數(shù)學教學問題：角色演變、分類與設計*

華南師范大學數(shù)學科學學院(510631) 劉喆

廣東深圳市寶安區(qū)海旺學校(518133) 王蕾

美國數(shù)學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)曾說：“問題是數(shù)學的心臟”.無論是波利亞(G.Polya)的解題理論、弗賴登塔爾(H.Freudenthal)的“數(shù)學化”“做數(shù)學”,還是80 年代以“問題解決”為旗幟的數(shù)學教育改革、21 世紀“關鍵能力”“核心素養(yǎng)”的風起云涌,以及提問教學、探究式學習、基于項目或問題的學習等教學模式的勃興,都無不體現(xiàn)問題是數(shù)學的核心,為開展數(shù)學教學、實現(xiàn)課程目標提供可能.何謂問題?“在數(shù)學中,問題是那些要求做出解答的任何事物”和“問題……是讓人感到費解或困難的東西”是兩個極端的含義表述[1].對數(shù)學家構成問題的問題是那種“令人費解或困難”的問題,對于學生而言,問題不只是作為常規(guī)練習,用于標準技巧技能的學習,學生有必要在數(shù)學經(jīng)歷中迎接具有相當難度的問題,從而驅使其進入復雜性智力活動,調動高級思維技能,提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.

鑒于問題的教育價值,目前數(shù)學學界聚焦問題的相關研究已經(jīng)十分普遍,主要可以歸納為五類研究主題：數(shù)學問題解決, 數(shù)學問題提出, 數(shù)學問題表征和圖式, 數(shù)學問題情境,數(shù)學問題設計.其中,前四類研究比較恒久、系統(tǒng),而關于數(shù)學教學問題設計研究相對單薄.據(jù)此,本文將聚焦數(shù)學課堂教學設計,把從“要求做出解答的任何事物”到“讓人費解或困難的東西”都定義為問題,進而探討教學問題角色的演變,數(shù)學教學問題分類的理論依據(jù),以及在此基礎上生成的數(shù)學教學問題設計的技術方法.以期研究結果能為一線教師設計高質量數(shù)學教學問題,開發(fā)“淡化形式、注重實質”的教學設計提供參考.

1 數(shù)學教學設計中問題角色的演變

心理學為理解教與學提供基礎,讓我們更好地洞悉學生如何學習,教師應怎樣組織課程內容和教學設計來提升學習.西方心理學派眾多,與教學密切相關的學習理論主要有行為主義,認知主義及其派生的建構主義,它們對知識傳遞和獲取方法給予不同解讀.受三大主義影響和指導, 教學系統(tǒng)設計也經(jīng)歷三代更迭發(fā)展.不同代設計所采取的教學模式、方法及工具均有明顯差異,而“問題”作為教學系統(tǒng)的不變量,其功能角色也發(fā)生一定演變.

20 世紀80 年代以前, 受行為主義學習理論指導, 教師的教居于數(shù)學教學系統(tǒng)設計支配地位, 并導致數(shù)學教育中片面強調“機械練習”(drill practice)[2].因此,教學設計中的問題更多是傳統(tǒng)的數(shù)學題,具有接受性、封閉性和確定性等特征[3].這些問題所蘊含的知識內容是學生熟知的, 通過模仿和操作性練習,基本能夠解決；問題結構是封閉的、良構的(well-structured problem),屬于是何(what)、如何(how)類型,答案通常是確定的；問題功能集中于機械式鞏固操練,有些變式訓練也具有一定挑戰(zhàn)性,但仍強調線性化問題解決,培養(yǎng)學生低層次思維技能.隨著認知派學習理論的出場,學習就是形成“刺激-反應聯(lián)結”的基本立場被打破,教和學的過程和結果被重新界定.在數(shù)學教學中,“刻板地減少問題的復雜性,使得學生們在某種程度上易于完成教師的‘數(shù)學’……形成只能對付那些簡化了復雜性的問題的途徑和策略”[4]的“舒適”局面被徹底打破.80 年代,建構主義逐漸流行,將注重以學生為中心、注重在實際情境中進行教學、注重協(xié)作學習、注重提供充分的資源作為教學的基本思路[5],并據(jù)此提出許多富有創(chuàng)見的教學設計模式.在這些模式中,問題內容側重于開放的、劣構的(ill-structured problem)、為何(how)和若何(if)類型,從脫境化邁向情境化；問題解決強調能動地探究構建過程,從追求應答效率轉向深度理解；問題設計關注個體認知差異,并力圖培養(yǎng)學習者高層次思維技能.

不同學習理論影響教學系統(tǒng)設計路徑,使得教學問題的內容組織與呈現(xiàn),教學與獲取方式,以及達成的學習效果都不盡相同,正因如此,也為教師教學提供更多選擇和設計空間.

2 數(shù)學教學問題分類的理論依據(jù)

著名教學設計專家喬納森(D.H.Jonassen)認為“假設解決不同類型的問題需要不同的技能”是將問題進行分類的主要理由,也致使產(chǎn)生不同形式的教學設計,以支持學習者學會解決不同類型的問題.

2.1 喬納森的問題分類法

喬納森指出問題具有五大外部特征：結構、情境、復雜性、動態(tài)性和領域特殊性,他從結構的連貫性角度,將問題看作一個“良構-劣構”連續(xù)統(tǒng),劃分出11 種問題類型(如表1所示),并給出完整解釋[6].

表1 良構-劣構問題分類表

良構問題具有一個定義完善的初始狀態(tài)(已知)、一個已知的目標狀態(tài)(定義完善的解決方案特性)以及一系列固定的邏輯運算(已知的解決程序)[7],所需知識多為陳述性知識；而劣構問題存在更多的不可知性或不確定性,更傾向于情境化,著眼于問題解決方案的探尋、討論和闡釋,它們往往因任務環(huán)境及相關因素發(fā)生變化而比良構問題更具動態(tài)性,而且受問題所需的知識和技能、加工方式以及跨領域、跨學科解決方案的影響,通常更加復雜.劣構問題需要以良構問題學習為基礎和前提,比如,規(guī)則應用問題需要問題解決者具備邏輯推理能力和算理算法知識以及解決情節(jié)問題的經(jīng)驗.當然,如喬納森所說,這種問題分類觀并不是絕對的、不變的理論,在一定情境中,也存在高度復雜性良構問題或簡單性劣構問題；情節(jié)問題可能是相當情境化的,兩難問題又或許是抽象概括化的.

2.2 4MAT 設計模式的問題分類

基于對學習風格的研究, 麥卡錫(B. McCarthy) 提出4MAT 教學設計系統(tǒng),認為不同學習風格的學習者存在不同問題偏好[8]：想象型學習者偏好“為什么(why)類問題”, 喜歡具體形象內容, 關注自我體驗；分析型學習者擅長“是什么(what)類問題”,善于分析和邏輯推理；常識型學習者重視“怎么樣(how)類問題”,喜歡抽象和應用；活力型學習者偏愛“假如…將會…(if)類問題”,相信直覺,擅長創(chuàng)新.

針對4MAT 模式的問題分類, 祝智庭將“由何(from)”概念引入到問題歸類中,形成“五何”分類法[9]：“是何”表示事實性內容的問題,涉及事實性知識的再現(xiàn)與獲取；“為何”指向表示理由、原理法則、定理和邏輯推理的問題,側重原理性知識的應用和發(fā)展；“如何”指向表示方法、步驟、程序的問題,關注策略性知識的獲取；“若何”指向表示條件變化,可能產(chǎn)生新結論的問題,能夠幫助學習者獲得創(chuàng)造性的知識；“由何”問題強調對各種情境要素的追溯與呈現(xiàn),往往與其他問題融合設計.

2.3 布魯姆認知水平分類法

布魯姆將學生的認知過程全面地分為六個認知類別,并為每一類認知過程提供相應的測評題型[10].根據(jù)布魯姆的認知水平分類法,可以將問題分為六類：(1)記憶類問題,涉及長時記憶中知識的提取,但是回憶和識別并不一定意味機械學習,當回憶知識融入更大的問題情境中就會產(chǎn)生有意義學習；(2)理解類問題,強調新知識與已有認知結構的整合,單憑記憶是無法得到正確答案,解決此類問題的認知過程包括解釋、舉例、分類、推斷、比較和說明等多種形式；(3)應用類問題,涉及學生熟悉或不熟悉的兩種任務類型,對于前者要求能夠程式化地執(zhí)行技能或算法,后者需要學生辨認問題所需程序或對程序加以改進,采用合適技術和方法獲取問題解答；(4)分析類問題,考核區(qū)別、組織和歸因三個認知水平,即能夠將有關和無關信息區(qū)分,建立信息之間的內在聯(lián)系,并對信息進行解構重組；(5)評價類問題,關涉對自己認知過程的監(jiān)控和協(xié)調,以及對自己或他人的成果或假設的評論；(6)創(chuàng)造類問題,涉及獨特的或原創(chuàng)的產(chǎn)品構建,創(chuàng)造過程包括問題表征、方案設計和方案執(zhí)行三個階段.

在學科教學設計中,上述問題分類理論可以為問題內容設計和編列提供理論框架.“良構—劣構”問題連續(xù)體對整體上把握問題編排指向有所啟示；“五何”問題關注不同性質的知識學習,對問題內容設計有很好的指導意義；認知目標分類學視域下的問題分類法強調問題解決所對應的認知過程和認知水平,盡管某些認知任務需要協(xié)同幾類知識和幾種認知過程,但這種分類方法對從教學目標達成的角度來設計問題,仍有很好的借鑒作用.

3 數(shù)學教學問題設計方法及其應用

數(shù)學教學問題設計能為學習者預先構造知識框架,促使學習者高級數(shù)學思維發(fā)展.由于問題種類不同,呈現(xiàn)形式和解決方式有所區(qū)別,使用的教學方法以及學習評價也不盡相同.因此,必須將問題組織置于教學設計的大背景中去拷量,構建出合理的問題設計方法.

3.1 確定教學目標

教學目標是數(shù)學課堂教學的出發(fā)點和歸宿點,是數(shù)學教學設計的核心任務之一,它確定了教什么、達到什么程度,要求與學情、內容等相統(tǒng)一,也是問題設計的重要依據(jù).面向問題設計的目標分析主要從三個方面開展,首先開展課程標準分析,課程標準明確規(guī)定了課程目標和內容標準,是教學目標設計的首要依據(jù)和引領方向.其次,進行教材分析,全面把握教學內容在數(shù)學知識體系中的地位、相應教材內容的編排特點以及例題和習題的編列,以便進一步細化課程標準對教學內容的目標要求.第三,確定目標維度及目標內容,明確教材內容屬性,歸屬相應維度,并運用合適結果目標或過程目標行為動詞合理表述教學目標.

3.2 組織教學內容

組織教學內容是指依照教學目標,重新整合相應教材內容,轉化成層次分明、結構完備的教學內容系統(tǒng).首先,提取教材知識點,按照數(shù)學概念、原理、基本的數(shù)學事實結論對知識點分類,確立哪些知識點屬于言語信息、認知技能抑或動作技能要求范疇.其次,為教材內容賦能,即需要思考,除知識與技能維度目標外,知識點及其對應的例題和習題等在實現(xiàn)過程與方法、情感態(tài)度與價值觀目標維度上能夠發(fā)揮何等功用.然后,教材內容教學化,在明確知識點屬性以及教材內容與教學目標的適配性后,要考慮教學內容的完整性,比如數(shù)學概念教學應該包括哪些內容才是完整的?僅僅記住數(shù)學概念名稱就可以了嗎?顯然, 數(shù)學概念教學應包括名稱、定義、屬性(內涵)和例子(外延)四部分內容.只有理解教材內容的教學特性,并將其轉化成學生易于接受的形態(tài),才能真正實現(xiàn)教學目標.

3.3 教學內容問題化

將教材內容組織轉化成教學內容后,教學內容需要以數(shù)學問題和數(shù)學活動為載體加以傳遞,促進教學向著預設的主線發(fā)展.除教材中已有的例題和習題,還需要進一步將教學內容中的顯性和隱性知識問題化,并將設計結果填入表2,以確?！澳繕?內容-問題”之間的相關性.問題設計策略具體包括,一是在知識本質處設計問題,幫助學生理解知識本源和實質,突破教學重點；二是在知識點關聯(lián)處設計問題,有助于學生對教學內容進行辨析和整體把握；三是在知識遷移處設計問題,有助于學生將知識應用到不同的情境之中,以鞏固知識和發(fā)展思維；四是在學困處設計問題,如對迷思概念、學習難點加以問題建造,促進學生糾錯和反思；五是提出整體性問題,對教學內容加以高度概括統(tǒng)整,使學生形成完整知識結構.

表2 教學目標、內容與問題設計模板

3.4 教學問題系統(tǒng)化

教學問題系統(tǒng)化是指數(shù)學課堂教學中的所有問題必須按照一定的秩序和內部聯(lián)系組成問題集,并且學習者在解決問題后,能夠獲得高級思維技能的發(fā)展.具體程序包括,第一,明確知識焦點,劃分問題模塊.將上一步設計好的問題進行歸類,面向同一個知識點的問題歸為一類,每個類別所圍繞的中心就是知識焦點,而此類別就稱為問題模塊.知識焦點可以用所對應的教學目標來概括, 也可以轉化為一個問題.第二,確定核心問題.核心問題發(fā)揮統(tǒng)領全局的作用,可以延伸出整節(jié)課知識內容,一般為情境創(chuàng)設所用的問題,其可以來源于生活實際、學科領域或跨學科領域.第三,將問題進行排序.從核心問題出發(fā),分析問題模塊間的關系,排列問題的順序.教師可以不斷反思“為解決這一問題,學習者必須具備哪些知識?掌握什么技能?”直到推演出學習者已具備的知能為止.第四,問題質量修正與提升.經(jīng)歷上述三步,教學問題具有較好的層次性和完整性,此時需要利用問題的分類理論,檢驗問題設計的完備性.完備的問題集通常表現(xiàn)為教學問題的結構從“良構”邁向“劣構”,問題類型涉及“五何”,內隱的認知水平從“記憶”走向“創(chuàng)造”.因此,將問題的結構、類型與學習者認知水平結合起來,形成問題設計檢驗模板(如表3),把表1 中的問題歸類填入其中.如果要培養(yǎng)學習者高級思維技能,就必須調整問題類型,使得劣構問題占有一定比例.

3.5 教學問題情境化

在教學問題系統(tǒng)化環(huán)節(jié)中設計的核心問題要能夠引發(fā)本節(jié)課所需學習的關鍵知識,此外,還要能夠為學習者營造情境,作為學習的起點.建構主義強調,置于真實情境中的問題具備讓學習者積極參與和構建知識的可能性,為發(fā)展學習者問題解決能力提供潛在支持.因而,在必要情況下,核心問題是需要情境化的,也就是設計“由何”問題.具體途徑包括：根據(jù)教學需求,從現(xiàn)實生活中選取素材,從數(shù)學史和數(shù)學文化中選取素材,從例題、習題、考題和競賽題中選取素材,從跨學科領域中選取素材,從民族文化中選取素材,組織問題內容,使得問題設計具有包含豐富學科知識、與實際密切相關或者蘊含多元文化力量等情境特征.

表3 問題設計檢驗模板

4 結語

問題是數(shù)學學習的起點,問題解決是最重要的數(shù)學思維活動,問題設計是數(shù)學教學設計的核心要義.在數(shù)學教學中,從去情境的純數(shù)學問題到情境化問題、從教師啟導性發(fā)問到學生生成性疑問,都需要精心設計,以類型多樣、品質優(yōu)良的有效教學問題集來推動整個教學進程,促進學習者深度學習,獲得數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展.本文針對一般化數(shù)學教學設計,通過梳理教學問題在行為主義至建構主義學習理論影響下的角色演變歷程,以及喬納森面向問題解決的教學設計理論、麥卡錫4MAT 教學設計系統(tǒng)和布魯姆教育目標分類學視域下學與教理論的教學問題分類理論,構建起數(shù)學教學問題設計方法.問題設計應遵循教學設計的基本規(guī)范,以前端分析為起點,在教學目標和教材內容分析的基礎上將“數(shù)學知識問題化,核心問題情景化”,并通過教學問題分類理論指導修正.

事實上,教學問題有預設和生成兩個來源,本研究的問題設計方法主要是針對預設問題而言的.良好的預設性問題能夠引發(fā)學習者積極思維、產(chǎn)生靈感、提出問題,也能夠促進師生深度交互,從而產(chǎn)生動態(tài)、即時的生成性問題,而生成性問題將會轉化為新的預設性問題,納入下一輪問題系統(tǒng)設計當中.該系統(tǒng)設計方法能夠提高教學問題集質量,但是并非所有預設問題都能夠支持有效教學,需要通過教學檢驗加以保留或舍棄.

固然,理想化的“良構-劣構”問題連續(xù)體既能夠容括五何類問題,又能夠促進學習者高層次認知水平發(fā)展,但實際上問題設計是由教學內容的知識屬性和教學目標決定的,比如記憶和理解認知過程有助于促進學習的保持,而若教學目的是為了促進遷移,則需要安排與理解、應用、分析和創(chuàng)造相關的認知活動,所以能夠設計處于中間過渡地帶的結構適中的適構問題(moderately structured)也是至關重要的.