【摘 要】 數學美是數學創(chuàng)造的自由形式，既有深刻的內容，又有內在形式和外在形式。形式反映內容，內容也必須借助一定的形式而表達出來。數學美的內容通過內在形式或以內在形式為中介而與外在形式相聯系。數學美的內容與內在形式之間互相依存，互相滲透，而數學美的內容與外在形式之間也是辯證統一的關系。

【關鍵詞】 數學美;內容;內在形式;外在形式;關系

數學美是科學創(chuàng)造自由的形式，它既是客觀物質存在又是社會存在，同時還具有形象性。因而數學美和其他任何事物的存在與運動過程一樣，也具有內容和形式兩個方面。

數學美的內容是數學美存在和發(fā)展的內在方面或根本原因，指數學領域中構成數學美的基礎要素的總和。包括數學結構美、數學理論美、數學公式美、數學思想方法美、數學思維美、數學符號美等，其中都表現著數的美、式的美、形的美。數學美的形式指構成數學美的基礎要素之間的固有的聯系、結構、組織，是自由形式的具體顯現，包括簡單、對稱、和諧、普遍、奇異等。數學美的形式有兩種，一種表現為數學美的存在和發(fā)展的方式、形態(tài)，可稱之為內在形式，如簡單、對稱、和諧、普遍、奇異等;另一種表現為數學美存在和發(fā)展的感性外觀，可稱之為外在形式。數學美的內容通過內在形式或以內在形式為中介而與外在形式相聯系，但這種聯系沒有必然性，也就是說，外在形式的美是以數學美的內容為前提。反之，沒有反映出真的數學美內容，外在形式再美也無用，也就不會構成美的數學事實。

例如，泰勒公式

（c是在x與x0間的某個值）

它的美與其內在形式有密切關系，感性外觀形式也很美，感性外觀是數學美的必要條件。

事物都有內容和形式兩個相互聯系相互依存的方面，美也一樣。美的形式是美的內容的轉化形態(tài)，它是人類在長期生產勞動和社會實踐過程中，積淀形成的美的事物，然后將美的事物物質形式轉化為自由的形式。美的形式標志著人對客觀世界所取得的自由程度和水準，表現了人的本質力量。這種自由形式又有感性形式和理性形式之分。一般來說，藝術美的形式多呈現出的是感性形式，表現了人的情感想象的自由形式，而科學美的形式則是理性抽象形式，是人的認識思維合規(guī)律性（即自由的）理性抽象形式。就藝術形式和科學形式而言，蘇珊·朗格曾認為，藝術中抽象出來的“是那種能夠表現動態(tài)的主觀經驗、生命的模式、感知、情緒、情感的復雜形式”，而科學、數學和邏輯中抽象出來的則“是那種幫助我們把握一般事實的理性推理形式”。但是，“不管是在藝術中，還是在邏輯中，‘抽象都是對某種結構或形式的認識”。[1]這就是說，藝術形式與科學形式既有共同之處，又有差別。最基本的共同點即藝術美和科學美都不是生活、物質世界的自然形式，而是經過了“抽象”之后的審美形式。中國戲劇表演中固定做程式、一組龍?zhí)祝惗喾业谖褰豁憳?，顯示部中主部主題“命運”和副部主題“英雄”，兩個音樂主題在全樂曲中反復出現，不就是抽象的具有理性化的形式表現著無限豐富、變化的感性內容嗎？亞里士多德說過“美的主要形式‘秩序、勻稱與明確”。[2]不錯，就形式本身來說，無論是在藝術中還是科學中，美的形式都具有簡潔、對稱、秩序、規(guī)整、統一、協調等特點。在數學美中，這種美的形式常用抽象的數字、符號、公式、圖形等形式加以表示。數學美正是在邏輯直觀的抽象理性形式中積淀了無限豐富的感性內容，數學美的形式是抽象思維的產物，是在合規(guī)律性與合目的性相統一下建立起來的一種秩序?！爸刃蚓鸵馕吨胬?，意味著和諧，秩序就是簡潔、就是美?！盵3]

無論是藝術美還是科學美，在本質上和內在形式上是相同的，但是在外在形式上有著很大的差異性，從而對美的感知和欣賞就不同。數學美是一種科學美，對數學美的感知和欣賞必須首先理解其內容和內在形式，否則，即使是再美的數學公式或一些很美的結構式與表達式，不懂數學的人也無法感知到其美在何處，也不可能欣賞。例如，我們說歐拉公式很美，被譽為世界上最完美的數學公式之一，它把數學里最重要的五個數i、π、e、0、1，巧妙地統一在一起：eiπ+1=0。數學家高斯曾說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數學家”。但就是這樣具代表性的數學美的形式，可是對不懂數學的人來說，依然是無動于衷，無法想象到它的美。再如，歐拉發(fā)現的另一個公式v-e+f=2，它表示任何一個凸多面體的頂點數v、邊數e、面數f之間的恒定關系式，同樣，只有理解了其意義才會感到它的無限魅力。

數學獨特的表達形式是自然世界及其客觀規(guī)律的抽象，也是人類主體在使用勞動工具的基本操作過程中的一些形式（如次序、關系、排列）的抽象化（如可逆、不可逆、守恒、交換等）。數學的發(fā)生發(fā)展與人類從基本實踐活動中獲得的自由直觀分不開，這種抽象的理性形式積淀著外在的勞動操作規(guī)律及其理性結果，它是人類特有的認識工具和符號語言。所以，數學美的形式是科學美的形式之核心與基礎，正如蘇珊·朗格所說：“只是在數學發(fā)展起來之后，抽象的邏輯形式才開始變得如此外露。它的外觀是如此有趣，以至于使得許多邏輯學家不由自主地把自己的注意力轉到了對形式本身的研究上來”[4]。

圓周長C=2πR，弧長L=2R，圓臺體積…。

像這些數學美的形式表達中，基本上都是將一些數字和符號有秩序的排列組合成簡潔的形式中，它們看似簡潔但包含了現實世界中豐富的內容，這種符號間的和諧關系正是自然界客觀規(guī)律性簡潔而規(guī)范的概括，正好符合哲學意義上的真。這不正是美國美學家克萊夫·貝爾提出的美是“有意味的形式”嗎！[5]

形式反映著內容，反之，內容也必須借助一定的形式而表達出來。如音樂的生命就在于節(jié)奏形式，像四二拍的曲子，以四分音符為一拍，一小節(jié)兩拍，按第一拍強，第二拍弱的規(guī)律交替出現。達芬奇《最后的晚餐》所表現的十二門徒聽了基督的話“你們中間有一個人要出賣我”以后的極大震動，情借騷亂的動勢就是通過畫面上耶穌居中，十二門徒分兩邊，三個一組，組成四個三角形，人物用手勢相互照應連成一條波浪線顯示出來。中國畫的藝術表現形式，多用散點透視，畫面出現近景、中景、遠景多層次，近處山石見質，遠處山形見勢，用“分疆三選兩段法”，地、樹、山為三選，景為F，山在上，中間云霧斷開，借助這種形式從而使自然風景在畫面上活靈活現，栩栩如生。數學中也不例外，要表示數的大小不等關系就需借助形式a>b，三角形的面積s=（1/2）ab，整除m/n，同余，要表示命題及謂詞演算就有數理邏輯的形式，把三角形內角之和等于180°，改寫成（3-2）·180°的形成，便成為發(fā)現凸幾邊形內角之和為（n-2）·180°的臺階和誘因。解決數學問題過程的每一步，內容上的變化都有形式的變換相對應。整個數學沒有一個不具形式的內容，也沒有一處不反映內容的形式。[6]

總之，數學美內容和形式的關系，是辯證統一的。內容與內在形式之間互相依存，互相滲透，而內容與外在形式之間也是統一的，內容統攝外在形式，外在形式顯現出內容，達到融會貫通。也就是說，由長期社會實踐所造成的內容向形式的轉化，內容積淀于形式之中數學美的內容與形式的關系決不是“內核”與“外亮”、人體與服裝、商品與包裝的關系，而是完全契合的辯論統一。只有這樣，數學美的內容才不是某種本質的抽象，而是與形式相聯系的具體，形式也不是單純的空洞，而是與內容相聯系的結構與外觀，這才稱得上數學美是自由的形式。

【參考文獻】

[1] 蘇珊·朗格著，藤守堯、朱疆源譯.藝術問題[M].中國社會科學出版社，1983.168

[2] [古希臘]亞里士多德著，吳壽彭譯.形而上學[M].商務印書館，1959.265-266

[3] 趙鑫珊著.科學、藝術、哲學斷思[M].新知三聯書店，1985.18

[4] 蘇珊·朗格著，藤守堯、朱疆源譯.藝術問題[M].中國社會科學出版社，1983.167

[5] 克萊夫·貝爾著，周金環(huán)等譯.藝術[M].中國文聯出版公司，1984.7

[6] 張雄.數學：信息加工和信息轉換的技術[J].自然辯證法研究，2000.8.

【作者簡介】

張 雄（1961-）男，漢族，陜西商洛人，教授，渭南職業(yè)技術學院黨委副書記、院長，中國高等教育學會教育數學專委會副理事長，研究方向：數學哲學、數學文化、數學美學、數學史與數學教育、職業(yè)教育等.