“因式分解”易錯點辨析

文郝金良

整式乘法與因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分式和根式運算、函數(shù)等的基礎(chǔ)，在后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義，同時，也是學(xué)習(xí)物理、化學(xué)等其他學(xué)科時，不可缺少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。

對于整式乘法的學(xué)習(xí)，因為有了整式加減的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，同學(xué)們可以很容易地完成類比和遷移，將有理數(shù)乘法的研究思路和方法，與整式乘法聯(lián)系起來，將“數(shù)”的運算擴(kuò)充到“式”的運算。但對于因式分解，很多同學(xué)卻難以理解。因為因式分解不屬于“式”的運算，而是從“逆向”的角度進(jìn)行“式”的恒等變形。只有弄清因式分解的本質(zhì)，才能避免混淆。下面對常見錯誤類型進(jìn)行歸納，以幫助同學(xué)們加深理解，提高解題能力。

一、概念理解要清晰，由“和”到“積”莫模糊

例1 因式分解：

（1）（x+y）2-x2；（2）x2-4x+4。

【錯解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）

=（2x+y）y=y2+2xy。

【錯因】因式分解是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，是由“和”到“積”的過程。由（1）可以發(fā)現(xiàn)，該同學(xué)會用平法差公式進(jìn)行因式分解，但在求得結(jié)果后，該同學(xué)又進(jìn)行了整式的計算，將“積”的形式又化為了“和”的形式。由（2）可以發(fā)現(xiàn)，該同學(xué)直接進(jìn)行了提取，但剩余的多項式并不是整式。這兩種錯誤，本質(zhì)原因是對因式分解的概念不清楚。

【正解】（1）原式=（x+y+x）（x+y-x）=（2x+y）y。

（2）原式=（x-2）2。

二、公因式要找準(zhǔn)，全部提取莫漏“1”

例2 因式分解：

（1）6m2n-9mn；（2）（a+b）2-a-b。

【錯解】（1）原式=mn（6m-9）。

（2）原式=（a+b）2-（a+b）

=（a+b）（a+b）

=（a+b）2。

【錯因】提公因式法是最基本的，也是最重要的因式分解的方法。由（1）可以發(fā)現(xiàn)，提公因式時，對數(shù)字系數(shù)和字母應(yīng)分別進(jìn)行考慮。如果是整數(shù)系數(shù)，就應(yīng)該提最大公約數(shù)。為避免錯誤，在學(xué)習(xí)的前期，同學(xué)們可以把公因式單獨寫出來，以示醒目。由（2）可以發(fā)現(xiàn)，提公因式的本質(zhì)是逆用乘法分配律，所以對一項進(jìn)行整體提取后，還剩“1”，這里一定要避免漏項。我們可以在因式分解完成后，按照整式乘法，把因式再乘回去，看結(jié)果是否與原式相等。如果相同就說明沒有漏項，否則就漏項了。

【正解】（1）6m2n-9mn=3mn（2m-3）。

（2）（a+b）2-a-b=（a+b）（a+b-1）。

三、套用公式要謹(jǐn)慎，認(rèn)清a、b是前提

例3 因式分解

（2）（4a2+b2）2-16a2b2。

【錯解】（1）原式

（2）原式=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2-4ab）2=（2a-b）4。

【錯因】對于（1），該同學(xué)可以根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解，但對于平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的運用出現(xiàn)了錯誤，沒有認(rèn)清多項式中的a、b。本題應(yīng)先轉(zhuǎn)化的形式。然后我們可以很容易發(fā)現(xiàn)，公式中的“a”，再套用公式，就不易出錯。對于（2），該同學(xué)混淆了平方差公式與完全平方公式，錯誤地認(rèn)為a2-b2=（a-b）2。本質(zhì)上還是對公式的理解不夠透徹，對公式的認(rèn)識僅僅停留在記憶層面，對公式的運用僅僅停留在“臨摹”階段，沒有完全掌握公式的模型特征，更談不上主動變形建模。

【正解】

（2）（4a2+b2）2-16a2b2=（4a2+b2）2-（4ab）2

=（4a2+b2+4ab）（4a2+b2-4ab）

=（2a+b）（22a-b）2。

四、恒等變形有技巧，分解一定要徹底

例4 因 式 分 解 ：（2）-12+12x4。

【錯解】（1）錯誤1：原式；錯誤2：原式=-a2b2+4ab-4=-（ab-2）2。

（2）原式=12（x4-1）=12（x2+1）（x2-1）。

【錯因】對于（1），錯誤1和錯誤2都是沒有理解因式分解的恒等變形本質(zhì)。錯誤1直接改變了式子整體的符號；錯誤2將式子整體擴(kuò)大了4倍。此題因式分解的難點在于前后有兩個“-”號，因此，可以提取因數(shù)“-1”，也可以提因數(shù)“，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。（2）的主要問題是分解不徹底，因式分解的結(jié)果中含有還能再分解的因式。這種情況一般出現(xiàn)在提公因式或者利用公式完成第一步分解后。所以同學(xué)們在完成分解后，一定要對結(jié)果進(jìn)行思考，看看還能否用其他方法進(jìn)行因式分解，直到不能再分解為止。

【正解】（1）解法1：原式

（2）原式=12（x4-1）

=12（x2+1）（x2-1）

=12（x2+1）（x+1）（x-1）。