比較：讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更簡單

張衛(wèi)星

導(dǎo) 讀：

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)?、巧妙地運(yùn)用比較策略，可以更鮮明地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更直觀、更簡單，從而讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)不難學(xué)。在“乘、除法的簡便計(jì)算”網(wǎng)課中作者精心設(shè)計(jì)了5個比較場景，分別是在梳理中比較、在拆分中比較、在計(jì)算中比較、在數(shù)形中比較、在列舉中比較。為什么要設(shè)計(jì)這么多比較呢？有何用意？請看下文解讀。

比較是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)?shù)?、巧妙地運(yùn)用比較策略，可以更鮮明地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更直觀、更簡單。受2020年新冠肺炎疫情影響，線上教學(xué)已成為一種常態(tài)。在短短20分鐘左右的網(wǎng)課內(nèi)，缺少交流和討論，如何讓網(wǎng)課教學(xué)功能最大化呢？筆者觀看周鯉玥老師執(zhí)教的人教版四年級下冊“乘、除法的簡便計(jì)算”一課時，眼睛為之一亮，這不正是讓網(wǎng)課教學(xué)功能最大化的重要舉措嗎？這不正是小學(xué)數(shù)學(xué)深度課堂的典型課例嗎？筆者寫下這節(jié)網(wǎng)課中的5個比較場景，與大家共享。

場景一 在梳理中比較

“乘、除法的簡便計(jì)算”既是新課，又是前面知識的拓展。為了讓學(xué)生能夠順利地遷移知識，周老師設(shè)計(jì)了一個梳理中比較的場景（如圖1）。

教師在這個場景中安排了3次比較。一是加法交換律、減法運(yùn)算性質(zhì)1和乘法交換律的比較，它們都具有交換兩個數(shù)（加數(shù)、減數(shù)、因數(shù)）的共同特征，便于學(xué)生理解和記憶。二是加法結(jié)合律、減法運(yùn)算性質(zhì)2和乘法結(jié)合律的比較，它們都具有運(yùn)算符號相同（連加、連減、連乘）的共同特征，特別強(qiáng)調(diào)加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律數(shù)字的位置和運(yùn)算符號都不變，只是通過括號改變了運(yùn)算順序，還要提醒學(xué)生改變減法運(yùn)算性質(zhì)2的括號內(nèi)的運(yùn)算符號。既讓學(xué)生明白加法結(jié)合律和乘法結(jié)合律的本質(zhì)特征，又讓學(xué)生明白減法運(yùn)算性質(zhì)2的獨(dú)特之處。三是乘法結(jié)合律和乘法分配律的比較，讓學(xué)生明白乘法結(jié)合律全部都是用乘號，乘法分配律不是乘加就是乘減，從而讓學(xué)生記住它們之間的本質(zhì)區(qū)別。

場景二 在拆分中比較

教材中的例1力圖通過解決問題讓學(xué)生感受乘法結(jié)合律與乘法分配律的實(shí)際意義，懂得把一個數(shù)拆分的算理和算法，從而讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活拆分，選擇合理的簡便算法（如圖2）。

在這個場景中安排了4次比較。一是數(shù)學(xué)信息的比較，前面2條信息直觀可見，但第3條信息“一筒為一打裝”是隱含的。通過提煉第3條信息，既可以把前面2條信息融為一體，順利解決問題，又可以讓學(xué)生學(xué)會審題，學(xué)會捕捉隱含的數(shù)學(xué)信息。二是乘法豎式與乘法結(jié)合律的比較，讓學(xué)生明白乘法豎式任何時候都可運(yùn)用，但不簡便，而通過拆分?jǐn)?shù)據(jù)（看到25想到4，把12拆分成3×4）再運(yùn)用乘法結(jié)合律，卻非常簡便，從而讓學(xué)生認(rèn)識到要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活拆分。三是乘法豎式和乘法分配律的比較，讓學(xué)生明白乘法豎式實(shí)質(zhì)上也是一種乘法分配律（把25分成20+5），只不過它不考慮數(shù)據(jù)特點(diǎn)，而乘法分配律更關(guān)注數(shù)據(jù)特點(diǎn)及其相互之間的聯(lián)系（把12分成10+2），更適合簡便計(jì)算。四是乘法結(jié)合律與乘法分配律的比較，讓學(xué)生明白采用乘法結(jié)合律更簡便，要把一個數(shù)據(jù)拆分成兩個數(shù)相乘，如果用乘法分配律，就要將一個數(shù)據(jù)拆分成兩個數(shù)相加或相減。通過這一場景學(xué)習(xí)，學(xué)生對靈活運(yùn)用乘法運(yùn)算定律有了更為深刻的認(rèn)識。

場景三 在計(jì)算中比較

除法運(yùn)算性質(zhì)是本課的重要知識點(diǎn)，如何讓學(xué)生理解除法運(yùn)算性質(zhì)的算理和算法是教學(xué)關(guān)鍵。教師以例題為載體，通過比較讓學(xué)生明白除法運(yùn)算性質(zhì)的算理和算法（如圖3）。

在這個場景中安排了3次比較。一是已知條件的比較，教師有意識地把已知數(shù)學(xué)信息在網(wǎng)課上呈現(xiàn)出來，通過問題中的“每只”和已知條件中“5副”提醒學(xué)生思考“只”和“副”有什么不同。讓學(xué)生明白一副羽毛球拍包含2只羽毛球拍，從而捕捉到“1副羽毛球拍有2只”這一隱含條件。二是算理和算法的比較，左邊的算式按運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，其算理是先求一副羽毛球拍的價格，再算一只羽毛球拍的價格;右邊的算式是先算5副羽毛球拍的總只數(shù)，再算一只羽毛球拍的價格。這樣通過算用結(jié)合的比較，學(xué)生既明白了算理，又學(xué)會了算法。兩種算法、算理不同，但結(jié)果相同，右邊的算法更簡便，因?yàn)閮蓚€除數(shù)相乘正好等于10，從而得出除法運(yùn)算性質(zhì)的初步模型。三是除法意義的比較，以長方形圖形分割為載體，讓學(xué)生把長方形先平均分成5份，再平均分成2份，其結(jié)果和直接平均分成10份是一樣的。這樣借助數(shù)形結(jié)合，學(xué)生再次完善剛剛建構(gòu)的除法運(yùn)算性質(zhì)的模型。通過這樣3次比較，學(xué)生對“330÷5÷2=330÷（5×2）”這一等式就完全理解了，初步建成除法運(yùn)算性質(zhì)的模型。

場景四 在數(shù)形中比較

通過上面場景三的比較，學(xué)生建立了除法運(yùn)算性質(zhì)的模型，但僅憑一個例子建立的模型可信度還不夠高。為此，教師在這個場景中繼續(xù)選用不同的例子來加以驗(yàn)證（如圖4）。

在這一場景中安排了3次比較。一是被除數(shù)64、32、16和a的比較，讓學(xué)生明白不管被除數(shù)怎么變，只要兩個除數(shù)不變，兩種算法（等式兩邊）的結(jié)果總是相等，即“a÷4÷2=a÷（4×2）”。二是除法運(yùn)算意義的再次比較，以一個圓形圖片為載體，先平均分成4份，再平均分成2份，結(jié)果跟直接平均分成8份是一樣的。在此基礎(chǔ)上，得出除法運(yùn)算性質(zhì)的第一個模型“a÷b÷c=a÷（b×c）（b、c≠0）”。三是兩種除法意義數(shù)與形的比較，通過兩個圓形圖片的分割比較，發(fā)現(xiàn)先平均分成4份、再平均分成2份，和先平均分成2份、再平均分成4份結(jié)果一樣——平均分成8份，讓學(xué)生感受到兩次分法的結(jié)果是相等的，從而順勢提煉出第二個除法運(yùn)算性質(zhì)的模型“a÷b÷c=a÷c÷b（b、c≠0）”。

場景五 在列舉中比較

在學(xué)生經(jīng)歷除法運(yùn)算性質(zhì)模型的建構(gòu)之后，教師又引領(lǐng)學(xué)生厘清除法運(yùn)算性質(zhì)和乘法結(jié)合律之間的區(qū)別，其目的是厘清運(yùn)算符號變與不變的規(guī)律（如圖5）。

在這一場景中安排了2次比較。一是乘法結(jié)合律和除法運(yùn)算性質(zhì)的比較，結(jié)合兩種運(yùn)算定律公式，借助課件的動態(tài)演示，讓學(xué)生明白：乘法結(jié)合律加括號前后，括號內(nèi)的運(yùn)算符號始終不變，而除法運(yùn)算性質(zhì)加括號前后，括號內(nèi)的運(yùn)算符號要變。在此基礎(chǔ)上，得出“乘號后面添括號，括號里面不變號;除號后面添括號，括號里面要變號”這一文字模型。二是用兩個具體例子來比較說明剛才的文字模型，這兩個例子脫離了既定的運(yùn)算模型，借助課件的動態(tài)演示，讓學(xué)生再次明白剛才的兩個模型具有普適性，在具體運(yùn)用運(yùn)算定律時，只要根據(jù)運(yùn)算符號，就可以確定運(yùn)算符號是否要變。

總之，比較讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更簡單。教師在一節(jié)課內(nèi)連續(xù)設(shè)計(jì)5個比較場景，每個場景中又安排幾次比較，是比較思想在計(jì)算教學(xué)中的典型運(yùn)用。通過這一系列的比較，學(xué)生對如何根據(jù)乘法運(yùn)算定律進(jìn)行合理拆分印象深刻，對除法運(yùn)算性質(zhì)兩種模型的算理和算法理解到位，對乘、除法中運(yùn)算符號的變與不變規(guī)律有了清晰的認(rèn)識。因此，教師要善于設(shè)計(jì)一些學(xué)生能夠理解的比較學(xué)習(xí)場景，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡練，讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)悄然落地。線上教學(xué)如此，線下教學(xué)更應(yīng)如此。

（作者單位：浙江省仙居縣田市鎮(zhèn)中心小學(xué)）