摘要：數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)從“雙基”到“四基”轉(zhuǎn)變的重要體現(xiàn)，可以有效增加學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，可以設(shè)計激發(fā)認(rèn)知沖突的問題、聯(lián)系舊知建構(gòu)新知的問題、利用已知探索未知的問題、從特殊到一般探索規(guī)律的問題和邏輯遞進(jìn)探索規(guī)律的問題;需要注意綻放學(xué)生的個性化思維，激勵學(xué)生的跨界性思維，促進(jìn)學(xué)生的融通性思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗問題設(shè)計思維提升

“學(xué)起于思，思源于疑?！薄皵?shù)學(xué)是思維的科學(xué)”，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。思維需要問題引領(lǐng)，問題應(yīng)該促進(jìn)思維，問題與思維是相伴相生的。而作為重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，數(shù)學(xué)實驗是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)從“雙基”到“四基”轉(zhuǎn)變的重要體現(xiàn)，可以有效增加學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的感悟。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，問題設(shè)計是手段，其表層目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生探究得到外顯的數(shù)學(xué)知識和技能，而深層目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在的思維提升，給學(xué)生“帶得走”的能力和素養(yǎng)，真正實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

那么，在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，如何設(shè)計有效的問題？如何更好地提升學(xué)生的思維？我們展開了一些探索與實踐。

一、概念明晰

（一）關(guān)于問題

問題是指在給定的信息和目標(biāo)狀態(tài)之間有某些障礙需要克服的情境。它包含三個要素：（1）給定，關(guān)于問題條件的描述，即問題的起始狀態(tài);（2）目標(biāo)，關(guān)于形成問題結(jié)論的描述，即問題要求的答案或最終的狀態(tài);（3）障礙，即正確的解決方法不是顯而易見的，必須通過一定的認(rèn)知操作，才能改變給定狀態(tài)，逐漸達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

問題解決是指把問題的給定狀態(tài)轉(zhuǎn)換成目標(biāo)狀態(tài)的過程。從教育心理學(xué)的角度來理解，就是通過思維重新組織已知的概念和規(guī)則，進(jìn)而形成新答案的過程，其中新答案的形成不是已有概念和規(guī)則的簡單應(yīng)用，還包括新概念和規(guī)則的形成。

問題教學(xué)是指把學(xué)生置于問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題展開思維活動，利用和重新組織已有的概念和規(guī)則，形成相應(yīng)的高級概念和規(guī)則，最終解決問題的教學(xué)方式。

（二）關(guān)于思維

思維最初是指人腦借助語言對客觀事物的概括和間接的反應(yīng)過程。它基于感知，又超越感知的界限。通常意義上的思維，涉及所有的認(rèn)知或智力活動。它探索與發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律性，是認(rèn)識過程的高級階段。思維還具有深刻性、靈活性、批判性、創(chuàng)造性、敏捷性五大品質(zhì)。

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)的一種本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步提煉、概括，是隱性的。有學(xué)者認(rèn)為常見的數(shù)學(xué)思想方法有函數(shù)、分類、化歸、數(shù)形結(jié)合、極限、統(tǒng)計等，也有學(xué)者將其概括為抽象、推理、模型三大內(nèi)容。

美國著名教育家杜威認(rèn)為，他倡導(dǎo)的“問題教學(xué)法”是將獲得知識附屬于發(fā)展思維的過程;思維的自然規(guī)律不是形式邏輯，而是所謂“實驗邏輯”的反省思維;思維是對問題反復(fù)、持續(xù)進(jìn)行探究的過程，是由不確定的情境到確定的情境的全過程。

（三）關(guān)于數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)實驗是為了促進(jìn)理性思維，驗證數(shù)學(xué)猜想，歸納數(shù)學(xué)規(guī)律，解決數(shù)學(xué)問題，通過一定的方法，借助一定的設(shè)備，在思維活動的參與下，在典型的實驗環(huán)境中進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)建構(gòu)過程和數(shù)學(xué)探索活動。

數(shù)學(xué)實驗與其他數(shù)學(xué)活動不一樣的地方在于，參與者要在“動手做數(shù)學(xué)”的過程中，充分地以感官去感知、體驗與操作，以大腦去分析、思考與探究，以語言去描述、表達(dá)與交流，從而解決一定的問題。

數(shù)學(xué)實驗具有鮮明的問題（任務(wù)）驅(qū)動性和思維激活（促進(jìn)）性。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，問題與思維的相互促進(jìn)關(guān)系是不言而喻的。

二、數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中問題設(shè)計的策略

（一）設(shè)計激發(fā)認(rèn)知沖突的問題

認(rèn)知沖突可以有效引發(fā)學(xué)生的探究欲望，激活學(xué)生的思維，使學(xué)習(xí)更加深入。在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師要注意設(shè)計學(xué)生基于原有認(rèn)識（思維定式）解答會遇到障礙或出現(xiàn)錯誤的問題，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊《三角形的三邊關(guān)系》一課，可以設(shè)計問題“任意長度的三條線段都能圍成三角形嗎？”激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生展開實驗探究（如圖1）。由此，學(xué)生能夠自主生成新的問題——“為什么有的能圍成，有的不能圍成？”，從而進(jìn)入富有思維挑戰(zhàn)性的第二層實驗探究活動（如圖2）。

問題：任意長度的三條線段都能圍成三角形嗎？

要求：①剪一剪：把紙條沿刻度點剪成三段。

②圍一圍：把三段紙條看作三條線段圍一圍，能否圍成三角形？

③想一想：同桌與你的猜想一致嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

實驗活動一記錄單

三條線段長度（cm）能否圍成三角形①（）、（）、（）②（）、（）、（）

問題：為什么有的能圍成，有的不能圍成？你們的猜想正確嗎？

要求：①剪剪圍圍：同桌合作剪出能圍的與不能圍的情況，把數(shù)據(jù)填入表中。

②想想議議：觀察表中數(shù)據(jù)，有沒有反例？你們的猜想正確嗎？

③比比說說：小組交流你們得出的結(jié)論。

實驗活動二記錄單

①能圍成三角

形的情況②不能圍成三角

形的情況三條線段

長度（cm）（）、（）、

（）（）、（）、

（）三角線段關(guān)

系（算式）結(jié)論：（）反例，我們的猜想是（）。

（二）設(shè)計聯(lián)系舊知建構(gòu)新知的問題

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生不是空著腦袋進(jìn)入教室的，新知識的學(xué)習(xí)大多是建立在原有知識基礎(chǔ)之上的。在新舊知識的銜接點、生長點上設(shè)計聯(lián)系舊知建構(gòu)新知的問題，能很好地促進(jìn)知識遷移和知識結(jié)構(gòu)建立。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《梯形面積的計算》一課，可以設(shè)計問題“你能把梯形轉(zhuǎn)化成哪種已經(jīng)學(xué)過面積公式的圖形？它們之間有怎樣的關(guān)系？你能根據(jù)這樣的關(guān)系推導(dǎo)出梯形的面積公式嗎？”并引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)實驗，合理遷移已有知識經(jīng)驗——“三角形面積計算”的實驗探究過程與結(jié)論，展開“圖形轉(zhuǎn)化—關(guān)系聯(lián)結(jié)—公式推導(dǎo)”的圖形面積探究。

（三）設(shè)計利用已知探索未知的問題

“學(xué)以致用”是知識學(xué)習(xí)的基本追求。在數(shù)學(xué)知識教學(xué)后，教師可以設(shè)計一些需要通過“動手做”解決的問題，引導(dǎo)學(xué)生利用已知探索未知，體會數(shù)學(xué)知識的實際意義。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊《統(tǒng)計表與條形統(tǒng)計圖（一）》單元后，基于學(xué)生對一滴水的體積、水的表面張力等知識的未知，可以設(shè)計問題“1元硬幣上最多能滴多少滴水？”“5角、1角硬幣上最多能滴多少滴水”，引導(dǎo)學(xué)生利用已知的統(tǒng)計表知識，完成“在硬幣上滴水”的實驗，從而更好地體驗統(tǒng)計的價值。

（四）設(shè)計從特殊到一般探索規(guī)律的問題

數(shù)學(xué)教學(xué)中，有些規(guī)律的探索，需要結(jié)合動手操作，從特殊（具體）到一般（抽象）展開。因此，在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師可以設(shè)計從特殊到一般的問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷歸納推理，總結(jié)規(guī)律。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《表面涂色的正方體》一課，可以設(shè)計由特殊到一般的三層問題，引導(dǎo)學(xué)生展開實驗探究。第一層，每個小正方體分別有幾面涂色？讓學(xué)生拆解涂色積木（二等分與三等分），通過特例研究明確分類。第二層，不同涂色類型的小正方體會出現(xiàn)在什么位置？各種涂色情況的數(shù)量分別是多少？是否有規(guī)律？讓學(xué)生深入研究二等分與三等分的學(xué)具，通過特例研究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。第三層，你們的猜想是否正確？讓學(xué)生進(jìn)一步研究其他如四等分、五等分、六等分等的學(xué)具，通過拓展研究歸納、驗證規(guī)律。

（五）設(shè)計邏輯遞進(jìn)探索規(guī)律的問題

而有些數(shù)學(xué)規(guī)律的產(chǎn)生與發(fā)展過程，有其內(nèi)在的前沿后續(xù)的邏輯線索。對此，教師要設(shè)計邏輯遞進(jìn)（層層深入）的問題，體現(xiàn)這樣的線索，從而引導(dǎo)學(xué)生高效地探索規(guī)律。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級下冊《正比例和反比例》單元中的《動手做》，可以利用常見的托盤天平引入，設(shè)計邏輯遞進(jìn)的三個問題，引導(dǎo)學(xué)生利用自制天平，展開實驗探究，獲得天平平衡的規(guī)律。第一個問題，左右兩邊質(zhì)量相等，天平一定平衡嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩邊質(zhì)量相等但距離不相等時，天平不平衡。第二個問題，要使天平平衡，是不是一定要兩邊物體質(zhì)量相等、距離相等呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩邊物體質(zhì)量、距離都不相等時，天平也可能平衡。第三個問題，天平平衡的規(guī)律是什么？學(xué)生想到質(zhì)量與距離的綜合作用，進(jìn)而獲得天平平衡的規(guī)律。

三、數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中思維提升的途徑

（一）綻放個性化思維

在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生帶著問題邊做邊思，充分展開實驗探究，并綻放個性化思維。為此，教師需要設(shè)計具有一定開放性的問題，為學(xué)生準(zhǔn)備適當(dāng)?shù)膶嶒炈夭?，并提供或讓學(xué)生設(shè)計相應(yīng)的記錄單。這樣，才有可能讓學(xué)生在真實思維的基礎(chǔ)上，通過比較、評價、聯(lián)系、優(yōu)化等，提升思維。

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》一課，教師讓學(xué)生帶著問題“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)可以怎樣計算？”展開實驗探究。以910÷310為例，學(xué)生的一些計算方法如下頁圖3—圖10所示。在實驗問題與方法假設(shè)的引領(lǐng)下，學(xué)生的個性化思維盡情展現(xiàn)：不僅有將一個物體或一個計量單位這樣的單位“1”平均分，而且有將一些物體組成的整體這樣的單位“1”平均分;不僅有常見的化小數(shù)、化低單位、化分?jǐn)?shù)單位、做除法想乘法等，而且有獨創(chuàng)的根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系進(jìn)行演繹推理。

（二）激勵跨界性思維

實驗主要是自然科學(xué)的研究方法。因此，數(shù)學(xué)實驗探究往往具有跨界性：不僅要以數(shù)學(xué)的視角去思考，而且要綜合運用其他學(xué)科（尤其是自然科學(xué)）的研究方法。這種跨界性思維正是現(xiàn)代社會需求的重要思維品質(zhì)。

例如，學(xué)生在四年級的科學(xué)課上做過類似“擺錘擺的快慢與什么因素有關(guān)”的實驗，會從猜想的三個因素（擺線的長度、擺錘的質(zhì)量、擺的角度）出發(fā)，控制變量（改變其中一個因素，保持另外兩個因素不變），做三個實驗，通過實驗數(shù)據(jù)的比較分析，得出科學(xué)的結(jié)論。因此，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材配套的實驗手冊五年級上冊中的實驗“一張紙能對折多少次”時，可以引導(dǎo)學(xué)生運用這一研究方法，先猜測影響紙對折次數(shù)的因素——紙的大小與紙的厚度，再設(shè)計控制變量的實驗：（1）保持紙的厚度不變，改變紙的大小，能對折多少次？（2）保持紙的大小不變，改變紙的厚度，能對折多少次？通過實驗，學(xué)生得出：一張紙最多能對折6—8次，對折次數(shù)與紙的大小或厚度關(guān)系不大。這個結(jié)論激發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使他們主動探尋不能對折更多次的原因。這時，可以引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)思維分析實驗數(shù)據(jù)，從而發(fā)現(xiàn)：在對折的過程中，長方形紙的疊加厚度（呈幾何級數(shù)增長）和疊后寬度（呈幾何級數(shù)減少）越來越接近，很快就沒法再對折了。

（三）促進(jìn)融通性思維

在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，教師還要通過“你們是從哪幾個方面來研究的？”“又是怎樣研究的？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思實驗探究過程，獲得可創(chuàng)生、可遷移的知識結(jié)構(gòu)與方法結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)融通性思維，提升元認(rèn)知能力。

例如，小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容很適合以數(shù)學(xué)實驗方式學(xué)習(xí)。教學(xué)長方形和正方形的有關(guān)知識后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧、反思研究學(xué)習(xí)的過程，得到“圖形特征（有關(guān)邊、角等要素）—周長計算—面積計算”的知識結(jié)構(gòu)以及“特例研究—初步發(fā)現(xiàn)—提出猜想—進(jìn)行驗證—得出結(jié)論”的方法結(jié)構(gòu)。由此，學(xué)生自然就能將這樣的融通性思維視角，遷移到平行四邊形、三角形、梯形等平面圖形的研究學(xué)習(xí)中，甚至遷移到立體圖形的研究學(xué)習(xí)中。

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