關(guān)于高中數(shù)學(xué)求最值問題的方法探討

陳尚

摘要：在人生的整個學(xué)習(xí)長河當(dāng)中，三年的高中生活是學(xué)生知識形成系統(tǒng)的一個重要的階段。本篇文章我們將就高中所涉及到的求最值問題的方法進(jìn)行探討，旨在為高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中的這一熱點(diǎn)問題，提供更多維的解決思路。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);最值問題;數(shù)學(xué)應(yīng)用意識;抽象思維能力;高考

引言：在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，求最大值和最小值的問題是涵蓋范圍比較廣的一類數(shù)學(xué)題型，這種問題有多種思維方法能夠?qū)ζ溥M(jìn)行解決，而且應(yīng)用方法解決最值問題能夠快速的得出想要的結(jié)果，并且省時省力。高中課本當(dāng)中關(guān)于求最值的問題是比較普遍的，雖然并沒有關(guān)于最值問題的單獨(dú)章節(jié)?？萍碱I(lǐng)域包括生產(chǎn)生活領(lǐng)域，很多實(shí)際問題基本上都可以將其歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的最值問題，學(xué)生在進(jìn)行解答最值問題的過程當(dāng)中，將這種抽象思維能力與生產(chǎn)生活實(shí)際進(jìn)行結(jié)合，就能夠培養(yǎng)及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

一、解決高中最值問題的一系列方法即具體例子

1.1利用二次函數(shù)的性質(zhì)

？例1：

將進(jìn)貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，若此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應(yīng)定為多少？

【分析】設(shè)利潤為y元，每個售價為x元，則每個漲（x-50）元，

從而銷售量減少10？（x-50）？個，共售出500-10？（x-50）？=100-10x？（個）

y=？（x-40）？（1000-10x）

=-10？（x-70） （x-70） +9000？（50≤x？<100）

解得，x=70時，y最大為9000。所以，為了賺取最大利潤，售價應(yīng)定為70元。

1.2利用配方

例2：

設(shè)Sn是數(shù)列{an} 的前n項和，若不等式a2n+S2nn2≥入a21對任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，求入的最大值。

【分析】當(dāng)a1=0時，入ER; 當(dāng)a1≠0 時，由a2n+S2nn2≥入a21得入≤ （ana1）

2+ （a1+an2a1） 2.

設(shè)ana1=t， 則入st2+ （12+t2） 2. 又t2+ （12+t2）2=54t2+t2+14=54 （t+15） 2+15≥15

入≤15. 綜上可知入的最大值是15.

1.3利用判別式

例3：

已知實(shí)數(shù)a，b，c，且a，b，c滿足：a+b+c=3，a2+b2+c2=92， 求a的最大值。

【分析】由于題設(shè)中含有三個變量，可以考慮先通過等量代換消去c， 可使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量b的一元二次方程，因方程有實(shí)數(shù)根，再利用判別式A≥0求出a的取值范圍。將c=3- （a+b） 代入a2+b2+c2=92， 整理得4b2+4 （a-3） b+4a2-12a+9=0， 由題設(shè)知方程有實(shí)數(shù)根，由Δ≥0. 求之得Osas2. 所以a的最大值是2.

1.4利用解不等式

例4：

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1， 求2x+y的最大值。

【分析】： ： ： 4x2+y2+xy=1， ： . （2x+y）2-3xy=1， 即（2x+y） 2-32·2xy=1，

（2x+y） 2-32 （2x+y2） 2 <1， 解之得： （2x+y） 2≤85，

即-2105≤2x+y≤2105.所以2x+y的最大值是2105

1.5利用數(shù)形結(jié)合

例5：

若|x-al+1x≥12對一切x》0恒成立，求a的最大值。

【分析】分別考慮函數(shù)y1=lx-al和y2=-1x+12的圖像，由圖像容易知道，當(dāng)as2時，

|x-a|≥-1x+12對一切0恒成立，所以a的最大值為2.

1.6利用導(dǎo)數(shù)

例6：

設(shè)直線x=t與函數(shù)f （x） =x2，g （x）=lnx的圖像分別交于點(diǎn)M， N， 求當(dāng)|MNI達(dá)到最小時的的值。

【分析】由題|MNI=x2-lnx， （x>0）不妨令h （x） =x2-lnx， 則h' （x） =2x-1x，令h' （x） =0解得x=22， 因xE （0， 22）時，h' （x） 0， 所以當(dāng)x=22時，IMNI達(dá)到最小。即t=22.

1.7利用對稱

例7

雙曲線x23-y2=1， F是右焦點(diǎn)，A （3， 1） ， P是該雙曲線右支上任意一點(diǎn)，求IPF|+|PAI的最小值。

【分析】拿到本問題是，我們就能夠清楚的了解到它考察的是雙曲線的定義，首先結(jié)合的思想。這道題由于涉及范圍廣，所以我們必須要對其進(jìn)行充分的思考，才能夠?qū)栴}進(jìn)行整體的解讀。我們通過雙曲線的定義，可以得到下列式子：IPFI-IPF1|=-2a=-23，而IPF1|+|PAI≥|AF1|=26， 當(dāng)且僅當(dāng)A、P、F1三點(diǎn)共線時等號成立，兩式相加得|IPF|+|PA|≥26-23， 所以IPF|+|PAI的最小值為26-23.

1.8利用構(gòu)造法

例8：

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3sxy2≤8，4sx2ys9， 求x3y4的最大值。

【分析】可以用已知的兩個不等式構(gòu)造出x3y4的最大值。只需將4sx2ys9平方，3sxy2≤8變?yōu)榈箶?shù)，就得到（x2y）26 [16， 81] ， 1xy2e [18， 13] ，因此x3y4= （x2y） 2·1xy2E [2， 27] ， 所以x3y4的最大值是27.

結(jié)束語

隨著教師對高考數(shù)學(xué)模塊的不斷專研，能夠發(fā)現(xiàn)最值類的題型正在向在多元化進(jìn)行發(fā)展，而且最值問題所涉及到的行業(yè)和領(lǐng)域也更為廣泛，并且計算難度也會隨之增加。因此，教師一定要運(yùn)用合適的環(huán)境，將多重思維方式傳授給學(xué)生，這樣才能夠讓最值問題的解答辦法有一個良好的歸納。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭英元，毛羽輝.《數(shù)學(xué)分析》 （上冊）。 宋國棟編高等教育出版社、

[2] 《高中代數(shù)》 （下冊）， 人民教育出版社，