廣東省中山市坦洲實驗中學(xué)(528467) 鄧凱

2019 年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)卷第23 題的第(3)小題是一道看似平常的題,但筆者抽查考生該題的答題情況后回頭琢磨該題的圖形結(jié)構(gòu)及已知數(shù)據(jù),才體會到命題者編制這道題時下足了功夫,這道題不失為一道好題.該題考查考生根據(jù)已知面積關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型的能力,進而測評考生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)推理以及數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).考生解答時能否找到思考的切入口?能否根據(jù)試題搭建的模板建立模型?能否在推理比較中優(yōu)化思維進而尋求最優(yōu)解?這些都能體現(xiàn)考生之間數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異.就本題而言,命題者為考生預(yù)留了多個思考的切入口,搭建了多個數(shù)學(xué)模型的模板,提供了充足的思考空間,為學(xué)生展示其數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供了充足的條件,因此能保證測評考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的信度和效度,從而更真實地測評出學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展情況.

1 試題呈現(xiàn)

(2) 求這兩個函數(shù)的表達式;

(3) 點P在線段AB上,且SΔAOP:SΔBOP=1:2,求點P的坐標(biāo).

圖1

圖2

參考答案: (1) 略;(2) 略;

(3) 如圖2,連接OP、OA、OB,設(shè)直線y=-x+3 與x軸交于點C.

當(dāng)y=0 時,x=3,

∴點C的坐標(biāo)為(3,0).

∵點P在線段AB上,設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3),

2 試題評價

這道試題比較常規(guī),考查的知識點都是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識與核心思想方法,包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)與不等式之間的關(guān)系、三角形的面積等知識,以及數(shù)學(xué)建模、待定系數(shù)法、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.從考生答題情況來看,大多數(shù)考生都能解答第(1)小題和第(2)小題,能順利解答第(3)小題考生不超過半數(shù).本題對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查具有合理的區(qū)分度.

從考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度看這道題,第(1)小題主要考查學(xué)生直觀想象素養(yǎng),當(dāng)學(xué)生理解了根據(jù)圖象理解函數(shù)與不等式之間的關(guān)系之后,直觀函數(shù)圖象即可得到答案;第(2)小題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),當(dāng)學(xué)生理解待定系數(shù)法求函數(shù)解析式之后,通過簡單的解方程和解方程組即可得到答案;第(3)小題能夠綜合考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),已知條件中給出兩個三角形的面積的比,可利用轉(zhuǎn)化與化歸思想將三角形的面積之比變?yōu)閮蓷l線段的長度之比,還可以轉(zhuǎn)化為求兩條線段的長度,部分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)突出的考生還可以直接通過“分點”的性質(zhì)建立模型.事實上,該題為考生預(yù)留了多個思考切入口,考生任意選擇其中一個切入口,只要具備相應(yīng)的直觀想象素養(yǎng)皆可建立數(shù)學(xué)模型,只要具備數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)計算素養(yǎng)就能順利解答本題.

另外,本題圖形簡潔,計算量很小,為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評減少了干擾因素.

3 試題多解

整理抽查的1000 份考生答卷情況,不同于標(biāo)準(zhǔn)答案且符合學(xué)生學(xué)段認(rèn)知的自然解法主要有以下四類六種.

第一類(選擇“面積關(guān)系”列式): 思路類似參考答案,設(shè)點P的坐標(biāo)之后由面積之比列式計算.

解法一(直接求線段AP和PB的長): 如圖3, 連接OP、OA、OB,

設(shè)直線y=-x+3 與x軸交于點C,與y軸交于點D,設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3).

當(dāng)y=0 時,x=3,當(dāng)x=0 時,y=3,

∴點C的坐標(biāo)為(3,0),點D的坐標(biāo)為(0,3).

圖3

圖4

圖5

第二類(根據(jù)“線段長度”列式): 思路是由面積之比轉(zhuǎn)化得到線段之比,設(shè)點P的坐標(biāo)之后由線段之比列式計算.

解法二(直接求線段AP和PB的長): 如圖2, 連接OP,OA,OB,

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AP:PB=1:2.

∵點P在線段AB上,設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3),

整理,得(m-4)2=4(m+1)2,

有考生用同樣的方法根據(jù)AB和PB(或AB與AP)的長度之比列等式求解,但過程比解法二稍微復(fù)雜一些.

解法三(構(gòu)造直角三角形求線段AP和PB的長) :如圖4, 連接OP,OA,OB, 過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N. 設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3),

∵AM=BM=5,

∴ΔABM和ΔPBN都是等腰直角三角形.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴PB:AB=2:3.

第三類(根據(jù)“線段之比”構(gòu)建相似三角形): 思路是由面積之比得到線段之比, 再根據(jù)線段之比構(gòu)建相似三角形,設(shè)點P的坐標(biāo)之后由線段之比列式計算.

解法四如圖4,連接OP,OA,OB,過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N.設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3),

由輔助線的作法可得ΔBAM∽ΔBPN.

∴BN:BM=BP:BA.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2.

∴BN:BM=BP:BA=2:3.

∴(4-m):5=2:3.

有考生過點P作x軸的平行線, 類似地根據(jù)AP和PB(或AB與AP)的長度之比列等式求解,但過程比這種解法四稍微復(fù)雜一些.

解法五如圖5,連接OP,OA,OB,過點A,B分別作x軸的平行線,與過點P作x軸的垂線交于點M,N.設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m+3),

由輔助線的作法可得ΔAPM∽ΔBPN.

∴AM:BN=AP:BP.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AM:BN=AP:BP=1:2.

∴(m+1):(4-m)=1:2.

有考生由ΔAPM∽ΔBPN得PM:PN=AP:BP,然后列式求解的,與解法五基本上是一樣的.

第四類(根據(jù)等分點性質(zhì)計算): 思路是由面積之比得到點P為線段AB的三等分點,再三等分點的性質(zhì)計算出點P的坐標(biāo).

解法六如圖4,連接OP,OA,OB,過點A,P分別作x軸的垂線,與過點B作x軸的平行線交于點M,N.

由輔助線的作法可得ΔBPN∽ΔBAM.

∴BN:BM=BP:BA.

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴BN:BM=BP:BA=2:3.

即點N為線段BM的三等分點.

∵BM=5,

以上六種解法, 從不同角度展示了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)推理以及數(shù)學(xué)計算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).一方面,說明這道題是一道好題,既能促成學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的展示,又能區(qū)分不同數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異,另一方面,我們在平時的教學(xué)中要善于運用類似的問題充分引導(dǎo)學(xué)生進行創(chuàng)新探索,充分發(fā)展他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4 教學(xué)建議

本文所論述的這道題屬于“數(shù)學(xué)建模型”類問題.基于本題及學(xué)生答題情況的抽樣調(diào)查研究,筆者認(rèn)為在數(shù)學(xué)建模類問題解決的課堂教學(xué)中至少應(yīng)該做好三個方面的工作:

4.1 引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)“思維突破”

筆者抽樣的1000 名學(xué)生本題的得分情況如表1:

表1 2019 年廣東省初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)科第23 題得分抽樣調(diào)查統(tǒng)計表

按照評分標(biāo)準(zhǔn),考生做對第(1)小題得2 分,做對第(2)小題得4 分,做對第(3)小題得3 分.從上表可以看出,本題得滿分的人數(shù)只占14%,也就是說就本題考查的數(shù)學(xué)素養(yǎng)而言,達到考查最高要求的人數(shù)并不多.再看得分為7-9 分的人數(shù)的百分比發(fā)現(xiàn),能做第(3)小題并且能得分的考生約占或者略超27%,這就是說大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模或者與本題模型相關(guān)的直觀想象等素養(yǎng)是較弱的,他們存在的問題往往是解決問題時找不到思考的切入口,難以實現(xiàn)“思維突破”.因此,提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)使其由弱到強,抓根務(wù)本的方法就是引導(dǎo)學(xué)生解決問題時能夠找到問題的切入口并實現(xiàn)“思維突破”.以本題的教學(xué)為例,教師可能通過“獨立解決”“小組合作”“成果展示”等活動引導(dǎo)學(xué)生分別將“面積之比”“線段之比”“線段長度”“三等分點”作為建立模型的模板作為切入口,之后不僅讓學(xué)生從不同的切入口建立模型,還要理解各個切入口之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,形成并積累尋找切入口的經(jīng)驗.引導(dǎo)學(xué)生“思維突破”時,可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)各模板選擇或者構(gòu)造不同的幾何基本圖形建立數(shù)量關(guān)系.“思維突破”的過程有時是有規(guī)律可循的,有時是有靈感的,但都需要學(xué)生勇敢地、專注地、執(zhí)著地甚至急切地尋求解決思路.

4.2 激發(fā)學(xué)生堅持“思維優(yōu)化”

我們在平時的觀課議課中發(fā)現(xiàn),一些不注重提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課堂,教師和學(xué)生都是習(xí)慣于解決多個問題,每個問題都以解決為終點.與此相反,一些注重提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的課堂,教師和學(xué)生并不以問題的解決為終點,而是對這個問題探索多種解法并在比較中對問題的解決方案進行優(yōu)化.事實上,優(yōu)化思維是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種很好的方法.我們提出的理念是備課時要精選經(jīng)典題,在課堂教學(xué)中要對經(jīng)典題進行充分的發(fā)散研究,并且在發(fā)散研究的基礎(chǔ)上比較研究,通過思維優(yōu)化才能保質(zhì)保量地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).以本題所述這道題的第(3)小題的教學(xué)為例,教學(xué)中要激發(fā)學(xué)生“一題多解”, 然后讓學(xué)生在多個解答中對比,找到每種解法的優(yōu)勢與不足,找到自己思維的優(yōu)勢與不足,從而通過反思達到“思維優(yōu)化”的目的.我們還主張對問題進行“變式”,然后引導(dǎo)學(xué)生對新的問題“一題多解”并重復(fù)上述過程.

4.3 鼓勵學(xué)生追求“思維創(chuàng)新”

閱卷完返校之后,筆者訪談自己教過的學(xué)生對本題的答題情況,有一位學(xué)生根據(jù)等分點性質(zhì)給出了一種創(chuàng)新解法.

解: 如圖2,連接OP,OA,OB,

∵SΔAOP:SΔBOP=1:2,

∴AP:PB=1:2.

∵A(-1,4),B(4,-1),

我對這位學(xué)生的這種解法很好奇,因為其思想很像“定比分點”公式,我問他是否自學(xué)了高中數(shù)學(xué)課程,他說沒有.他告訴我, 他曾經(jīng)研究過平面直角坐標(biāo)系中線段的中點坐標(biāo)公式的特點, 進而通過一些具體的坐標(biāo)研究并得出了任意兩點之間線段的n等分點坐標(biāo)公式.他的研究結(jié)論是: 已知點A(a,b),B(c,d),若點C為線段AB的n等分點,且

則

事實上,通過代入具體數(shù)據(jù)猜想并驗證確實容易發(fā)現(xiàn)這個公式.據(jù)這位學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,我們在教學(xué)中應(yīng)該更多地為這類學(xué)生創(chuàng)造性學(xué)習(xí)提供資源和機會,鼓勵他們追求思維創(chuàng)新.很明顯,當(dāng)學(xué)生能夠習(xí)慣性地追求思維創(chuàng)新之后何愁其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不強?

總之,我們在教學(xué)中要做的就是選出經(jīng)典的問題,然后就是扎扎實實地引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)“思維突破”, 激發(fā)學(xué)生堅持“思維優(yōu)化”,鼓勵學(xué)生追求“思維創(chuàng)新”.因為這些環(huán)節(jié)或方法才是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行之有效的好方法.