從“形”觀“數(shù)（shù）”，從“數(shù)（shǔ）”現(xiàn)“律”

張玉平

一、課前思考

（一）從乘法的意義來看

乘法的意義即“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”。 課改前，“5+5+5”必須寫成“5×3”，而“3+3+3+3+3”必須寫成“3×5”，遵循“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”。課改后，為降低教和學的難度而淡化了這部分要求，導致學生對乘法的意義理解模糊，“3×5”既可以表示5個3相加的和，也可以表示3個5相加的和。不講任何道理，違背學生認識的常識，這樣的“模糊”以至于乘法交換律的教學顯得多余。教學中，我們還是應對學生說明，這兩個算式表示不同的過程，但結(jié)果一樣。這樣也有利于學生理解分數(shù)與整數(shù)相乘和整數(shù)乘分數(shù)的意義：前者是整數(shù)思維，后者是分數(shù)思維。如果當學生對 ? ×3和3× ? 的意義尚且不清楚時，就輕易地說 ? ×3也可以寫成3× ? ，是不是太武斷了？

乘法是加法的簡便運算，所以，加法有的運算律乘法自然也有。這需要我們在教學中打通加法運算定律和乘法運算定律之間的聯(lián)系：一是觀察上的相同，二是形式上的相同，三是敘述上的相同。此外，還要打通乘法交換律與結(jié)合律之間的聯(lián)系。如果把乘法結(jié)合律中先算的兩個數(shù)的積看作是一個新數(shù)的話，那么其本質(zhì)就是乘法交換律了。說得更明白點，就是：a×b×c=a×（b×c）。如果把b做標準，它可以先與a乘，也可以先與c乘，這事實上就是a與c進行交換;同樣，a可以先與b乘，也可以先與c乘，這就是a與c交換;另外，c可以與b相乘，也可以先與a相乘，那么就是a與b進行了交換。

（二）從學習心理學來看

根據(jù)現(xiàn)代學習心理學的研究，學生對加法、乘法的意義及其運算定律的理解，其本源在于“數(shù)數(shù)”的操作活動。因為運算定律不是“寫出來的”，也不是“算出來的”。非常遺憾的是，現(xiàn)在教材中提到交換律、結(jié)合律，就是讓學生用兩個數(shù)來驗證一下，然后要學生分組舉很多例子去歸納出規(guī)律成立，至于為什么可以交換，沒有從本源上說清道理?！皵?shù)數(shù)”這樣的基本數(shù)學活動要成為學生理解自然數(shù)運算規(guī)律的一把鑰匙。數(shù)形結(jié)合，主要是指數(shù)與形之間的一一對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維和形象思維的融合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，讓思維可視。如，教學乘法交換律時，教師可以讓學生經(jīng)歷這樣四個過程：直觀表征→半直觀半抽象表征→模式表征→抽象表征。

首先是用“數(shù)數(shù)”的操作活動，以及“豎著數(shù)”“橫著數(shù)”這樣的生活語言，說明“3×5=5×3”等式成立的合理性。另外，從這兩個算式的計算方法上看，我們用同樣的一句口訣“三五十五”，也就是說，我們以前歸納乘法口訣時已經(jīng)用上了乘法交換律。更為奇妙的是，我們觀察算式“3×5=5×3”，從前往后讀與從后往前讀是完全一樣的！接著，利用“面積模型”建構(gòu)等式：3×5=5×3，最后抽象為字母表達：a×b=b×a。

這樣學生的認識就是一個由淺入深的過程，也是一個不斷抵達數(shù)學本質(zhì)的過程。因為運算律是運算的主要性質(zhì)，反映了運算的規(guī)律性。學習運算律不僅是為了計算簡便，更為重要的是發(fā)展學生對于數(shù)與運算意義的理解，培養(yǎng)數(shù)學計算與學習的能力。小學數(shù)學運算律的教學，應基于數(shù)學本質(zhì)，引導學生在“數(shù)數(shù)”的基本活動中體驗數(shù)學方法、感悟數(shù)學思想，體現(xiàn)對數(shù)學知識體系的建構(gòu)。

二、課堂實踐

（一）談話導入

1. 回憶：上節(jié)課學的加法定律，用字母表示。

加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)位置，和不變，即a+b=b+a.

加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先加前面兩個數(shù)或先加后兩個數(shù)，和不變，即a+b+c=a+（b+c）.

2.猜想：既然乘法是加法的簡便運算，那么在乘法中是否也會存在如此的運算定律？這是我們今天學習的課題：乘法交換律、乘法結(jié)合律。

（二）重點突破

同學們分成3組踢毽子，每組5人，一共有多少人在踢毽子？

1.如果孩子們是在操場上排隊進行比賽，你能用圖表示出來嗎？

2.引導學生畫出長方形圖。

兩種不同的“數(shù)數(shù)”方法：

豎著數(shù)有5個3，是3×5=15

橫著數(shù)有3個5，是5×3=15

乘法口訣都是“三五十五”

說明：“數(shù)數(shù)”的方法與過程不同，但是結(jié)果是相同的。

3.觀察上面的兩個算式：都是兩個數(shù)相乘，而積卻不變，變化的是什么？由此我們可以得到什么等式？

兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變，3×5=5×3。

4.轉(zhuǎn)化為用長方形面積的模型及字母表示乘法交換律。

5.比較加法交換律與乘法交換律，然后猜想乘法結(jié)合律。

加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變，即a+b=b+a.

乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變，即a×b=b×a.

引導推想：

加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先加前兩個數(shù)或先加后兩個數(shù)，和不變，即a+b+c=a+（b+c）.

乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先乘前兩個數(shù)或先乘后兩個數(shù)，積不變，即a×b×c=a×（b×c）.

（三）自主探究

華豐小學舉行跳繩比賽，規(guī)定每個班選派4人參加，四、五、六年級分別有5個班，四、五、六年級一共要選派多少人參加比賽？

1.把題中的條件填在方格圖中。（教師分步畫，然后讓學生思考每一步表示什么意思）

2.列出兩個綜合算式并計算。

3.根據(jù)結(jié)果寫出等式。

4.比較兩個算式計算的簡便性。

（四）求通求聯(lián)

乘法交換律和乘法結(jié)合律的聯(lián)系：

如果把第二個數(shù)b做標準，它既可以先乘a，也可以先乘c，積不變，那它的實質(zhì)就是a與c兩個乘數(shù)交換了位置，即a×b×c=c×b×a。其他也都可以這么思考。如，從積不變的規(guī)律的角度思考： 如果把兩個數(shù)相乘的積看作一個數(shù)的話，那么相乘的數(shù)一定相同（如右圖）。還可以辨析思考：減法和除法會有以上的運算定律嗎？

（責任編輯：奚春皓）