王 振，杜玉越，亓 亮

(山東科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，山東 青島 266590)

在電子商務(wù)中，一個(gè)銷售者可能會(huì)同時(shí)面對(duì)多個(gè)購(gòu)買者，這樣的工作流程要求模型具有批處理功能和描述并發(fā)進(jìn)程的能力。電子商務(wù)系統(tǒng)中的用戶需要與其他用戶進(jìn)行交互，交互過(guò)程中每個(gè)用戶的等待時(shí)間和系統(tǒng)的等待時(shí)間都是有限的。一些用戶的信息可能無(wú)法及時(shí)傳送給系統(tǒng)，這樣就造成了系統(tǒng)中傳值的不確定性，但系統(tǒng)不能因此而停止工作[1]，這就要求模型具有描述系統(tǒng)中傳值不確定性的功能。

Petri網(wǎng)是一種描述分布式系統(tǒng)的工具，常用來(lái)建模和分析并發(fā)、異步和分布式信息處理系統(tǒng)[2]。Liu等[3]提出交互Petri網(wǎng)(interactive Petri nets)，用來(lái)描述并分析由多個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)。子系統(tǒng)之間通過(guò)信息通道來(lái)交換信息，協(xié)作完成任務(wù)。Nishi等[4]提出一種Petri網(wǎng)分解方法，導(dǎo)出了雙臂集群工具的無(wú)死鎖無(wú)循環(huán)時(shí)序安排(deadlock-free and non-cyclic scheduling of dual-armed cluster tools)的近似最優(yōu)解，減少了計(jì)算復(fù)雜度。Ding等[5]提出適應(yīng)Petri網(wǎng)(adaptive Petri nets)來(lái)描述自適應(yīng)軟件系統(tǒng)。它是一類混合Petri網(wǎng)的擴(kuò)展，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法嵌入一些特殊的變遷之中。Tiplea等[6]提出PN計(jì)算機(jī)，證明了任意遞歸函數(shù)都可以用Petri網(wǎng)計(jì)算(PN computable),同時(shí)，任意可以用Petri網(wǎng)計(jì)算的函數(shù)都是遞歸的，從而證明了PN計(jì)算機(jī)擁有圖靈機(jī)的能力。Benito等[7]提出了針對(duì)時(shí)間Petri網(wǎng)(time Petri nets)的展開(kāi)方法“時(shí)間展開(kāi)法”(time unfolding)，生成新的發(fā)生網(wǎng)，保留全部狀態(tài)類別和變遷發(fā)生序列，而沒(méi)有枚舉全體狀態(tài)空間。Liu等[8]為了得到一個(gè)小型Petri網(wǎng)控制器，提出可控死鎖基(controllable siphon basis)的概念，證明了一個(gè)活的Petri網(wǎng)控制器，可以通過(guò)在每一個(gè)嚴(yán)格最小死鎖(strict minimal siphon)上添加一個(gè)控制庫(kù)所與相關(guān)弧來(lái)構(gòu)成，嚴(yán)格最小死鎖在可控死鎖基之中。

但是由普通Petri網(wǎng)構(gòu)建的系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中可能會(huì)遇到傳值的不確定性問(wèn)題，導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的變遷無(wú)法發(fā)生，系統(tǒng)就會(huì)陷入停止?fàn)顟B(tài)。因此，Du等[9]提出邏輯Petri網(wǎng)(logic Petri nets,LPNs)并證明LPN是等價(jià)于抑止弧Petri 網(wǎng)的一種增廣Petri網(wǎng)模型，使用邏輯表達(dá)式對(duì)邏輯輸入變遷的輸入和邏輯輸出變遷的輸出進(jìn)行限制，這樣就可以描述系統(tǒng)中傳值的不確定性。并且和等價(jià)的抑止弧Petri網(wǎng)相比，邏輯Petri網(wǎng)簡(jiǎn)化了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，使模型的簡(jiǎn)潔度更高。Teng等[10]提出基于邏輯Petri網(wǎng)的模型修復(fù)方法，可以修復(fù)帶有并發(fā)塊的業(yè)務(wù)流程模型。邏輯Petri網(wǎng)中，邏輯輸入表達(dá)式是一階謂詞邏輯表達(dá)式，以邏輯輸入變遷的前集庫(kù)所為謂詞變量，表示其對(duì)應(yīng)的邏輯輸入變遷前集庫(kù)所里面托肯的分布情況，使得前集庫(kù)所中的托肯無(wú)論以任意一種組合進(jìn)入邏輯輸入變遷，邏輯輸入表達(dá)式都能判斷這個(gè)托肯組合能否讓變遷使能。另一方面，邏輯輸出表達(dá)式是以邏輯輸出變遷的后集庫(kù)所作為謂詞變量的邏輯表達(dá)式，要求在邏輯輸出變遷發(fā)生后，其后集庫(kù)所中托肯的分布使得邏輯輸出表達(dá)式為真。這樣就帶來(lái)邏輯輸出變遷輸出的不確定性，原本從A系統(tǒng)傳來(lái)的托肯經(jīng)過(guò)邏輯輸出變遷之后，有可能進(jìn)入B系統(tǒng)中，會(huì)導(dǎo)致信息傳遞的錯(cuò)誤，系統(tǒng)無(wú)法正常運(yùn)行。

顏色邏輯Petri網(wǎng)(colored logic Petri net,CLPN)[11]通過(guò)給每一個(gè)托肯染色來(lái)給不同的托肯分類。例如來(lái)自A系統(tǒng)的托肯和來(lái)自B系統(tǒng)的托肯屬于不同的類別，就指定不同的顏色。這樣，在邏輯輸出變遷使能并且輸出托肯時(shí)，需要對(duì)托肯的顏色進(jìn)行判斷，就能避免來(lái)自A系統(tǒng)的托肯進(jìn)入B系統(tǒng)之中，從而防止信息傳遞錯(cuò)誤的發(fā)生。但是，已有的CLPN內(nèi)容還不完善，僅僅給出了CLPN的簡(jiǎn)單定義，它的許多分析方法甚至變遷引發(fā)規(guī)則，還是直接套用邏輯Petri網(wǎng)的方法。CLPN在描述多個(gè)子系統(tǒng)同時(shí)在網(wǎng)系統(tǒng)中運(yùn)行時(shí)，需要給每個(gè)子系統(tǒng)都建立一個(gè)子網(wǎng)模型。為了減少網(wǎng)絡(luò)冗余，提高網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行效率，本研究提出了擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)(extended colored logic Petri net,ECLPN)的概念。

1 基本定義

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹ECLPN建立過(guò)程中用到的基本知識(shí)，包括Petri網(wǎng)[12]、邏輯Petri網(wǎng)[13]、顏色Petri網(wǎng)[14]以及顏色邏輯Petri網(wǎng)[11]。

1)Petri網(wǎng)PN= (P,T,F)是一個(gè)三元式，P和T是沒(méi)有交集的非空有限集，其中P是庫(kù)所集，T是變遷集。F是弧集，是(P×T) ∪(T×P)的子集；

2)邏輯Petri網(wǎng)LPN= (P,T,F,I,O,M)是一個(gè)六元式，P和T是沒(méi)有交集的非空有限集，其中P是庫(kù)所集，T是變遷集，T包含且僅包含三個(gè)互斥的子集：TD普通變遷集，TI邏輯輸入變遷集以及TO邏輯輸出變遷集。F是弧集，是(P×T) ∪(T×P)的子集。I是從邏輯輸入變遷到邏輯輸入表達(dá)式的映射，O是從邏輯輸出變遷到邏輯輸出表達(dá)式的映射。M是標(biāo)識(shí)函數(shù)。

3)顏色Petri網(wǎng)CPN= (Σ,P,T,A,N,C,G,E,I)是一個(gè)九元式，Σ是非空顏色集合，P和T是沒(méi)有交集的非空有限集，其中P是庫(kù)所集，T是變遷集。A是有限的有向弧集合，N是節(jié)點(diǎn)函數(shù)，把A映射到(P×T) ∪(T×P)上。C是顏色函數(shù)，把P映射到Σ上。G是保護(hù)函數(shù)，把T映射到布爾型表達(dá)式上。E是表達(dá)式函數(shù)，將A映射到弧表達(dá)式上。I是初始化函數(shù)，將P映射到閉表達(dá)式上。

4)顏色邏輯Petri網(wǎng)CLPN=(C,P,T,F,I,O,M,IC)是一個(gè)八元式。C是由連續(xù)素?cái)?shù)組成的有限集，每個(gè)素?cái)?shù)表示一種托肯的顏色。P和T是沒(méi)有交集的非空有限集，其中P是庫(kù)所集，包含兩個(gè)互補(bǔ)的子集：PC控制庫(kù)所集和PD數(shù)據(jù)庫(kù)所集。T是變遷集，T包含且僅包含三個(gè)互斥的子集：TD普通變遷集，TI邏輯輸入變遷集以及TO邏輯輸出變遷集。F是弧集，是(P×T) ∪(T×P)的子集。I是從邏輯輸入變遷到邏輯輸入表達(dá)式的映射，O是從邏輯輸出變遷到邏輯輸出表達(dá)式的映射。M是標(biāo)識(shí)函數(shù)。IC是可容顏色指示函數(shù)，將P映射到其可以容納的顏色集上。

2 擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)

顏色邏輯Petri網(wǎng)[11]在描述系統(tǒng)中不同子系統(tǒng)的并發(fā)過(guò)程時(shí)，需要對(duì)每一個(gè)子系統(tǒng)都建立一個(gè)子網(wǎng)模型。對(duì)于相同結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生結(jié)構(gòu)相同的冗余子網(wǎng)模型。因此，本節(jié)在顏色邏輯Petri網(wǎng)的基礎(chǔ)上，給出擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)的概念及與之配套的變遷使能條件與發(fā)生規(guī)則。給出多重集類型的素?cái)?shù)表示法，并在此基礎(chǔ)上提出了變遷使能判定定理及算法。最后提出了ECLPN可達(dá)樹(shù)的構(gòu)造算法。擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)能有效繼承邏輯Petri網(wǎng)和顏色Petri網(wǎng)對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)描述與分析的優(yōu)點(diǎn)，保證系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中的正確性。

2.1 擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)定義

定義1(擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng))ECLPN={Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}稱為擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)

1) Σ是非空托肯顏色的集合。

2)P是有限庫(kù)所的集合。

3)T=TI∪TO∪TD∪TL是有限變遷的集合。其中

(a)TI是邏輯輸入變遷集合，用來(lái)描述向變遷傳入數(shù)據(jù)時(shí)的不確定性。對(duì)?t∈TI，變遷t的引發(fā)受到t的輸入庫(kù)所集邏輯表達(dá)式fI(t)的限制，fI(t)中的謂詞變量包含t所有輸入庫(kù)所中可能出現(xiàn)的顏色，稱fI(t)為邏輯輸入表達(dá)式。

(b)TO是邏輯輸出變遷集合，用來(lái)描述從變遷傳出數(shù)據(jù)時(shí)的不確定性。對(duì)?t∈TO，變遷t引發(fā)后的結(jié)果受到t輸出庫(kù)所集上的邏輯表達(dá)式fO(t)的限制，fO(t)中的謂詞變量包含t所有輸出庫(kù)所中可能出現(xiàn)的顏色，稱fO(t)為邏輯輸出表達(dá)式。

(c)TL是邏輯變遷集合，用來(lái)描述向變遷傳入數(shù)據(jù)和從變遷傳出數(shù)據(jù)時(shí)的不確定性。對(duì)?t∈TL，變遷t的引發(fā)受到t的輸入庫(kù)所集邏輯表達(dá)式fI(t)的限制，引發(fā)后的結(jié)果受到t輸出庫(kù)所集上的邏輯表達(dá)式fO(t)的限制，fI(t)與fO(t)的定義與(a)和(b)之中相同，同時(shí)分別被稱為邏輯輸入表達(dá)式和邏輯輸出表達(dá)式。

(d)TD是普通變遷集合，引發(fā)與輸出均不受邏輯表達(dá)式的限制。

4)A是有限的有向弧集合，且P∩T=P∩A=T∩A=?。對(duì)于p∈P，t∈T，(p,t)被稱為p的輸出弧或者t的輸入弧。(t,p)被稱為t的輸出弧或者p的輸入弧。

5)N：A→ (P×T)∪(T×P)是一個(gè)節(jié)點(diǎn)函數(shù)。

6)C：P→ Σ 是顏色函數(shù)，功能是將托肯指定一個(gè)顏色。

7)G映射T到布爾型表達(dá)式，是一個(gè)保護(hù)函數(shù)，使得

?t∈T：Type(G(t)) =B∧Type(Var(G(t)))?Σ；

保護(hù)函數(shù)G映射每一個(gè)變遷t∈T到一個(gè)布爾型表達(dá)式，并且G(t)中每一個(gè)變量的類型值必須在Σ中。當(dāng)省略保護(hù)表達(dá)式時(shí)，表示其值為真值true。

8)E映射A到弧表達(dá)式的集合，集合由可以接受的弧表達(dá)式構(gòu)成，弧表達(dá)式用多重集來(lái)表示，用來(lái)描述這條弧的權(quán)重。

(a) 對(duì)于(p,t) ∈A，若t∈TI∪TL，則t所有輸入弧表達(dá)式中出現(xiàn)的托肯類型可以使fI(t)為真；

(b) 對(duì)于(t,p)∈A，若t∈TO∪TL，則t所有輸出弧表達(dá)式中出現(xiàn)的托肯類型可以使fO(t)為真。

9)Init映射P到閉表達(dá)式，是一個(gè)初始化函數(shù)，使得

?p∈P：Type(Init(p)) =C(p)MS。

10)I是一個(gè)邏輯限制輸入函數(shù)，使對(duì)?t∈TI，I(t) =fI(t)。

11)O是一個(gè)邏輯限制輸出函數(shù)，使對(duì)?t∈TO，O(t) =fO(t)。

12)M：P→ ΣMS是一個(gè)標(biāo)識(shí)函數(shù)，?p∈P，M(p)表示p中的有色托肯多重集，描述庫(kù)所p中托肯的種類和數(shù)量。在某一時(shí)刻由全體M(p)組成的集合{M(p) |p∈P}稱為標(biāo)識(shí)，記作M，描述網(wǎng)絡(luò)在這一時(shí)刻的狀態(tài)。

下面對(duì)E(p,t)〈b〉做進(jìn)一步說(shuō)明。

假設(shè)t∈T，p∈·t，綁定b，弧(p,t)上的弧表達(dá)式集合E(p,t)〈b〉。對(duì)于弧(p,t)，若t∈TD∪TO，則t的使能條件只有一種情況，從而弧(p,t)上可以接受的表達(dá)式只有一個(gè)，此時(shí)E(p,t)〈b〉是一個(gè)單元素集合。同理，對(duì)于弧(t,p)，t∈TD∪TI，p∈t·，E(t,p)〈b〉也是一個(gè)單元素集合。如果t∈TI∪TL，p∈·t，由于邏輯輸入變遷所表示的傳值不確定性，則E(p,t)〈b〉內(nèi)可以接受的表達(dá)式不少于一個(gè)。例如，對(duì)于綁定b= 〈v1=s,v2=b1,v3=b2〉。如果t∈TI∪TL，需要滿足邏輯表達(dá)式·T·∨b1∨b2，那么E(p,t)〈b〉可以接受的表達(dá)式集合為E(p,t)〈b〉={?,b1,b2,b1+b2}。同理，如果t∈TO∪TL，p∈t·，那么E(t,p)〈b〉內(nèi)元素個(gè)數(shù)不少于一個(gè)。

可以證明ECLPN與CLPN的等價(jià)性。根據(jù)參考文獻(xiàn)[9]，判斷兩類Petri網(wǎng)是否等價(jià)的條件是它們的可達(dá)標(biāo)識(shí)圖是否同構(gòu)(isomorphism)。對(duì)于CLPN的任意一個(gè)變遷t，定義一個(gè)映射f，將該變遷的所有前集庫(kù)所和后集庫(kù)所分別合并成一個(gè)庫(kù)所，庫(kù)所內(nèi)托肯根據(jù)其源庫(kù)所染色，通過(guò)弧上表達(dá)式來(lái)控制該變遷的發(fā)生，即可得t在ECLPN中等價(jià)的變遷?？梢宰C明f是一個(gè)雙射，即可得ECLPN和CLPN的可達(dá)標(biāo)識(shí)圖是同構(gòu)的，即ECLPN與CLPN等價(jià)，對(duì)業(yè)務(wù)流程的表達(dá)能力是相同的。

為了方便引出變遷的使能條件和引發(fā)規(guī)則，下面定義多重集的計(jì)算。

定義2假設(shè)多重集MS，MS中有n個(gè)元素，這些元素表示類型，構(gòu)成“類型元素”集合Elem= {e1,e2,…,en}，則每種類型元素的系數(shù)構(gòu)成系數(shù)集合，定義為H(Elem) = {h(e) |e∈Elem}，其中h(e)是e在多重集MS中的系數(shù)，表示類型元素e在MS中的數(shù)量。多重集內(nèi)所有類型元素的數(shù)量定義為|MS| = ∑e∈Elemh(e)。函數(shù)S：MS→Elem表示從多重集映射到多重集所包含類型元素的集合。

例如，對(duì)于多重集MS= 3a+4b+c，類型元素集合Elem= {a,b,c}，H(Elem) ={3, 4, 1}，|MS| = 3 + 4 + 1 = 8，S(3a+4b+c) = {a,b,c}。

下面討論ECLPN中變遷的使能條件和引發(fā)規(guī)則，ECLPN中變遷的使能條件包含變遷前集中托肯分布和托肯顏色兩個(gè)條件。

定義3(擴(kuò)展顏色邏輯Petri網(wǎng)中變遷的使能條件和引發(fā)規(guī)則)假設(shè)ECLPN={Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}，M是它的一個(gè)標(biāo)識(shí)，對(duì)于一個(gè)綁定b，

1)變遷t∈T的使能條件為：

(a)對(duì)于?t∈TO∪TD，稱t在M下是使能的，當(dāng)且僅當(dāng)

?p∈·t:E(p,t)〈b〉≤M(p)

(b)對(duì)于?t∈TI∪TL，稱t在M下是使能的，當(dāng)且僅當(dāng)

①?p∈·t，?MSI∈E(p,t)〈b〉，使得MSI≤M(p)；

②∪p∈·tS(MSI)使fI(t)為真。

若變遷t在M是使能的，則可以引發(fā)，記作M[t>，且引發(fā)后產(chǎn)生一個(gè)后繼標(biāo)識(shí)M′，記作M[t>M′。

2)變遷t∈T的引發(fā)規(guī)則為：

(a)對(duì)于t∈TD，

(b)對(duì)于t∈TI，

其中，{MSI}為滿足使能條件中①和②多重集的集合，是E(p,t)〈b〉的子集。

(c)對(duì)于t∈TO，t發(fā)生后相關(guān)庫(kù)所內(nèi)有色托肯改變時(shí)要滿足以下條件

①?pa∈t·，?MSout∈E(t,pa) 〈b〉，?pb∈·t，使得MSout≤M(pb)。

②∪pa∈t·S(MSout)使fO(t)為真;

其中，{MSout}為滿足條件①和②多重集的集合，是E(t,p)〈b〉的子集。

(d)對(duì)于t∈TL，t發(fā)生后相關(guān)庫(kù)所內(nèi)有色托肯改變時(shí)要滿足以下條件

①∪pa∈t·S(E(t,pa)〈b〉)使fO(t)為真；

②?pa∈t·，?MSout∈E(t,pa) 〈b〉，?pb∈·t，使得MSout≤M(pb)

2.2 多重集元素類型的素?cái)?shù)表示法

為了簡(jiǎn)化實(shí)際應(yīng)用中判斷變遷使能的過(guò)程與可達(dá)標(biāo)識(shí)的計(jì)算，下面引入多重集類型元素到素?cái)?shù)的映射與多重集到素?cái)?shù)冪乘積的映射，用一個(gè)整數(shù)(素?cái)?shù)冪的乘積)集合來(lái)表示可達(dá)標(biāo)識(shí)，和有向弧上的表達(dá)式。

例如，對(duì)于一個(gè)多重集MS= 3a+4b+c，其類型元素集合Elem= {a,b,c}對(duì)應(yīng)前3個(gè)素?cái)?shù){2, 3, 5}，則多重集MS唯一確定的整數(shù)為fint(MS) = 23×34×51= 3 240。反之，整數(shù)3 240唯一確定一個(gè)多重集fMS(3 240) =fMS(23×34×51) = 3a+4b+c。對(duì)于多重集集合{MS} = {a+b,b+c}，fint(MS) = {6, 15}，反之，fMS({6, 15}) =fMS({2×3，3×5})={a+b,b+c}。

素?cái)?shù)冪表示法的局限性，在于素?cái)?shù)冪的乘積不能大過(guò)這個(gè)數(shù)據(jù)類型所能支持的最大整數(shù)。例如，如果用一個(gè)32位的無(wú)符號(hào)長(zhǎng)整型來(lái)存儲(chǔ)這個(gè)乘積，那么這個(gè)乘積不能超過(guò)232- 1 = 4 294 967 295。能容納單種類素?cái)?shù)的上限為31個(gè)2，20個(gè)3，13個(gè)5或者11個(gè)7等等，即對(duì)于單類型來(lái)說(shuō)，類型為2的托肯不能超過(guò)31個(gè)，類型為3的托肯不能超過(guò)20個(gè)，類型為5的托肯不能超過(guò)13個(gè)，類型為7的托肯不能超過(guò)11個(gè)，此時(shí)占用內(nèi)存空間為32位。

實(shí)際上對(duì)于有n個(gè)元素類型的多重集來(lái)說(shuō)，可以使用(n-1)個(gè)素?cái)?shù)冪組成的數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)。此時(shí)占用內(nèi)存空間為(n-1)×32位。例如，對(duì)于有4個(gè)類型的多重集，3個(gè)素?cái)?shù)冪組成的數(shù)組能容納單種類素?cái)?shù)的上限為93個(gè)2，60個(gè)3，39個(gè)5或者33個(gè)7。多重集93a+0b+0c+0d可以使用數(shù)組(231, 231, 231)來(lái)存儲(chǔ)；多重集0a+60b+0c+0d，可以使用數(shù)組(320, 320, 320)來(lái)存儲(chǔ)，此時(shí)這種“混合表示法”占用的內(nèi)存空間為3×32位。

如果系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中托肯數(shù)量和類型數(shù)量超過(guò)素?cái)?shù)冪的表示范圍，那么就用n位整數(shù)構(gòu)成的數(shù)組來(lái)儲(chǔ)存多重集，每個(gè)整數(shù)代表了某一類托肯元素的數(shù)量，其數(shù)量最多可以達(dá)到232-1，占用的內(nèi)存空間為n×32位。

下面基于素?cái)?shù)表示法給出變遷使能的判定定理。

定理1設(shè)ECLPN={Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}，M∈R(M0)，R(M0)表示M0的可達(dá)標(biāo)識(shí)。對(duì)于綁定[14]b∈B，

1)?t∈TO∪TD，M[t>當(dāng)且僅當(dāng)?p∈·t，fint(M(p))可以整除fint(E(p,t))〈b〉，記作fint(M(p)) |fint(E(p,t)〈b〉)。

2)?t∈TI∪TL，p∈·t，M[t>當(dāng)且僅當(dāng)?fint(MSI)∈fint(E(p,t)〈b〉)，使得fint(M(p))|fint(MSI) 且∪p∈·tS(MSI)使fI(t)為真。

證明：[必要性]

1)當(dāng)t∈TO∪TD時(shí)，如果M[t>，由定義3的1)得

?p∈·t:E(p,t) 〈b〉≤M(p)。

假設(shè)多重集E(p,t)〈b〉與多重集M(p)的類型元素集合均為Elem= (e1,e2, …,en)，E與素?cái)?shù)集Dn=(d1,d2, …,dn)在元素上一一對(duì)應(yīng)。E(p,t)〈b〉類型元素集合的系數(shù)集合為HE(Elem) = (hE1,hE2, …,hEn)，M(p)類型元素集合的系數(shù)集合為HM(E) = (hM1,hM2, …,hMn)。

2)當(dāng)t∈TI∪TL，如果M[t>，由定義3的2)有?p∈·t，?MSI∈E(p,t)〈b〉，使得MSI≤M(p)，類似于(1)的證明過(guò)程，將E(p,t)〈b〉替換為MSI，可得?fint(MSI)∈fint(E(p,t)〈b〉)，使得fint(M(p))|fint(MSI)，同時(shí)由M[t>可得∪p∈·tS(MSI)使fI(t)為真。

[充分性]

2)對(duì)于t∈TI∪TL，由?fint(MSI)∈fint(E(p,t)〈b〉)，使得fint(M(p))|fint(MSI)，且在∪p∈·tS(MSI)使fI(t)為真的前提下，類似于(1)的證明過(guò)程，將E(p,t)〈b〉替換為MSI，可得MSI≤M(p)，因此M[t>。[證畢]

根據(jù)定理1，下面給出變遷的使能判定算法。

算法1變遷使能判定算法

輸入：ECLPN={Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}，M∈R(M0)，t∈T；

輸出：t是否使能

Step0：若t∈TD∪TO，則進(jìn)入Step1，否則進(jìn)入Step2；

Step1：對(duì)?p∈·t，判定是否有fint(M(p)) |fint(E(p,t)〈b〉)成立，若成立，則輸出t使能，否則輸出t不使能；

Step2：對(duì)?p∈·t，判斷在E(p,t)〈b〉中是否存在一個(gè)表達(dá)式MSI對(duì)應(yīng)的整數(shù)fint(MSI)，使得fint(M(p)) |fint(MSI)成立，若存在，則進(jìn)入Step3，否則輸出t不使能；

Step3：對(duì)?p∈·t，判斷∪p∈·tS(MSI)能否讓fI(t) |M為真，若為真則輸出t使能，否則輸出t不使能。

對(duì)于一個(gè)給定變遷，算法1給出了判定其使能的方法。如果t∈TD∪TO，只需要判斷?p∈·t，fint(M(p)) |fint(E(p,t)〈b〉)是否成立即可。因此，其時(shí)間復(fù)雜度為O(m)，m是t前集中庫(kù)所的數(shù)量。如果t∈TI∪TL，則需要判斷在?p∈·t，E(p,t)〈b〉中是否存在一個(gè)表達(dá)式MSI對(duì)應(yīng)的整數(shù)fint(MSI)，使得fint(M(p)) |fint(MSI)成立，判斷邏輯表達(dá)式fI(t) |M能否成立只需代入即可判斷，故其時(shí)間復(fù)雜度為O(m×n)，n為E(p,t)〈b〉中表達(dá)式的數(shù)量。另一方面，在[11]中定理1給出的向量匹配方法也可以判定變遷是否使能，如果t∈TD，則需要將t的使能向量Vi與標(biāo)識(shí)M按位比較，因此其時(shí)間復(fù)雜度為O(r)，r為CLPN中全體庫(kù)所的數(shù)目。如果t∈TI∪TO，則需要首先在邏輯輸入/輸出向量組中找到一個(gè)符合邏輯條件的向量，然后再與標(biāo)識(shí)M按位比較。假設(shè)邏輯輸入/輸出向量組中有s個(gè)向量，判斷是否符合邏輯條件需要進(jìn)行r位向量的按位比較，找出符合條件的向量V之后，需要將V與M按位比較，則這個(gè)過(guò)程的時(shí)間復(fù)雜度為O(s×r2)。雖然對(duì)于t∈TD，有O(m) =O(r)，但是，對(duì)于t∈TI，有O(m×n)

2.3 顏色邏輯關(guān)聯(lián)矩陣與可達(dá)標(biāo)識(shí)方程

雖然由于系統(tǒng)中數(shù)據(jù)的不確定性，邏輯輸入變遷與邏輯變遷使能的標(biāo)識(shí)不止一種，同時(shí)邏輯輸出變遷或者邏輯變遷發(fā)生后產(chǎn)生的標(biāo)識(shí)也不止一種，但是在實(shí)際工作流程中，每個(gè)庫(kù)所中有色托肯的分布是確定的，對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的整數(shù)。因此，為了方便可達(dá)標(biāo)識(shí)的表示與計(jì)算，下面定義輸出矩陣與輸入矩陣。

根據(jù)輸入矩陣與輸出矩陣，給出ECLPN關(guān)聯(lián)矩陣的定義。

定義6假設(shè)ECLPN= {Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}，則ECLPN的顏色邏輯關(guān)聯(lián)矩陣(colored logic incidence matrix)可以表示如下：

AM=[aij]n×m，

如果ECLPN中的一個(gè)變遷發(fā)生，那么一步可達(dá)標(biāo)識(shí)的計(jì)算公式可以由下面結(jié)論給出。

定理2設(shè)ECLPN={Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}，M∈R(M0)，AM是顏色邏輯關(guān)聯(lián)矩陣，AMi*表示AM的第i行向量。對(duì)于t∈T，若M[t>M′，則標(biāo)志從中元素按AM中列標(biāo)簽(庫(kù)所)順序排列之后得到向量VM，M′對(duì)應(yīng)的向量為VM′，

fint(VM′) =fint(VM) ?AMi*。

(1)

其中fint(VM) ?AMi*表示fint(VM)與AMi*進(jìn)行按位乘法運(yùn)算。

證明：

2.4 ECLPN的可達(dá)樹(shù)

下面提出ECLPN的可達(dá)樹(shù)構(gòu)造算法。

算法2：ECLPN可達(dá)樹(shù)構(gòu)造算法

輸入：ECLPN= {Σ,P,T,A,N,C,G,E,Init,I,O,M}；

輸出：ECLPN的可達(dá)樹(shù)RT

Step0：初始化

Step0.1：將初始標(biāo)識(shí)M0用Init函數(shù)初始化，得到庫(kù)所集P0= {p0|M0(p0)≠?}；

Step0.2：根據(jù)實(shí)際運(yùn)行情況來(lái)初始化ECLPN中每條有向弧上面的表達(dá)式；

Step0.3：用顏色集Σ指定托肯的類型，構(gòu)造綁定b。

Step1：將初始標(biāo)識(shí)M0對(duì)應(yīng)的整數(shù)fint(M0)作為RT的根節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)記為“新”；

Step2：若存在一個(gè)“新”節(jié)點(diǎn)，將其標(biāo)記為M，并執(zhí)行以下操作

Step2.1：在此標(biāo)識(shí)下，對(duì)每個(gè)t∈T，根據(jù)算法1判斷是否使能，可得到在當(dāng)前標(biāo)識(shí)下所有使能的變遷，根據(jù)定理2的一步可達(dá)標(biāo)識(shí)的計(jì)算公式可以得到新可達(dá)標(biāo)識(shí)對(duì)應(yīng)的整數(shù)，將這個(gè)整數(shù)形成節(jié)點(diǎn)，并將這些節(jié)點(diǎn)標(biāo)記為“新”；從M到所有“新”節(jié)點(diǎn)用一條有向弧連接，箭頭指向“新”節(jié)點(diǎn)，并且在弧上標(biāo)記引發(fā)的變遷，刪除M上的“新”；

Step2.2：如果從M0到M的有向路上存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)Node，使得Node=M，那么在節(jié)點(diǎn)M上標(biāo)注為“舊”，并返回到Step2；

Step2.3：如果?t∈T：M[t>，則在節(jié)點(diǎn)M上標(biāo)注為“端點(diǎn)”，并返回Step2。

算法2的主要計(jì)算過(guò)程集中在Step2.1判斷變遷使能與計(jì)算新可達(dá)標(biāo)識(shí)上。

1)對(duì)于判斷變遷使能的過(guò)程，前面的討論已經(jīng)得出算法1在時(shí)間復(fù)雜度上比[11]的定理1低。

2)對(duì)于計(jì)算新可達(dá)標(biāo)識(shí)的過(guò)程，在算法2中，根據(jù)公式(1)，對(duì)于?t∈T，因?yàn)樾枰M(jìn)行按位乘法，所以其時(shí)間復(fù)雜度為O(u×rE)，rE為ECLPN中全體庫(kù)所的數(shù)目，u是當(dāng)前標(biāo)識(shí)下使能變遷的數(shù)量。另一方面，在[11]中的算法1，對(duì)于?t∈T，因?yàn)樾枰M(jìn)行向量的按位加法，所以其時(shí)間復(fù)雜度為O(u×r)，r為CLPN中全體庫(kù)所的數(shù)目。

由O(u×rE) =O(u×r)以及(1)，可得算法2比[11]中可達(dá)樹(shù)構(gòu)造算法(算法1)時(shí)間復(fù)雜度低。

3 實(shí)例對(duì)比分析

在本節(jié)首先給出一個(gè)電子商務(wù)的實(shí)例，然后分別用CLPN[11]和ECPLN建立模型CLPNEC和ECLPNEC，并進(jìn)行對(duì)比分析。

3.1 電子商務(wù)實(shí)例

對(duì)于一個(gè)電子商務(wù)系統(tǒng)，在一次交易過(guò)程中，通常不僅僅存在一個(gè)買方和一個(gè)賣方，本節(jié)以一個(gè)賣方和兩個(gè)買方進(jìn)行的交易過(guò)程為例。這個(gè)過(guò)程要求模型具有批處理功能和應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)傳值不確定性的方法。利用[13]中圖3.3的LPN模型來(lái)描述一次交易的流程，用Seller代表賣家，分別用B1和B2表示買家1和買家2。開(kāi)始時(shí)，Seller向B1和B2發(fā)送廣告(s_offer)告知Seller處有商品。B1收到廣告(r_B1_offer)后，如果購(gòu)買，則會(huì)向Seller下訂單(s_B1_order)。Seller收到訂單(r_order)之后開(kāi)始準(zhǔn)備貨物。B2收到廣告(r_B2_offer)后，如果不購(gòu)買，那么執(zhí)行拒絕操作(B2_refuse)。B2在本次流程中任務(wù)完成，初始化(tB2)后等待開(kāi)始新的流程。Seller的貨物準(zhǔn)備完畢之后向B1發(fā)送貨物(s_goods)，B1收到貨物(r_B1_goods)之后向Seller付錢(s_B1_money)。B1在本次流程中任務(wù)完成，初始化(tB1)后等待開(kāi)始新的流程。Seller在收到錢(r_money)后在本次流程中任務(wù)完成，結(jié)束系統(tǒng)流程(end)后進(jìn)行初始化(tS)，等待開(kāi)始新流程。

3.2 電子商務(wù)實(shí)例的模型CLPNEC

在[13]中圖3.3的模型LPN=(P,T,F,I,O,M)基礎(chǔ)上定義托肯顏色集C，可容顏色集[11]IC(P)，即可得電子商務(wù)實(shí)例的CLPNEC模型。其中，C= {2, 3, 5},IC(P) = {IC(iS) = {2},IC(iB1) = {3},IC(iB2) = {5},IC(B1_offer) = {2},IC(B2_offer) = {2},IC(p11) = {3},IC(p1) = {2},IC(p21) = {5},IC(B1_order) = {3},IC(B2_order) = {5},IC(p12) = {3},IC(p2) = {2},IC(p22) = {5},IC(B1_goods) = {3},IC(B2_goods) = {5},IC(p13) ={3},IC(p3) = {2},IC(p23) = {5},IC(B1_money) = {3},IC(B2_money) = {5},IC(OB1) = {3},IC(OB2) = {5},IC(p4) = {2},IC(OS) = {2}}，包含庫(kù)所24個(gè)，變遷18個(gè)，有向弧52條。

下面構(gòu)建模型CLPNEC的可達(dá)樹(shù)。用向量表示CLPNEC的可達(dá)標(biāo)識(shí)。向量中每一位數(shù)值對(duì)應(yīng)庫(kù)所為：{iS,iB1,iB2,B1_offer,B2_offer,p11,p1,p21,B1_order,B2_order,p12,p2,p22,B1_goods,B2_goods,p13,p3,p23,B1_money,B2_money,OB1,OB2,p4,OS}。假設(shè)在這個(gè)電子商務(wù)實(shí)例中，其初始標(biāo)識(shí)為M0= {111000000000000000000000}。根據(jù)[11]的算法1構(gòu)建出的可達(dá)樹(shù)分別如圖1、2所示。

圖1為兩購(gòu)買者流程CLPNEC的可達(dá)樹(shù)，B1和B2均從Seller購(gòu)買貨物。為了降低可達(dá)樹(shù)的規(guī)模，在構(gòu)建CLPNEC可達(dá)樹(shù)圖1的過(guò)程中應(yīng)用規(guī)則：可以并發(fā)的變遷前后相鄰發(fā)生，也就是這兩個(gè)變遷之間不能有其他變遷發(fā)生。

圖1 兩購(gòu)買者流程的CLPNEC可達(dá)樹(shù)Fig. 1 CLPNEC RT for two purchasers process

其中，每個(gè)可達(dá)標(biāo)識(shí)的托肯分布如下：

M0= {111000000000000000000000}，M1= {011110100000000000000000}，

M2= {001011100000000000000000}，M3= {010100110000000000000000}，

M4= {000001110000000000000000}，M5= {000000111010000000000000}，

M6= {000001100100100000000000}，M7= {000000101110100000000000}，

M8= {000000000011100000000000}，M9= {000000000010111010000000}，

M10= {000000000000101110000000}，M11= {000000000010010011000000}，

M12= {000000000000000111000000}，M13= {000000000000000011101000}，

M14= {000000000000000110010100}，M15= {000000000000000010111100}，

M16= {010000000000000010110100}，M17= {001000000000000010111000}，

M18= {011000000000000010110000}，M19= {011000000000000000000010}，

M20= {011000000000000000000001}。

圖1中可達(dá)標(biāo)識(shí)的數(shù)量為20。

圖2為單購(gòu)買者流程CLPNEC的可達(dá)樹(shù)，B1從Seller購(gòu)買貨物，B2不購(gòu)買貨物。為了降低可達(dá)樹(shù)規(guī)模，在構(gòu)建CLPNEC可達(dá)樹(shù)圖2的過(guò)程中應(yīng)用下面的規(guī)則：

圖2 單購(gòu)買者流程的CLPNEC可達(dá)樹(shù)Fig. 2 CLPNEC RT for one purchaser process

圖3 電子商務(wù)實(shí)例的ECLPNEC模型Fig. 3 ECLPNEC for an E-commerce instance

1)tB1，tB2，tS，使能時(shí)優(yōu)先發(fā)生。

2)r_B1_offer與r_B2_offer之間不能有其它變遷發(fā)生。

3)s_B1_order與B2_refuse之間不能發(fā)生其它變遷。

4) 1)的優(yōu)先級(jí)高于2)、3)的優(yōu)先級(jí)。

同理，可以寫出每個(gè)可達(dá)標(biāo)識(shí)的托肯分布，此處省略。圖2中可達(dá)標(biāo)識(shí)的數(shù)量為16。

由于無(wú)購(gòu)買者與兩個(gè)購(gòu)買者的購(gòu)買流程是等價(jià)的，故省略無(wú)購(gòu)買者購(gòu)買過(guò)程。

CLPN在其定義中限制了庫(kù)所的容量為1，導(dǎo)致其庫(kù)所中不能存在兩個(gè)及兩個(gè)以上的托肯。因此，如果要描述多個(gè)子系統(tǒng)的并發(fā)過(guò)程，須為每個(gè)子系統(tǒng)都建立一個(gè)子網(wǎng)。而ECLPN將相同結(jié)構(gòu)的多個(gè)子系統(tǒng)用一個(gè)子網(wǎng)表示，且在這個(gè)子網(wǎng)中，用不同顏色的托肯表示不同子系統(tǒng)并發(fā)過(guò)程。

3.3 電子商務(wù)實(shí)例的模型ECLPNEC

電子商務(wù)實(shí)例的ECLPN模型ECLPNEC如圖3所示，其中變遷B_refuse，s_B_order，r_order，s_goods，r_B_goods，s_B_money與tB是邏輯變遷，r_money是邏輯輸入變遷，邏輯表達(dá)式在下文給出。在ECLPNEC中，顏色集∑= {s,b1,b2}，s代表Seller，b1代表B1，b2代表B2。∑對(duì)應(yīng)的素?cái)?shù)集為D3= {2, 3, 5}，綁定b= {v1=s,v2=b1,v3=b2}，在網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行過(guò)程中不發(fā)生改變。

與CLPNEC相比，ECLPNEC將具有相同結(jié)構(gòu)的買家子系統(tǒng)B1和B2用一個(gè)子系統(tǒng)Buyer來(lái)代替，賣家子系統(tǒng)Seller不變。在子系統(tǒng)Buyer中，通過(guò)使用不同的顏色來(lái)表示托肯的來(lái)源，不同顏色托肯的運(yùn)行過(guò)程表示不同子系統(tǒng)的運(yùn)行流程。變遷輸入弧上的表達(dá)式表示變遷發(fā)生時(shí)需要的托肯數(shù)量和顏色，變遷輸出弧上的表達(dá)式表示變遷發(fā)生后向其后集輸入的托肯數(shù)量與顏色。有向弧上表達(dá)式根據(jù)系統(tǒng)的具體情況進(jìn)行設(shè)置。ECLPNEC中包含庫(kù)所15個(gè)，變遷12個(gè)，有向弧32條。

下面根據(jù)算法1構(gòu)建ECLPNEC的可達(dá)樹(shù)，用向量表示ECLPNEC的可達(dá)標(biāo)識(shí)，向量中的每一位對(duì)應(yīng)的庫(kù)所為{iS,iB,B_offer,p11,p1,B_order,p12,p2,B_goods,p13,p3,B_money,OB,p4,OS}，其初始標(biāo)記M0= {s,b1+b2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}，整數(shù)化之后得到fint(M0) = {2, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}。

在ECLPNEC中，

1)B_refuse是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=·T·∨b1∨b2。

2)s_B_order是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=·T·∨b1∨b2。

3)r_order是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=s∧(·T·∨b1∨b2)。

4)s_goods是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=s∧(·T·∨b1∨b2)。

5)r_B_goods是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=·T·∨b1∨b2。

6)s_B_money是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=·T·∨b1∨b2。

7)tB是邏輯變遷，其邏輯輸入輸出表達(dá)式均為fI=fO=b1∨b2。

8)r_money是邏輯輸入變遷，其邏輯輸入表達(dá)式為fI=s∧(·T·∨b1∨b2)。

9) 其余變遷均為普通變遷。

ECLPNEC有向弧上的表達(dá)式如下所示：

1)變遷的輸入弧

(a)E(iS,s_offer)〈b〉= (s),fint(E(iS,s_offer)〈b〉) = 2；

(b)E(iB,r_B_offer)〈b〉 = (b1+b2),fint(E(iB,r_B_offer)〈b〉) = 15；

(c)E(B_offer,r_B_offer)〈b〉 = (s),fint(E(iB,r_B_offer)〈b〉) = 2；

(d)E(p1,r_order)〈b〉 = (s),fint(E(p1,r_order)〈b〉) = 2；

(e)E(p11,s_B_order)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(p11,s_B_order)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(f)E(p11,B_refuse)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(p11,B_refuse)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(g)E(B_order,r_order)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(B_order,r_order)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(h)E(p2,s_goods)〈b〉 = (s,s+b1,s+b2,s+b1+b2),fint(E(p2,s_goods)〈b〉) = (2, 6, 10, 30)；

(i)E(p12,r_B_goods)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(p12,r_B_goods)〈b〉) = (1, 3, 5, 15);

(j)E(B_goods,r_B_goods)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(B_goods,r_B_goods)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(k)E(p3,r_money)〈b〉 = (s),fint(E(p3,r_money)〈b〉) = 2；

(l)E(p13,s_B_money)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(p13,s_B_money)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(m)E(B_money,r_money)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(B_money,r_money)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(n)E(OB,tB)〈b〉 = (b1,b2,b1+b2),fint(E(OB,tB)〈b〉) = (3, 5, 15)；

(o)E(p4,end)〈b〉 = (s),fint(E(p4,end)〈b〉) = 2；

(p)E(OS,tS)〈b〉 = (s),fint(E(OS,tS)〈b〉) = 2。

2)變遷的輸出弧

(a)E(s_offer,p1)〈b〉 = (s),fint(E(s_offer,p1)〈b〉) = 2；

(b)E(s_offer,B_offer)〈b〉 = (s),fint(E(s_offer,B_offer)〈b〉) = 2；

(c)E(r_B_offer,p11)〈b〉 = (b1+b2),fint(E(r_B_offer,p11)〈b〉) = 15；

(d)E(B_refuse,OB)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(B_refuse,OB)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(e)E(s_B_order,p12)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(s_B_order,p12)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(f)E(s_B_order,B_order)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(s_B_order,B_order)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(g)E(r_order,p2)〈b〉 = (s,s+b1,s+b2,s+b1+b2),fint(E(r_order,p2)〈b〉) = (2, 6, 10, 30)；

(h)E(s_goods,p3)〈b〉 = (s),fint(E(s_goods,p3)〈b〉) = 2；

(i)E(s_goods,B_goods)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(s_goods,B_goods)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(j)E(r_B_goods,p13)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(r_B_goods,p13)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(k)E(s_B_money,OB)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(s_B_money,OB)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(l)E(s_B_money,B_money)〈b〉 = (?,b1,b2,b1+b2),fint(E(s_B_money,B_money)〈b〉) = (1, 3, 5, 15)；

(m)E(r_money,p4)〈b〉 = (s),fint(E(r_money,p4)〈b〉) = 2；

(n)E(end,OS)〈b〉 = (s),fint(E(end,OS)〈b〉) = 2；

(o)E(tS,iS)〈b〉 = (s),fint(E(tS,iS)) = 2；

(p)E(tB,iB)〈b〉 = (b1,b2,b1+b2),fint(E(tB,iB)) = (3, 5, 15)。

圖4 兩個(gè)購(gòu)買者流程的ECLPNEC可達(dá)樹(shù)Fig. 4 ECLPNEC RT for two purchasers process

得到的可達(dá)樹(shù)分別如圖4、5所示，其中圖4為兩購(gòu)買者流程的ECLPNEC可達(dá)樹(shù)，B1和B2均從Seller購(gòu)買。每個(gè)可達(dá)標(biāo)識(shí)中有色托肯在庫(kù)所中的分布如下：

M0= {2, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，M1= {1, 15, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，

M2= {1, 1, 1, 15, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，M3= {1, 1, 1, 1, 2, 15, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，

M4= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 30, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}，M5= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 1, 15, 1, 2, 1, 1, 1, 1}，

M6= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 15, 2, 1, 1, 1, 1}，M7= {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 15, 15, 1, 1}，

M8= {1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 15, 1, 1, 1}，M9= {1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1}。

M10= {1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2}。

圖4中可達(dá)標(biāo)識(shí)數(shù)量為10。圖5為單購(gòu)買者流程的ECLPNEC可達(dá)樹(shù)，B1從Seller購(gòu)買貨物，B2不購(gòu)買。為了降低可達(dá)樹(shù)的規(guī)模，同時(shí)為了方便同CLPNEC比較，在構(gòu)建ECLPNEC可達(dá)樹(shù)(圖5)的過(guò)程中應(yīng)用下面的規(guī)則：

圖5 單購(gòu)買者流程的ECLPNEC可達(dá)樹(shù)Fig. 5 ECLPNEC RT for one purchaser process

1)tB使能則優(yōu)先引發(fā)。

2)s_B_order與B_refuse之間不能發(fā)生其他變遷。

3) 1)的優(yōu)先級(jí)高于2)的優(yōu)先級(jí)。

同理可得每個(gè)可達(dá)標(biāo)識(shí)中有色托肯的分布，這里省略。圖5中可達(dá)標(biāo)識(shí)數(shù)量為14。由于無(wú)購(gòu)買者與兩個(gè)購(gòu)買者的購(gòu)買流程是等價(jià)的，故省略無(wú)購(gòu)買者購(gòu)買過(guò)程。通過(guò)表1中數(shù)據(jù)的對(duì)比，可以得到ECLPNEC與CLPNEC在模型規(guī)模上和可達(dá)樹(shù)規(guī)模上的比較。

表1 CLPNEC與ECLPNEC比較Tab. 1 Comparison between CLPNEC and ECLPNEC

從表1可得，ECLPNEC的庫(kù)所數(shù)、變遷數(shù)、模型有向弧數(shù)與兩購(gòu)買者、單購(gòu)買者流程可達(dá)標(biāo)識(shí)數(shù)，均明顯小于CLPNEC，且ECLPNEC的規(guī)模大大降低。在擁有相同描述能力的基礎(chǔ)上，ECLPNEC簡(jiǎn)化了模型結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)束語(yǔ)

改進(jìn)顏色邏輯Petri網(wǎng)的定義，擴(kuò)展了顏色邏輯網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的內(nèi)容和方法，提出變遷的使能條件和引發(fā)規(guī)則。引入多重集類型的素?cái)?shù)表示法，給出ECLPN可達(dá)樹(shù)的構(gòu)造算法，并用素?cái)?shù)表示法給出判斷變遷使能定理，定義了顏色邏輯關(guān)聯(lián)矩陣，給出一步可達(dá)標(biāo)識(shí)的計(jì)算公式以及可達(dá)樹(shù)的構(gòu)造方法。最后，針對(duì)一個(gè)電子商務(wù)實(shí)例，分別用CLPN方法和ECLPN方法構(gòu)建模型與可達(dá)樹(shù)并進(jìn)行比較分析。分析結(jié)果例證了ECLPN在擁有與CLPN相同描述能力的同時(shí)，具有更加簡(jiǎn)潔的模型結(jié)構(gòu)和較低的復(fù)雜度。下一步將研究ECLPN的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性質(zhì)分析方法，如活性、公平性等，并給出更多的ECLPN應(yīng)用領(lǐng)域。