動點問題中的函數(shù)

賀春平

此類問題是涵蓋了多個知識點的綜合性問題（一般情況有行程問題（路程=速度×時間）、函數(shù)問題、解直角三角形問題、面積等），對于初中學生而言，函數(shù)問題就很難了，有穿插了那么多的知識點，因此，學生只要見到“動點”二字就產(chǎn)生恐懼，首先從心里上就敗下了陣，還怎么談解決問題呢？在此，針對此類問題談一談自己的一點見解：認真審題梳理清楚所涵蓋知識點、判斷轉折點、“動態(tài)”問題“靜態(tài)”思考、構建數(shù)學模型、列出分段函數(shù)解析式。我們通過下面的例題來作具體講解、分析：

例1：（2018山東濰坊）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，，? 動點P以1厘米/秒的速度自A點出發(fā)沿AB方向運動至B點停止，動點Q以2厘米/秒的速度自B點出發(fā)沿折線BCD運動至D點停止，若點P、Q同時出發(fā)運動了t秒，記△BPQ的面積為S平方厘米，下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關系的是（??? ）

解析：因為動點P速度是1厘米/秒，動點Q速度是2厘米/秒，所以點Q速度是點P速度的2倍;又因為菱形ABCD的邊長是4厘米，如圖1所示：所以可以得出當點P運動到AB中點O時，點Q運動到點C位置，比較可以發(fā)現(xiàn)當點P在AO上運動時（點Q在BC上運動），BP和△BPQ的高都在變化;當點P在OB上運動時（點Q在CD上運動），此時BP變化，而△BPQ的高不在變化，就等于菱形ABCD的高，由此可以判斷當點P與AB中點O重合（點Q與點C重合）時為△BPQ面積的轉折點。轉折點判斷出來后，我們沒有必要考慮P、Q所在運動線段的具體位置，我們大概的取一個點（即轉化為定點思考），然后構建數(shù)學模型解決問題即可。

如圖2：在CD上任取一點Q，過點Q作QM⊥AB于點M，

因為動點P速度是1厘米/秒，動點Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（0

如圖3：在BC上取點C為點Q，過點C作CN⊥AB于點N，因為動點P速度是1厘米/秒，動點Q速度是2厘米/秒，所以P、Q在t（2

，由此我們可以判斷這是一個分段函數(shù)，結合函數(shù)

知識，其圖象是D答案。

變式：求BP與動點Q移動的軌跡所構成的封閉幾何圖形面積y與t之間的圖象。

如圖2，當點P在AO上運動時，所圍成的封閉幾何圖形是△BPQ，時間 t的范圍

是0

如圖4，當點P在OB上運動時，此時點Q運動到了CD上，此時所圍成的封閉幾何圖形為梯形CQPB（過點C作CN⊥AB于點N，則CN是梯形的高）;所以由BP和折線BCQ構成的封閉幾何圖形面積為

當點P運動到B點時，那么點Q運動到點D，此時BP=0.

Y與t的函數(shù)圖象如右圖所示：