矩陣分塊常見題型總結(jié)

司福寧

【摘要】?矩陣分塊是矩陣學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)部分，本文總結(jié)歸納了有關(guān)分塊矩陣的分塊方法、基本運(yùn)算、求逆、求轉(zhuǎn)置等基礎(chǔ)知識，列舉了矩陣分塊在實(shí)際應(yīng)用中的常見題型。

【關(guān)鍵詞】?矩陣 分塊 總結(jié)

1 引言

矩陣分塊在處理階數(shù)較高的矩陣中經(jīng)常使用，學(xué)生在學(xué)習(xí)這一塊內(nèi)容，尤其是面對高階矩陣時往往心生畏懼。其實(shí)，把一個大矩陣看成是由一些小矩陣組成的，如同矩陣是由數(shù)組成的數(shù)表一樣。因此在運(yùn)算分塊矩陣時，把一些小矩陣當(dāng)作數(shù)來處理，使用普通矩陣的運(yùn)算方法來處理分塊矩陣即可。為此，本文總結(jié)歸納了分塊矩陣的常見題型及解題方法，以期學(xué)生在學(xué)習(xí)分塊矩陣時有所幫助。

2 有關(guān)分塊矩陣的基礎(chǔ)知識

將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每個小矩陣稱為A的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

2.1 常見的分塊方法

（1）列向量分塊法，即A=（α1，α2，…，αn）其中αi為A的列向量。

（2）行向量分塊法，即，其中βj為A的列向量。

（3）分成兩塊，即A=（A1，A2），其中A1，A2分別為A的各若干列作成?；?，其中B1，B2分別為A的各若干行作成。分成四塊，即

注：矩陣的分塊方法不是唯一的[1]，以上只是列舉了常見的分塊方法。矩陣分塊可以根據(jù)問題的不同進(jìn)行靈活分塊選擇。

2.2 分塊矩陣的基本運(yùn)算（以2×2型分塊矩陣為例）

（1）加法：若矩陣A、B是同型矩陣，且采用相同的分塊法，即

注：分塊矩陣加法形式上看成是普通矩陣的加法。

（2）數(shù)乘：

（3）乘法[2]：

2.3 分塊矩陣求逆

定義法：若

另外，求分塊矩陣的逆矩陣時，也常用廣義初等變換法和解方程組法。

2.4 分塊矩陣的秩

2.5 分塊矩陣轉(zhuǎn)置

注：分塊矩陣不僅形式上進(jìn)行轉(zhuǎn)置，而且每一個子塊也進(jìn)行轉(zhuǎn)置.

2.6 分塊對角矩陣

定義：設(shè)A是?n?階矩陣，若滿足（1）A的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊，（2）其余子塊都為零矩陣（3）對角線上的子塊都是方陣，那么稱A為分塊對角矩陣.

注：分塊對角矩陣具有如下性質(zhì)，

3 分塊矩陣常見題型舉例

例1（分塊矩陣的乘法運(yùn)算）

求證：Am×n=0m×n的充分必要條件是方陣ATA=0n×n.

證明：把A按列分塊，有A=（aij）m×n=（α1，α2，…，αn），于是，

，那么

所以，A=O

例2（利用分塊矩陣求矩陣的逆）

一般地，當(dāng)矩陣中含有較多的零元素，或高階矩陣經(jīng)分塊后有若干子塊是有特征的矩陣時，用分塊矩陣進(jìn)行運(yùn)算是比較方便的，可以大大減少運(yùn)算量[3]。

例3（求分塊矩陣的逆）?設(shè)A，B均為2階矩陣，A*與B*分別為A，B的伴隨矩陣，若|A|=2，|B|=3，求分塊矩陣的伴隨矩陣。

總結(jié)

分塊矩陣的加法運(yùn)算、乘法運(yùn)算以及求轉(zhuǎn)置時都與普通的矩陣運(yùn)算有很大的相似之處，本文總結(jié)了有關(guān)矩陣分塊的基礎(chǔ)知識和實(shí)際應(yīng)用中的常見題型。矩陣分塊這部分內(nèi)容經(jīng)常會與其他知識點(diǎn)結(jié)合在一起考查，比如求解矩陣方程，求秩、求逆矩陣等。限于篇幅，分塊矩陣的廣義初等變換在此沒有介紹。

參考文獻(xiàn)：

[1] 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M].背景：中央民族大學(xué)出版社，2014：161-162.

[2] 張宇.線性代數(shù)9講[M].北京：高等教育出版社，2019：41-42.

[3] 錢椿林.線性代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010：64.