲線(c=0.2, hk=-50，空載)

改變轉(zhuǎn)速階躍給定值為90 r/min，令hk=-80，其它空載參數(shù)保持不變，重復相同的實驗過程，得到轉(zhuǎn)速階躍響應實驗結(jié)果如圖5所示。在相同控制參數(shù)情況下，進行第2次、第4次交替加載0.2 Nm的迭代學習控制實驗，實驗結(jié)果如圖6所示。轉(zhuǎn)速響應沒有超調(diào)，曲線更平滑。與空載情況下的結(jié)果圖5對比，負載對控制性能的影響較小，表明所述控制策略對負載擾動具有一定的魯棒性。

圖5 轉(zhuǎn)速階躍響應曲線(c=0.2, hk=-80，空載)

圖6 轉(zhuǎn)速階躍響應曲線(c=0.2, hk=-80，第2、4次加載0.2 Nm)

3 結(jié) 論

針對牛頓迭代學習律存在的固有缺陷，給出一種改進牛頓學習律，構(gòu)建同解方程改變被控對象非線性控制關(guān)系的特征，保證其學習收斂。將改進牛頓迭代學習控制應用于超聲波電機轉(zhuǎn)速控制，為減小響應過程中的轉(zhuǎn)速波動，引入一階低通濾波器修正控制量。超聲波電機不同轉(zhuǎn)速給定值、空載及交替加載情況下的實驗結(jié)果表明，所述迭代學習控制律不僅能夠保證學習收斂，而且轉(zhuǎn)速響應過程平穩(wěn)，對負載擾動具有一定的魯棒性。