徐傳友

自笛卡爾和費(fèi)馬［1］研究出圖形與坐標(biāo)的關(guān)系以后，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，直接找出給定條件動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z之間的關(guān)系式很困難，但如果適當(dāng)?shù)匾胍粋€(gè)輔助變量（稱為參數(shù)），則較容易找出坐標(biāo)x,y,z和參數(shù)之間的關(guān)系式，即得到了圖形的參數(shù)方程，這樣就間接地建立了x,y,z之間的關(guān)系式.

參數(shù)方程不僅是空間解析幾何的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容，而且在數(shù)學(xué)分析中的二重積分、曲線積分、曲面積分中也有重要應(yīng)用［2］，與微分幾何聯(lián)系緊密［3］，在電腦美術(shù)設(shè)計(jì)中也有廣泛應(yīng)用［4］.

1 曲線參數(shù)方程的概念

如果變數(shù)t(a≤t≤b)的每一個(gè)值對(duì)應(yīng)于變向量r→的一個(gè)完全確定的值r→(t) ，則稱r→=r→(t)是t的向量函數(shù).在直角坐標(biāo)系向量函數(shù)可以寫成r→(t)=x(t)→i+y(t)→j+z(t)k→.

定義1［5］取t的一切可能取的值，向量函數(shù)表示的向徑終點(diǎn)總在一條曲線上；反過來，在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由t的某一值t0（a≤t0≤b）通過向量函數(shù)的表達(dá)式完全決定，那么就把向量函數(shù)表達(dá)式叫作曲線的向量式參數(shù)方程.

2 直線參數(shù)方程的應(yīng)用

在空間解析幾何課程的教學(xué)中，直線可謂是貫穿始終.既可以直接利用直線的參數(shù)方程研究直線與直線、直線與平面的相交和垂直的問題，直線與二次曲面的相交、相切的問題，以及二次曲面的相交、相切的問題，還可以給出教材［5］中某些結(jié)論的重新證明.

2.1 相交方面的應(yīng)用

在考慮直線與直線、直線與平面和二次曲面相交，或者二次曲面之間相交的時(shí)候，使用直線的參數(shù)方程比較便捷.

例1 求過點(diǎn)P(1,-1,1) 且與直線垂直相交的直線.

解 已知直線的方向向量v→=(2,1,-1)，且過點(diǎn)(-1,-1,0) ，所以直線的參數(shù)方程為x=-1+2t,y=-1+t,z=-t，因此所求直線與已知直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以寫為Q(2t-1,t-1,-t)，因此，且向量與已知向量v→垂直，則有2(2t-2)+t-(-t-1)=0，解得，所以直線的一個(gè)方向向量w→=(2,-1,3) ，其標(biāo)準(zhǔn)方程為

本題也可以使用常規(guī)方法求解，但過程相對(duì)復(fù)雜.下面給出常規(guī)解法.

又由于兩直線相交，所以假設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為M(p,q,r).一方面，點(diǎn)P和點(diǎn)M都在所求的直線上，所以向量與向量共線，因此得到另一方面，點(diǎn)M在已知直線上，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足已知直線的方程，即

由式（1）和式（4），解得a:b:c=2:(-1):3 ，因此所求直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

教學(xué)反思：從例1 的兩種解法容易看出，在解決直線的相交問題時(shí)利用參數(shù)方程步驟簡(jiǎn)潔，解題思路更加清晰.在教學(xué)過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生使用參數(shù)方程很關(guān)鍵.在與例1 類似的問題中，需要學(xué)生抓住關(guān)鍵詞“相交”，然后利用參數(shù)方程給出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而再利用相關(guān)條件解決問題.

當(dāng)兩個(gè)球面相交時(shí)，交線是圓，如何得到圓心呢？此時(shí)圓心在兩球心的連線上，于是可以利用直線的參數(shù)方程將其表示出來，再結(jié)合其他幾何知識(shí)就可以求出圓心坐標(biāo).

例2 假設(shè)兩球面(x-1)2+(y-1)2+(z-2)2=4 和(x+1)2+(y-2)2+z2=9 相 交，求 其交線圓的圓心.

解 兩球心分別為O1(1,1,2) ，O2(-1,2,0)，兩球半徑分別為R1=2 ，R2=3.由于交線圓的圓心在兩球心的連線上，且(2,-1,2) ，所以兩球心的連線的方向向量可以 取其 參 數(shù) 方 程 為x=2t+1,y=-t+1,z=2t+2 ，所以圓心C的坐標(biāo)為C=(2t+1,-t+1,2t+2) ，設(shè)圓的半徑為r，利用圓半徑和球半徑的關(guān)系，可得解得t=因而可得圓心C的坐標(biāo)為

教學(xué)反思：解決本題的關(guān)鍵是知道相交圓的圓心在兩球心的連線上，且該連線與相交圓所在平面垂直，這樣就可以將求圓心問題轉(zhuǎn)化為求直線問題上來.

通過上述兩個(gè)例子可以看出，只要問題中直接或間接給出直線內(nèi)容，就可以使用直線的參數(shù)方程來解決.

2.2 距離方面的應(yīng)用

解析幾何教材給出了點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線以及兩異面直線之間的距離公式［5］.具體公式如表1 所示.

事實(shí)上，教材中所給的三種距離的定義都是最短距離，從分析的角度出發(fā)，這個(gè)最短距離是得到的距離函數(shù)的最小值，因此，可以利用直線和平面的參數(shù)方程重新求出上述三種距離公式.

性質(zhì)1 點(diǎn)P(x0,y0,z0) 到直線的距離為，其 中

證明 直線L過點(diǎn)M(α,β,γ) ，方向向量為，其參數(shù)方程為bt+β,z=ct+γ，根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義，需要求出點(diǎn)P與直線上所有點(diǎn)的距離，并求出最小值，即求出距離函數(shù)的最小值，因此有這是關(guān)于參數(shù)t的一元二次函數(shù)，它的最小值為ρ=即為原來點(diǎn)到直線的距離公式.

表1 距離公式

注1：由上述證明過程可以看出在L1上存在唯一一點(diǎn)P，在L2上存在唯一一點(diǎn)Q，使得PQ的距離最短，即為異面直線的距離.另 外，，即PQ所在直線與直線L1垂直，同理可得PQ所在直線與直線L2垂直，因此可得如下結(jié)論：

性質(zhì)3 兩異面直線的公垂線存在且唯一.

注2：與上述的推導(dǎo)類似，可以得到點(diǎn)到平面的距離.

教學(xué)反思：教材中雖然已給出距離公式，但在教學(xué)過程中，給出上述的推導(dǎo)過程，一方面可以幫助學(xué)生更形象地理解書中距離的定義，即最短距離.另一方面也可幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析中極值的求法，并且當(dāng)需要求垂足問題時(shí)，使用上述方法比較簡(jiǎn)單.

2.3 相切方面的應(yīng)用

定義2 從二次曲面S外一點(diǎn)向曲面引切線，則這些切線生成的曲面稱為切錐面.

特別地，如果曲面S是球面，則切錐面是圓錐面.

例3 給定橢圓拋物面S，方程為z=3x2+4y2+1，求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的切錐面方程.

解 設(shè)M(x,y,z) 是切錐面上的任意一點(diǎn)（非原點(diǎn)）.則直線OM上存在唯一的切點(diǎn)N，即存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得(tx,ty,tz)是該切點(diǎn)N的坐標(biāo)，由于切點(diǎn)M(x,y,z)在橢圓拋物面上，所以其坐標(biāo)滿足橢圓拋物面的方程，即tz=3(tx)2+4(ty)2+1，整理得(3x2+4y2)t2-tz+1=0 ，這是關(guān)于t的一元二次方程，由相切的條件得到Δ=z2-4(3x2+4y2)=0 ，即所求的切錐面的方程為z2=4(3x2+4y2).

例4 給定橢球面S，方程為設(shè)方向?yàn)槌Ｏ蛄縱→的一束平行光線照射S，其中部分光線與S相切，它們的切點(diǎn)在S上形成一條曲線Γ.證明：Γ落在一張過橢球面中心的平面上.

證明 不妨設(shè)常向量v→=(α,β,γ) ，在曲線Γ上任取一點(diǎn)M(x,y,z) ，且M是切點(diǎn)，則過M的光線l(t)=(x,y,z)+t(α,β,γ) 是橢球面的切 線，其 上 任 意 一 點(diǎn) 坐 標(biāo) 為(x+tα,y+tβ,z+tγ) .由于每條切線與橢球面有且僅有一個(gè) 切 點(diǎn)，故t=0 是的唯一解，由于(x,y,z)∈Γ?S，上述方程化為，此方程只有t=0 的唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)，這是一個(gè)過原點(diǎn)的平面方程，故Γ落在一張過橢球面中心的平面上.

教學(xué)反思：從上面的證明可以看出，在教學(xué)過程中，涉及到相切問題，可以引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用直線的參數(shù)方程，把切點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程的相等實(shí)根問題.

2.4 對(duì)稱性方面的應(yīng)用

利用二次曲面的對(duì)稱性，在求二重積分、曲面積分和曲線積分時(shí)非常方便，因此了解曲面的對(duì)稱性很重要.如何判斷曲面具有對(duì)稱性呢？即如何知道一個(gè)二次曲面具有對(duì)稱平面、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心呢？這就需要先研究已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的對(duì)稱點(diǎn)，然后再研究曲面的對(duì)稱性.下面以點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為例進(jìn)行研究.

性質(zhì)4 點(diǎn)P(x0,y0,z0)關(guān)于平面Ax+By+Cz+D=0 的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是

解 平面的法向量為n→=(A,B,C) ，過點(diǎn)P且以n→為方向向量的直線的參數(shù)方程為x=x0+At,y=y0+Bt,z=z0+Ct.此直線與平面垂直相交，把參數(shù)方程代入平面方程得(A2+B2+C2)t+Ax0+By0+Cz0+D=0 ，從 而參數(shù)則直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)O點(diǎn)是P點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)Q的中點(diǎn)，因此對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)即為式（5）.

雖然空間解析幾何的教材中都提到了二次曲面的對(duì)稱性，即三個(gè)坐標(biāo)面都是橢球面和雙曲面的對(duì)稱平面，三個(gè)坐標(biāo)軸都是橢球面和雙曲面的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是對(duì)稱中心.而拋物面只有兩個(gè)對(duì)稱平面，一個(gè)對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱中心.這些結(jié)果自然會(huì)引起學(xué)生的思考，為什么這三類曲面的對(duì)稱平面、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心不同？怎么得到的這些對(duì)稱平面、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心？為什么坐標(biāo)面是對(duì)稱平面，坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸呢？其他平面和直線是不是對(duì)稱平面和對(duì)稱軸呢？這些都沒有給出具體說明，我們以橢球面為例給出具體的推導(dǎo)過程.

性質(zhì)5 三軸橢球面有且僅有三個(gè)對(duì)稱平面，旋轉(zhuǎn)橢球面有無數(shù)個(gè)對(duì)稱平面.

證明 不妨設(shè)橢球面的方程為

在橢球面上任取一點(diǎn)P0(x0,y0,z0) ，假設(shè)橢球面的對(duì)稱平面方程為Ax+By+Cz+D=0 ，則點(diǎn)P0關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為式（5），把式（5）代入橢球面方程，得到

由于P0點(diǎn)坐標(biāo)滿足橢球面方程，故上述方程化為

由于(-x0,-y0,-z0) 也滿足橢球面方程，所以也滿足式（7），代入上式得到

由于A,B,C不全為零，所以式（8）中D=0.由于(x0,-y0,-z0),(-x0,y0,-z0),(-x0,-y0,z0)也滿足橢球面方程，所以也滿足式（9），代入式（9）得到

以下分兩種情況討論.

一是橢球面為三軸橢球面的情形.不妨設(shè)a＞b＞c.如果A,B,C全不為零，則式（10）化為

因?yàn)閍＞b＞c，所以由式（11）得到A=B=C，這與假設(shè)矛盾，所以ABC=0.如果A,B,C中有一個(gè)為零，不妨設(shè)A=0 ，則式（10）中的第二式和第三式化為由條件可知B=0，或者C=0.其他兩種假設(shè)可以類似討論.

所以在該情形下，對(duì)稱平面是X=0 ，Y=0 和Z=0 三個(gè)坐標(biāo)平面，即式（6）表示的三軸橢球面有且僅有三個(gè)對(duì)稱平面，且對(duì)稱平面為三個(gè)坐標(biāo)面.

二是橢球面為旋轉(zhuǎn)橢球面的情形.不妨設(shè)a=b＞c，則式（9）化為AC2=0 ，BC2=0 ，于是C=0 ，或者A=B=0.如果A=B=0 ，則對(duì)稱平面為XOY平面；如果C=0 ，則對(duì)稱平面為過z軸的平面，且有無數(shù)個(gè).

如果給出橢球面的一般方程，則經(jīng)過坐標(biāo)變換，一般方程可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程（6），討論過程參考上述內(nèi)容，對(duì)稱平面的個(gè)數(shù)不變，只是對(duì)稱平面不一定再是坐標(biāo)平面，而是與坐標(biāo)變換有關(guān)，這里不再贅述.

注3：對(duì)橢球面的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可以類似討論.同理，柱面、錐面、雙曲面和拋物面也都可以類似討論.

教學(xué)反思：教材中直接說明了橢球面的對(duì)稱平面問題，但是并沒有說明還有沒有其他的對(duì)稱平面.我們?cè)趯?duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生考慮兩個(gè)問題：①橢球面的對(duì)稱平面為什么是三個(gè)坐標(biāo)面，還有沒有其他對(duì)稱平面；②如果還有其他對(duì)稱平面的話，該如何得到，然后逐漸引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)問題，利用直線的參數(shù)方程求解對(duì)稱點(diǎn)，并考慮橢球面的對(duì)稱平面問題.

通過對(duì)這些知識(shí)的挖掘，既幫助學(xué)生理解了橢球面的對(duì)稱性，又能引起他們對(duì)課程內(nèi)容的思考，培養(yǎng)學(xué)生們的科研能力，有利于提升他們以后的教學(xué)研究能力.

3 結(jié)束語(yǔ)

直線在空間解析幾何課程中有許多應(yīng)用，本文是幾何教學(xué)團(tuán)隊(duì)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)的成果.這些成果立足于課本知識(shí)，又有許多延伸，可以作為學(xué)生的研究性課題.當(dāng)然，空間解析幾何還有許多內(nèi)容可以挖掘，今后會(huì)繼續(xù)加以研究.