利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

匡金龍

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將“做”“學(xué)”“思”合一，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行身心一體的具身認(rèn)知，具有很好的直觀性和探索性，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解有積極的促進(jìn)作用。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)積極開發(fā)和實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。具體途徑有：對(duì)接“生活”與“數(shù)學(xué)”，促進(jìn)概念的理解;統(tǒng)一“形式”與“本質(zhì)”，促進(jìn)規(guī)律的理解;聯(lián)結(jié)“符號(hào)”與“操作”，促進(jìn)計(jì)算法則與數(shù)量關(guān)系等的理解。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)理解 數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)規(guī)律數(shù)形結(jié)合

實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的不同決定了數(shù)學(xué)理解水平的不同。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得或解決某個(gè)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律（法則、關(guān)系）或問題，借助外在的物質(zhì)和操作手段，進(jìn)行數(shù)學(xué)探索的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將“做”“學(xué)”“思”合一，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行身心一體的具身認(rèn)知，具有很好的直觀性和探索性，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解有積極的促進(jìn)作用。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)依據(jù)教材，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，積極開發(fā)和實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，有效促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。具體途徑如下：

一、對(duì)接“生活”與“數(shù)學(xué)”，促進(jìn)概念的理解

小學(xué)數(shù)學(xué)中的絕大多數(shù)概念源于生活。學(xué)生在日常生活中形成的“自然概念”是習(xí)得數(shù)學(xué)概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，能促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的理解;但有時(shí)也會(huì)受到經(jīng)驗(yàn)的局限，反過來阻礙數(shù)學(xué)概念的理解。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的操作對(duì)象往往是半抽象的實(shí)物或抽象的模型，能以簡單、直觀的方式，幫助學(xué)生跨越數(shù)學(xué)化理解的障礙，排除一些非本質(zhì)因素的干擾，充分理解數(shù)學(xué)概念。教師應(yīng)該利用學(xué)生“自然概念”中的有效成分，巧妙地將“生活”與“數(shù)學(xué)”對(duì)接，開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，幫助學(xué)生克服思維定式，深刻理解數(shù)學(xué)概念。

例如，“認(rèn)識(shí)三角形的高”是教學(xué)的難點(diǎn)：學(xué)生習(xí)慣上會(huì)將“生活經(jīng)驗(yàn)”和“數(shù)學(xué)概念”等同起來，把對(duì)身高的理解簡單遷移至三角形的高，導(dǎo)致出現(xiàn)認(rèn)識(shí)上的偏差。事實(shí)上，生活中物體的高與數(shù)學(xué)中圖形的高雖然有著共同的本質(zhì)特征——都指物體或圖形底部到頂端的距離，但其抽象程度不同——生活中人、樹等物體都有顯著的現(xiàn)實(shí)背景，其高也就有特定的指向性，不會(huì)隨著物體位置的變化而變化;而數(shù)學(xué)中三角形等圖形是通過舍棄物體外在的非本質(zhì)因素，抽取其形的共同點(diǎn)而得到的數(shù)學(xué)化產(chǎn)物，其高也就具有相對(duì)性，即將任意一邊水平擺放都能找到對(duì)應(yīng)的高。以身高推想三角形的高，學(xué)生難免會(huì)陷入“以偏概全”的泥沼。

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生克服思維定式，深刻理解三角形的高。教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.喚醒：你的身高是多少？怎么測量得到的？

2.猜想：三角形有高嗎？你認(rèn)為三角形的高在哪兒？

3.實(shí)驗(yàn)：到底是不是你們想的那樣？我們一起來找找三角形的高。

（1）正位找高：把三角形最長的一條邊水平擺放，找高。引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)比，明確高是“最高點(diǎn)（頂點(diǎn)）到對(duì)邊的垂直距離”。

（2）換位找高：將三角形其他兩條邊分別水平擺放，找高。引導(dǎo)學(xué)生說出找高的方法，進(jìn)而得出三角形的高就是“從頂點(diǎn)到對(duì)邊垂直線段的長度”。

4.質(zhì)疑：三角形的高有幾條？和你一開始想的一樣嗎？

5.抽象：什么是三角形的高？（三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段都是三角形的高，三角形每一條邊都有對(duì)應(yīng)的高。）

……

當(dāng)學(xué)生借助身高片面理解三角形的高時(shí)，教師利用實(shí)驗(yàn)，抓取生活經(jīng)驗(yàn)中的有效成分（對(duì)高的本質(zhì)認(rèn)識(shí)），讓學(xué)生自行修正和調(diào)節(jié)原有的認(rèn)知，從而正確建構(gòu)三角形的高的意義。

二、統(tǒng)一“形式”與“本質(zhì)”，促進(jìn)規(guī)律的理解

數(shù)學(xué)規(guī)律是同一類數(shù)學(xué)現(xiàn)象的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學(xué)知識(shí)的主要表現(xiàn)形式。規(guī)律教學(xué)不僅要探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的外在形式，更要洞察規(guī)律的內(nèi)在本質(zhì)，從而獲得對(duì)規(guī)律一般的、普遍的理解。實(shí)踐表明，只關(guān)注規(guī)律外在形式的表達(dá)，而忽略規(guī)律內(nèi)在意義的理解，是無法使規(guī)律扎根于學(xué)生的心中，成為指導(dǎo)解決問題的重要工具和手段的。規(guī)律教學(xué)中，教師可以設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從規(guī)律形式深入到規(guī)律本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)外在“規(guī)律表達(dá)”與內(nèi)在“規(guī)律理解”的統(tǒng)一。

例如，學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”前，學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)的意義和大小等，能結(jié)合具體情境用不同的分?jǐn)?shù)表示同一對(duì)象的大小?；谠械慕?jīng)驗(yàn)，結(jié)合對(duì)一定數(shù)量實(shí)例的感知，學(xué)生能輕而易舉地找到相等的分?jǐn)?shù)中分子、分母的變化規(guī)律。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入探究規(guī)律產(chǎn)生的本質(zhì)原因，促進(jìn)學(xué)生對(duì)規(guī)律的理解。

為引導(dǎo)學(xué)生將規(guī)律納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)——

1.提問：（出示圖1）陰影部分可用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？引導(dǎo)學(xué)生得到大小相同但分子、分母不同的分?jǐn)?shù)，初步感知分的份數(shù)和取的份數(shù)之間的同變關(guān)系。

2.實(shí)驗(yàn)：（出示圖2）你能畫圖找出和25相等的分?jǐn)?shù)嗎？不畫圖呢？試一試。

3.交流：你是怎么找到和25相等的分?jǐn)?shù)的？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法：（1）將圖中的每一份都再等分成幾小份;（2）將分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘相同的數(shù)。

4.溝通：這兩種方法之間有什么關(guān)系？為什么？引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：將圖中的每一份都再等分成幾小份，就相當(dāng)于將分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘相同的數(shù);因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)的意義就是將單位“1”平均分成一定的份數(shù)，再取一定的份數(shù)，分母就是分的份數(shù)，分子就是取的份數(shù)。

……

這里，教師設(shè)計(jì)“畫圖找出和25相等的分?jǐn)?shù)”的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分的份數(shù)、取的份數(shù)和分子、分母同變規(guī)律之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，將分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與分?jǐn)?shù)的意義聯(lián)系起來，使找規(guī)律的過程變成基于原理創(chuàng)造規(guī)律的過程。

三、聯(lián)結(jié)“符號(hào)”與“操作”，促進(jìn)計(jì)算法則與數(shù)量關(guān)系等的理解

很多數(shù)學(xué)對(duì)象有著數(shù)（對(duì)應(yīng)“符號(hào)”）和形（蘊(yùn)含“操作”）兩種表征方式。不同表征方式之間的轉(zhuǎn)換和聯(lián)結(jié)，能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的理解。尤其是將抽象、靜態(tài)的“符號(hào)”表征轉(zhuǎn)化為直觀、動(dòng)態(tài)的“操作”表征，非常有利于以形象思維為主的小學(xué)生理解比較抽象的計(jì)算法則、數(shù)量關(guān)系等。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)表征和幾何表征之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)“符號(hào)”與“操作”的聯(lián)結(jié)，加深學(xué)生對(duì)較為抽象的內(nèi)容的理解。

例如，教學(xué)“小數(shù)乘小數(shù)”時(shí)，教師通常引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)積的變化規(guī)律或單位轉(zhuǎn)化方法（作為算理），基于整數(shù)乘整數(shù)的算法得到小數(shù)乘小數(shù)的算法（關(guān)鍵是確定積的小數(shù)點(diǎn)的位置）。但是，這兩種方法都比較抽象，學(xué)生理解起來有一定的困難。對(duì)此，可以根據(jù)乘法的幾何意義，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖，基于整數(shù)乘整數(shù)的算法得到小數(shù)乘小數(shù)的算法，并強(qiáng)化對(duì)積的變化規(guī)律的理解。教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.問題：在一個(gè)長6米、寬4米的長方形教室內(nèi)擺放課桌，每張課桌長0.6米、寬0.4米，每張課桌的面積是多少平方米？引導(dǎo)學(xué)生列出算式0.6×0.4，并嘗試計(jì)算。

2.啟發(fā)：能不能用畫圖的方式探求計(jì)算結(jié)果？

3.實(shí)驗(yàn)：先畫一個(gè)長6米、寬4米的長方形（表示教室），再在其中畫一個(gè)長0.6米、寬0.4米的長方形（表示課桌），如圖3。

4.啟發(fā)：大長方形和小長方形有什么關(guān)系？小長方形的面積是多少？

5.結(jié)論：6÷10=0.6，4÷10=0.4，10×10=100，大長方形里面有100個(gè)小長方形;6×4=24，24÷100=0.24，小長方形的面積是0.24平方米。

6.引導(dǎo)：這樣的算法還可以用什么規(guī)律來

概括？

7.結(jié)論：積的變化規(guī)律。

再如，教學(xué)“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少”的問題時(shí)，學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”的關(guān)系時(shí)存在困難。有經(jīng)驗(yàn)的教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生把這樣簡略的關(guān)系句細(xì)化，比如：“黃彩帶比紅彩帶長14”的意思是“黃彩帶比紅彩帶長的部分是紅彩帶的14”。這對(duì)學(xué)生的理解有幫助。但是，這樣的表達(dá)還是很抽象。而且，學(xué)生也很難通過這樣的方式理解比較關(guān)系相反的兩個(gè)等價(jià)的關(guān)系句，如“黃彩帶比紅彩帶長14”相當(dāng)于“紅彩帶比黃彩帶短15”。對(duì)此，可以引入適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

出示方格背景圖中的紅、黃2根彩帶（見圖4，其中深色為紅色，淺色為黃色），讓學(xué)生觀察思考黃彩帶比紅彩帶長幾分之幾、紅彩帶比黃彩帶短幾分之幾，進(jìn)而對(duì)比思考，同樣是紅、黃兩根彩帶相比，為什么得到的分?jǐn)?shù)不一樣（標(biāo)準(zhǔn)不同）。然后，可以給出具體數(shù)據(jù)，讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算。這樣，學(xué)生便由“信息接收者”變?yōu)椤耙饬x建構(gòu)者”，真正理解了“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾”的關(guān)系，能根據(jù)解題的需要在“詳細(xì)表達(dá)”和“簡略表達(dá)”之間自由切換。