劉卓

(中國建筑第五工程局有限公司安徽分公司,安徽 亳州,233500)

在利用二重積分的幾何意義求空間圖形的體積時(shí),要知道相應(yīng)的曲頂柱體的“底”區(qū)域,即空間立體圖形在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域；在求曲面的面積時(shí),要確定所求部分曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域；在求對面積或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分時(shí)都要確定所給曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域；在求三重積分時(shí),不管用哪種方法(利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分,利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分)都要確定相應(yīng)的積分變量的取值范圍,而相應(yīng)的積分變量范圍的確定,都先要確定空間區(qū)域Ω在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域；而要確定上述“投影區(qū)域”就必須先確定投影柱面[1],再由投影柱面來確定投影區(qū)域,由此可見投影柱面在多元函數(shù)積分學(xué)中有著舉足輕重的地位和作用。

1 相關(guān)理論

設(shè)有空間曲面[1]S1:F(x,y,z)=0和S2:G(x,y,z)=0

(1)

顯然方程組(1)為兩曲面的交線C的一般方程。

從(1)式中消去變量z得

H(x,y)=0

(2)

則(2)式表示以空間曲線C為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面,稱此柱面為空間曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面,簡稱為投影柱面。

顯然

表示投影柱面與xOy的面的交線,稱為空間曲線C在xOy面上的投影曲線,簡稱為投影。

因此

表示兩曲面所圍空間區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域。

同理,從方程組(1)中的消去變量x或變量y,再分別和x=0或y=0聯(lián)立,就可以得到空間曲線C在yOz面或xOz面上的投影曲線方程

兩曲面所圍空間區(qū)域在在yOz面或xOz面上的投影區(qū)域分別為

從學(xué)習(xí)過程中體會到，當(dāng)學(xué)習(xí)完上述內(nèi)容后，在學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容時(shí)覺得對投影柱面的內(nèi)容掌握不夠，具體表現(xiàn)在學(xué)習(xí)重積分時(shí)，不能準(zhǔn)確地確定相應(yīng)的“投影區(qū)域”，從而不能快速得到所涉及積分變量的取值范圍。究其原因是繪制空間曲線、曲面及曲面所圍成的空間區(qū)域的圖形存在局限性，教材中不能給出直觀、形象的空間圖形，限制了學(xué)習(xí)者對所學(xué)知識的理解和掌握；作者劉興元在文獻(xiàn)[2-3]中，曾利用Mathematica軟件[4]的繪圖功能，通過繪制空間曲線、投影柱面、投影曲線來進(jìn)行輔助學(xué)習(xí)，但效果也不盡人意，原因是利用Mathematica軟件繪制的圖形比較簡單，不能很好地反映出投影柱面的本質(zhì)特征。然而，若利用Maple軟件[5]的繪圖功能，則可以將曲面、曲線的交線，投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域的圖形匯集于1個(gè)圖形中，圖形直觀、清晰、明了，因此如果利用Maple軟件的繪圖功能進(jìn)行輔助學(xué)習(xí)，則可以起到事半功倍的作用。

2 投影柱面作圖舉例

在Maple中,要作曲面S1,S2及其交線C與投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域的圖形,只需4次利用繪制空間曲面的命令(Plot3d),2次利用繪制空間曲線的命令(Spacecurve),具體命令及格式如下:

ai:=Plot3d([x(u,v),y(u,v),z(u,v)],u=初值..終值,v=初值..終值,color=顏色,style=樣式):

aj=spacecurve([x(t),y(t),z(t)],t=初值..終值,color=顏色,thickness=數(shù)字):

從ai命令中得知,要繪制曲面S1,S2、投影柱面、投影區(qū)域(坐標(biāo)平面的一部分)的圖形,必須明了各曲面的參數(shù)方程及其2個(gè)參數(shù)的取值范圍。一般方法是由投影區(qū)域來確定,即由投影區(qū)域來確定x(u,v),y(u,v)中參數(shù)u和v選取及確定參數(shù)u和v的取值范圍,再將x(u,v)和y(u,v)代入任一曲面方程確定z(u,v)；同理，利用aj命令繪制兩曲面交線C及投影曲線的圖形時(shí),先寫出投影曲線的參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),z=0 并確定參數(shù)t的取值范圍,再代入任一曲面方程求得空間曲線C的縱坐標(biāo)z(t)[1-3,6-8]。

投影區(qū)域的參數(shù)方程為x=r·cos(s),y=r·sin(s),z=0。

參數(shù)r和s的取值范圍分別為r:0→1,s:0→2π。

參數(shù)r和s的取值范圍分別為s:0→2π,r:0→1。

錐面的參數(shù)方程(柱面坐標(biāo)方程)為x=r·cos(s),y=r·sin(s),z=r。

參數(shù)r和s的取值范圍分別為s:0→2π,r:0→1。

投影柱面的參數(shù)方程為x=cos(s),y=sin(s),z=v。

參數(shù)s和v的取值范圍分別為t:0→2π,v:0→1.01。

故投影曲線的參數(shù)方程為x=cos(s),y=sin(s),z=0,參數(shù)s的取值范圍為s:0→2π。

交線C的參數(shù)方程為x=cos(s),y=sin(s),z=1, 參數(shù)s的取值范圍為s:0→2π。

在Maple命令窗口中輸入下列命令

>restart:with(plots):with(plottools):

a1:=plot3d([r*cos(s),r*sin(s),sqrt(2-r^2)],r=0..1,s=0..2*Pi,color=yellow,style=patch):

a2:=plot3d([r*cos(t),r*sin(t),r],r=0..1,t=0..2*Pi,color=blue,style=wireframe):

a3:=spacecurve([cos(t),sin(t),1],t=0..2*Pi,color=red,thickness=4):

a4:=plot3d([cos(u),sin(u),v],u=0..2*Pi,v=0..1.01,color=green,style=wireframe):

a5:=spacecurve([cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,color=cyan,thickness=4):

a6:=plot3d([r*cos(thcta),r*sin(thcta),0],r=0..1,thcta=0..2*Pi,color=brown,style=patchcontour):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..1.5,v=0..0.01,thickness=3):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1.5,v=0..0.01,thickness=3):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-.3..1.8,v=0..0.01,thickness=3):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

display(xyz,a1,a2,a3,a4,a5,a6,scaling=constrained)；

運(yùn)行上述命令得到如圖1所示的圖形。

圖1 錐面與球面的交線、投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域示意圖Fig.1 A sketch map of intersection line,projection cylinder,projection curve and projection area between cone and sphere

圖2 錐面與拋物柱面的交線、投影曲線投影曲線、投影區(qū)域示意圖Fig.2 A sketch map of intersection line,projection cylinder,projection curve and projection area between cone and parabolic cylinder

注1:若要求題中兩曲面所轉(zhuǎn)成空間立體的圖形體積,則可以轉(zhuǎn)化為求兩曲面在投影區(qū)域上的二重積分,即兩曲頂柱體的體積之差,也可計(jì)算1個(gè)被積分函數(shù)為1的三重積分,而對此三重積分的計(jì)算，利用柱面坐標(biāo)較為方便。

仿照例1的思路和方法,可以做任一投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域的圖形。

解 在Maple命令窗口中輸入下列命令：

>restart:with(plots):

a1:=plot3d([r*cos(s),r*sin(s),r],r=0..2.2,s=0..2*Pi,color=yellow,style=patch):

a2:=plot3d([(1/2)*z^2,v,z],z=-2..2.,v=-2..2,color=blue,style=patch):

a3:=plot3d([1+cos(t),sin(t),z],z=-2..2.,t=0..2*Pi,color=green,style=wireframe):

a4:=spacecurve([1+cos(t),sin(t),sqrt(2+2*cos(t))],t=0..2*Pi,color=red,thickness=8):

a5:=plot3d([1+r*cos(thcta),r*sin(thcta),0],r=0..1,thcta=0..2*Pi,color=brown,style=patchcontour):

a6:=spacecurve([1+cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,color=yellow,thickness=8):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..2.5,v=0..0.01,thickness=3):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-.3..2.5,v=0..0.01,thickness=3):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

display(xyz,a1,a2,a3,a4,a5,a6,scaling=constrained):

運(yùn)行上述命令得到如圖2所示的圖形。顯然,錐面為圖2中的黃色曲面,拋物柱面為圖2中的藍(lán)色曲面,兩曲面的交線為圖2中的紅色曲線,投影柱面為圖2中帶網(wǎng)格綠色曲面,投影曲線為圖2中青色圓周,投影區(qū)域?yàn)閳D2中棕色圓面。

若將a1命令中參數(shù)r限制為在投影區(qū)域的取值范圍,即將r限制為0→1,去掉作拋物柱面的命令a2,可得到錐面被拋物柱面所截下的部分錐面的圖形，如圖3所示。

注2:若要求題中錐面被拋物柱面所截下部分錐面的面積,則可以轉(zhuǎn)化為求在投影區(qū)域即在圓域上的1個(gè)相應(yīng)的二重積分。

圖3 錐面被拋物柱面截下部分錐面示意圖Fig.3 A sketch map of a cone truncated by a parabolic cylinder

圖4 兩橢圓拋物面的交線、所圍圖形、投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域示意圖Fig.4 A sketch map of intersection line,enclosed geometry,projection cylinders,projection curves and projection area between two elliptic paraboloids

例3 畫出兩橢圓拋物面z=6-2x2-y2,z=x2+2y2所圍空間立體的圖形、兩曲面的交線、投影柱面、投影曲線及立體在xOy面上的投影區(qū)域。

解 在Maple工作窗口中輸入命令：

>restart:with(plots):

a:=sqrt(2):u:=(x,y)→x^2+2*y^2:v:=(x,y)→6-2*x^2-y^2:

a1:=plot3d(u(x,y),x=-a..a,y=-sqrt(a^2-x^2)..sqrt(a^2-x^2),color=yellow):

a2:=plot3d(v(x,y),x=-a..a,y=-sqrt(a^2-x^2)..sqrt(a^2-x^2),color=green):

a3:=spacecurve([a*cos(t),a*sin(t),u(a*cos(t),a*sin(t))],t=0..2*Pi,color=red,thickness=4):a4:=plot3d([a*cos(t),a*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=0..6,color=blue,style=wireframe):

a5:=spacecurve([a*cos(t),a*sin(t),0],t=0..2*Pi,color=cyan,thickness=4):

a6:=plot3d([r*a*cos(t),r*a*sin(t),0],r=0..1,t=0..2*Pi,color=brown,style=patch):

x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=3):

y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..2,v=0..0.01,thickness=3):

z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-.2..7,v=0..0.01,thickness=3):

xyz:=display(x_axis,y_axis,z_axis,thickness=3):

display(a1,a2,a3,a4,a5,a6,xyz,scaling=constrained,orientation=[40,60])；

運(yùn)行上述命令得到如圖4所示的圖形。

注3:若要求題中兩橢圓拋物面所圍立體圖形的體積,則可以轉(zhuǎn)化為求在圓域上的1個(gè)相應(yīng)的二重積分之差(即2個(gè)同底的曲頂柱體的體積之差)。

3 結(jié)論

由上述討論可知，要做空間曲面、空間曲面的交線、投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域的圖形，所需命令是非常簡單的，而且所作圖形也是非常直觀的.對做好圖形材料，在學(xué)習(xí)中主要有以下2種利用方法：第1種方法是在Maple軟件的命令窗口中直接運(yùn)行上述編制的繪圖程序命令，直接觀看圖形來幫助理解曲面、曲面的交線、投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域的概念(可以拖動(dòng)鼠標(biāo)從不同的角度觀看圖形,這是maple繪圖優(yōu)于Mathematics繪圖的一種典型表現(xiàn)),與文獻(xiàn)[2]中方法相比較，圖形更加直觀、清晰，更便于理解；第2種方法是將在Maple平臺下做好的圖形利用QQ截圖的方式插入PPT中，對照圖形標(biāo)注好各曲面、曲面的交線、投影柱面、投影曲線、投影區(qū)域并對照學(xué)習(xí)。在投影柱面的學(xué)習(xí)中，若利用Maple軟件的繪圖功能繪制圖形來進(jìn)行輔助學(xué)習(xí)，較之傳統(tǒng)看書學(xué)習(xí)或利用其他繪圖軟件如Mathematica來幫助學(xué)習(xí)，直觀性大大加強(qiáng)，學(xué)習(xí)者對于空間曲面、空間曲線、及以空間曲線為準(zhǔn)線的柱面(即投影柱面)、空間曲線的投影曲線、空間曲面所圍成的空間圖形在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域都會有深刻的理解，可為多元函數(shù)積分學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。