一類拋物線與多直線相交的中考?jí)狠S題解法

張佑勝 舒新詠 翁先蘭

縱觀近十年來全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題，大多數(shù)是以拋物線為背景的綜合性問題.這類問題，綜合性強(qiáng)，解法靈活，是對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題能力的綜合考查，具有較好的區(qū)分度和選拔功能.因此，很多考生不知所措，望而卻步！本文選取近年來幾例武漢市中考或調(diào)考數(shù)學(xué)壓軸題，探討一類拋物線與多直線相交問題的解題通法與教學(xué)啟示

先看幾個(gè)問題：

問題1 （2019武漢中考?jí)狠S題第（3）問）如圖1，△MNE的頂點(diǎn)M，N在拋物線y=x2上，點(diǎn)M在N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線y=x2均有唯一公共點(diǎn)，ME，NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為2，設(shè)M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求m與n的數(shù)量關(guān)系

圖1 圖2 圖3

問題2 （2016武漢中考?jí)狠S題第（3）問）如圖2，拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方，直線PA，PB與y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OE+OFOC是否為定值？

問題3 （2011武漢中考?jí)狠S題第（3）問）如圖3，將拋物線y=x2+4x+3平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PEF的內(nèi)心在y軸上？

問題4 （2019武漢元調(diào)壓軸題第（3）問）如圖4，拋物線y=x2+（1-m）x-m交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C.過點(diǎn)E（m，2）作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，連接AP，AQ分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，求證：OM·ON是一個(gè)定值

問題5 （2015武漢四調(diào)壓軸題第（3）問）如圖5，點(diǎn)C為拋物線y=12x2-3x+92的頂點(diǎn)，直線y=kx（k>0）與拋物線相交于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)A的下方），若B是拋物線上點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)，直線BD交對(duì)稱軸于點(diǎn)M，求證：PC=CM圖4 圖5

這些都是拋物線與多直線相交的壓軸題，類似的，還有很多，不一一列出.為了有效的解決這類問題，先看如下基本命題

基本命題：直線l與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為xA，xB，則直線l的解析式是y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB

略證：設(shè)直線l：y=mx+n，聯(lián)立y=ax2+bx+c，y=mx+n，得ax2+（b-m）x+c-n=0，

所以xA+xB=m-ba，xA·xB=c-na，所以m=a（xA+xB）+b，n=c-axAxB，

所以直線l：y=[a（xA+xB）+b]x+c-axAxB

推論 直線l與拋物線y=ax2+bx+c有唯一公共點(diǎn)A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為xA，

則直線l的解析式是y=（2axA+b）x+c-ax2A

運(yùn)用上述基本命題及推論，我們可以按照統(tǒng)一的思維方式，有效地解決上述一類拋物線與多直線相交的壓軸題.現(xiàn)從問題1至問題5中選3個(gè)簡(jiǎn)解如下

問題1簡(jiǎn)解 作EH∥y軸交MN于H，由前面基本命題可得：

NE：y=2nx-n2，ME：y=2mx-m2，MN：y=（m+n）x-mn，

聯(lián)立y=2nx-n2，y=2mx-m2，解得xE=m+n2，yE=mn，

所以S△MNE=12HE·（m-n）=12[（m+n）·m+n2-mn-mn]（m-n）=14（m-n）3=2，

所以m-n=2

問題2簡(jiǎn)解 由前面基本命題可得：

PA：y=[a（xA+xP）+c]x+c-axAxP，

PB：y=[a（xB+xP）+c]x+c-axBxP，

因?yàn)辄c(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱，所以xA+xB=0，

所以O(shè)E+OF=（-c+axA·xP）+（-c+axB·xP）

=-2c+a（xA+xB）xP=-2c=2OC，

所以O(shè)E+OFOC=2

問題4簡(jiǎn)解 由x2+（1-m）x-m=0，得x1=-1，x2=m，

所以A（-1，0），

由前面基本命題可得：

PQ：y=（xP+xQ+1-m）x-m-xPxQ，

AQ：y=（-1+xQ+1-m]x-m+xQ，

AP：y=（-1+xP+1-m]x-m+xP，

因?yàn)辄c(diǎn)E（m，2）在直線PQ上，

所以2=（xP+xQ+1-m）m-m-xPxQ，

所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，

所以O(shè)M·ON=│-m+xP│·│-m+xQ│

=│m2-m（xP+xQ）+xPxQ│=2

點(diǎn)評(píng)

1.在上述解法中，都是選取拋物線與直線交點(diǎn)（公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)為參數(shù)，表達(dá)直線解析式y(tǒng)=kx+b中的k與b，進(jìn)而表示出各條直線的解析式，順利地解決相關(guān)問題.為了以后稱呼的方便，不妨將這種解法冠名為“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”

2.由于選取拋物線與直線交點(diǎn)（公共點(diǎn)）的橫坐標(biāo)為參數(shù)，因此以最少的參數(shù)打通了多條直線間的聯(lián)系和直線與拋物線間的聯(lián)系，從而為解決問題帶來便利.其優(yōu)點(diǎn)是思維簡(jiǎn)單，有規(guī)可循，操作性強(qiáng)，眾多個(gè)性化的直線與二次函數(shù)綜合壓軸題，在統(tǒng)一的思維與方法下，得到有效解決，可謂“多題一解”.弊端是式子稍顯復(fù)雜

3.上述幾個(gè)問題除了運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”外，每個(gè)問題都有自身獨(dú)有的解法.但對(duì)于絕大多數(shù)學(xué)生而言，面對(duì)一個(gè)個(gè)獨(dú)特的解題方法，猶如一盤散沙，不知所云，難以駕馭，再遇到類似的問題時(shí)依然是束手無策.運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，對(duì)于“拋物線與多直線相交”的一類問題，都可以順利解決.且看如下一例

問題6 拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，平移直線BC分別交拋物線圖6于M，N兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)），若拋物線上存在一定點(diǎn)P（P與M不重合），使得∠PMN-∠PNM=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

簡(jiǎn)解 如圖6，過P作PH⊥y軸于H，設(shè)PM交y軸于點(diǎn)D

∠PMN=135°-∠MDO，∠PNM=45°-∠NEO，

所以∠PMN-∠PNM=（135°-∠MDO）-（45°-∠NEO）=90°，

所以∠MDO=∠NEO，

所以EH=HD，所以yD+yE=2yP

由前面基本命題可得：

PN：y=（2-xp-xN）x+xPxN+3，

PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，

MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，

因?yàn)镸N∥BC，

所以2-xM-xN=-1，所以xM+xN=3，

所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，

又2yP=2（-x2P+2xP+3），

所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，

所以點(diǎn)P（12，154）

點(diǎn)評(píng)

1.對(duì)于問題6，筆者曾請(qǐng)就讀于985高校的幾個(gè)往屆學(xué)生來做，四人中只有一人解答出來了，可見本題殺傷力還是有點(diǎn)大.運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”能夠較為順利地解決，就在于這種方法選取的參數(shù)少，每個(gè)參數(shù)之間又易于建立關(guān)聯(lián)

2.問題6除了運(yùn)用上述“通法”外，至少還有兩種特殊方法.第一種方法：在證明了等腰三角形PDE后，構(gòu)造以PM和PN為斜邊的兩個(gè)直角三角形相似，進(jìn)而建立點(diǎn)P，M，N坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，求出P點(diǎn)坐標(biāo).這種構(gòu)造方法對(duì)于初中生來講，難度就有點(diǎn)大，難以把握.第二種方法，運(yùn)用高中知識(shí)，在證明了等腰三角形PDE后，得出直線PM和PN的斜率之和為零，建立等量關(guān)系求解

3.對(duì)于“拋物線與多直線相交”一類問題，運(yùn)用“交點(diǎn)橫坐標(biāo)參數(shù)法”這一“通法”，

都可以順利解決.下面不妨提供幾個(gè)練習(xí)問題

問題7 拋物線y=-x2+1的頂點(diǎn)M在y軸上，與x軸交于A，B兩點(diǎn)圖7 圖8

（1）如圖7，若向上平移直線y=12x交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，直線BP，BQ分別交y軸于C，

D兩點(diǎn)，求OC+OD的值

（2）如圖8，直線y=-2x+b與拋物線交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AP，AQ分別交y軸于C，D兩點(diǎn)，求證：OC=OD.

問題8 如圖9，已知A（-2，t）為拋物線y=14x2上一點(diǎn)，B（-2，3），P為點(diǎn)A左側(cè)

拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PA交直線y=-x-3于點(diǎn)M，直線PB交拋物線于點(diǎn)N，連接MN，求證：AB∥MN圖9 圖10 圖11

問題9 已知直線y=kx-2k+3（k≠0）與拋物線y=a（x-2）2（a>0）相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）

（1）不論k取何值，直線y=kx-2k+3必經(jīng)過定點(diǎn)P，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);

（2）如圖10，已知B，C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線y=a（x-2）2的對(duì)稱軸對(duì)稱.當(dāng)a=12時(shí)，

求證：直線AC必經(jīng)過一定點(diǎn);

（3）如圖11，拋物線y=a（x-2）2的頂點(diǎn)記為點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E，與直線BD交于點(diǎn)F，求線段EF的長(zhǎng).

教學(xué)啟示

1.數(shù)學(xué)是人類思維的體操，在培養(yǎng)人的聰明才智方面起著巨大的作用.所以，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).也就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了要使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能外，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，應(yīng)把培養(yǎng)學(xué)生的思維能力貫穿在教學(xué)的全過程

2.已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：要真正打好基礎(chǔ)，有兩個(gè)必經(jīng)的過程，即“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程.“由薄到厚”是學(xué)習(xí)、接受的過程，“由厚到薄”是消化、提煉的過程.筆者認(rèn)為，多題一解，使眾多一大類問題，在統(tǒng)一簡(jiǎn)單的思維方式下便可獲得解題思路，是讓學(xué)習(xí)由厚變薄的重要途徑與方法

3.用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問題我們稱之為“多題一解”.經(jīng)過這種多題一解的訓(xùn)練，可以收到舉一反三、觸類旁通的效果.同時(shí)，這種訓(xùn)練也可加深學(xué)生的思維深度，分析事物時(shí)學(xué)會(huì)由表及里，抓住事物的本質(zhì)，找出事物間內(nèi)在的聯(lián)系

4.教學(xué)中，教師應(yīng)通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結(jié)，得到多題一解，讓學(xué)生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么去思考和解決.面對(duì)一個(gè)問題，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當(dāng)十、以少勝多，也就無需茫茫的題海了.這樣既減負(fù)增效，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力.

參考文獻(xiàn)

華羅庚.學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一些體會(huì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2010，（9）：1-5

作者簡(jiǎn)介 張佑勝（1963—），男，湖北武漢人，正高，特級(jí)教師.研究方向：中考命題與數(shù)學(xué)教育舒新詠（1971-），男，湖北武漢人，本科，高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育教學(xué)與命題.