吳家華

(四川省遂寧中學校，629000)

本文從一道引例的分析出發(fā),把一個數(shù)列的各項依次“豎起”排列成一個“三角形數(shù)陣”,并從數(shù)陣中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而找出解決問題的方法,而且這種方法在處理一類數(shù)列問題中具有普遍性和可操作性.

引例在數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,…,則a10=( ).

(A) 610 (B) 510

(C) 505 (D) 750

分析由于此題求的是第10項,許多學生在解此題時,根據數(shù)列的構成規(guī)律,逐一寫出各項,直到第10項而求解.但我們若將結論改為求a100,則按此方法就不容易求解了.現(xiàn)在我們將數(shù)列{an}中的各項依次“豎起”排成下表:

1

2 + 3

4 + 5 + 6

7 + 8 + 9 + 10

… … … … … … …

b10+(b10+1)+(b10+2)+…+(b10+9)

像引例這樣,將已知數(shù)列{an}中的項依次“豎起”排列起來,得到一個“三角形數(shù)陣”,并從這個數(shù)陣中去發(fā)現(xiàn)規(guī)律,能使問題迅速得到解決. 筆者在多年的教學和解題實踐中發(fā)現(xiàn),借助于這種“三角形數(shù)陣”,很容易解決與引例同類的一類數(shù)列問題.請看下面幾個例子.

例1將奇數(shù)數(shù)列如下分組:1,(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),…,使得第n組中含有n個數(shù),那么第n組中n個奇數(shù)的和為______.

解將各組數(shù)依次“豎起”排成如下“三角形數(shù)陣”,并記第n組中的第一個數(shù)為an，

1

3 5

7 9 11

13 15 17 19

… ……………

anan+2an+4 …an+2(n-1)

則數(shù)列{an}:a1=1,a2=3,a3=7,a4=13, …,從而有a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6, …,由此可歸納出:an-an-1=2(n-1).將以上n-1個等式累加，得an-a1=2+4+6+…+2(n-1)=n(n-1)，故an=1+n(n-1)=n2-n+1.

例2給定數(shù)列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,則這個數(shù)列的一個通項公式是( )

(A)an=2n2+3n-1

(B)an=n2+5n-5

(C)an=2n3-3n2+3n-1

(D)an=2n3-n2+n-2

解將數(shù)列前n項依次“豎起”排成如下“三角形數(shù)陣”,并記第n項的第一個數(shù)為bn，

1

2+3+4

5+6+7+8+9

10+11+12+13+14+15+16

… ……………

bn+(bn+1)+(bn+2)+…+[bn+2(n-1)]

故應選C.

例3已知整數(shù)對排列如下:(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5), (2,4), …則第60個整數(shù)對是______.

解將整數(shù)對中數(shù)字之和相等的排在同一行,并按從小到大“豎起”排成如下“三角形數(shù)陣”.

(1,1)

(1,2) (2,1)

(1,3) (2,2) (3,1)

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)

… ………………

由此推知,第n行為(1,n)， (2,n-1)， (3,n-2)， (4,n-3)， …，(n,1).

設第60個整數(shù)對在第n+1行，則有

由此易知，前10行共有55個整數(shù)對.故第60個整數(shù)對為第11行第5個整數(shù)對,按上面“三角形數(shù)陣”的排列規(guī)律可知:第11行的整數(shù)列依次為(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7). 因此，第60個整數(shù)對為(5,7).

如果我們將“三角形數(shù)陣”中的數(shù)字換成圖形,可以類似地處理.再看下列例子.

例4一同學在電腦中打出如下若干個圓(圖中●表示實圓,○表示空心圓):●○●●○●●●○●●●●○●●●●●

○●●●●●●○…,若將此若干個圓依此規(guī)律繼續(xù)下去得到一系列圓,那么在前2 004個圓中有______個空心圓.

解將圓依次“豎起”排成如下“梯形圖陣”,且每行以實圓開頭.

● ○

● ● ○

● ● ● ○

● ● ● ● ○

● ● ● ● ● ○

… …………

由此推知,第n行為 ●●●●…●○ (共n+1個圓).

故在前2 004個圓中有 61個空心圓.